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圆锥曲线知识点归纳

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圆锥曲线知识点小结 教师：王光明 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件 定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是( ) A．421PFPF B．621PFPF C．1021PFPF D．122221PFPF （2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_____ （3）利用第二定义

已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是___ 2.圆锥曲线的标准方程 （1）已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为____ （2）若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是___，22yx的最小值是 （3）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_______ （4）设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线C过点)10,4(P，则C的方程为_______ 3.圆锥曲线焦点位置的判断：

椭圆：已知方程12122mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( ) 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是__

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__ （3）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于______

（4）双曲线221axby的离心率为5，则:ab= （5）设双曲线12222byax（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________ (6)设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为________

5、点00(,)Pxy和椭圆12222byax（0ab）的关系： 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______

（2）直线y―kx―1=0与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是______

（3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条.

（4）过双曲线2222byax＝1外一点00(,)Pxy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： （5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 （6）过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有__ （7）过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______ （8）过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB4，则满足条件的直线l有____条 （9）对于抛物线C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l：)(200xxyy与抛物线C的位置关系是_______ （10）过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ

的长分别是p、q，则qp11_______

（11）设双曲线191622yx的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,,，则PFR和QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （12）求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离 （13）直线1axy与双曲线1322yx交于A、B两点。 ①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？ ②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？ 7、焦半径 （1）已知椭圆1162522yx上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____ （2）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____； （3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为__ （4）点P在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为____ （5）抛物线xy22上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______

（6）椭圆13422yx内有一点)1,1(P，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MFMP2 之值最小，则点M的坐标为____ 8、焦点三角形 （1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆

于A、B两点，则2ABF的周长为________ （2）设P是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212FFPF，|PF1|=6，则该双曲线的方程为

（3）椭圆22194xy的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF2→ ·PF1→ <0时，点P的横坐标的取值范围是 （4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝26，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且AB是2AF与2BF等差中项，则AB＝_______ （5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且6021PFF，31221FPFS．求该双曲线的标准方程

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： 10、弦长公式： （1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______ （2）过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______ 11、圆锥曲线的中点弦问题： （1）如果椭圆221369xy弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是

（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)xyabab相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______ （3）试确定m的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy4对称

特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！ 12．你了解下列结论吗？

与双曲线116922yx有共同的渐近线，且过点)32,3(的双曲线方程为_______ 13．动点轨迹方程： (1)已知动点P到定点F(1,0)和直线3x的距离之和等于4，求P的轨迹方程． (2)线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）)0(m，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 (3)由动点P向圆221xy作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （4）点M与点F(4,0)的距离比它到直线05xl：的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______

(5) 一动圆与两圆⊙M：122yx和⊙N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为 (6)动点P是抛物线122xy上任一点，定点为)1,0(A,点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________ 6 / 8

（7）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使||||OPMN，求点P的轨迹。

（8）若点),(11yxP在圆122yx上运动，则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是____ （9）过抛物线yx42的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________

（10）已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足.2||1aQF点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足.0||,022TFTFPT （1）设x为点P的横坐标，证明xacaPF||1； （2）求点T的轨迹C的方程； （3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=.2b若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. 答案部分 1.（答 ：C）；（答 ：双曲线的左支）（答 ：2）

2. （答 ：11(3,)(,2)22）；（答 ：5,2）（答 ：2214xy）；（答 ：226xy） 3.（答 ：)23,1()1,(） 4.（答 ：3或325）

5.（答 ：22）（答 ：132或133）；（答 ：4或14）；（答 ：[,]32）； （答 ：)161,0(a）；

6. （答 ：(-315,-1)）；（答 ：[1，5）∪（5，+∞））；（答 ：3）；（答 ：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； ②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条； ③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④P为原点时不存在这样的直线；）

（答 ：2；（答 ：445,33）；（答 ：3）；（答 ：相离）；（答 ：1）；

（答 ：等于）；（答 ：81313）（答 ：①3,3；②1a）； 7.（答 ：353）；（答 ：7,(2,4)）；（答 ：2512）；（答 ：2）；（答 ：)1,362(）； 8.（答 ：6）；（答 ：224xy）；（答 ：3535(,)55）；（答 ：82）； （答 ：221412xy）；

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圆锥曲线共焦点知识点总结

圆锥曲线共焦点知识点总结

圆锥曲线共焦点知识点总结一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是解析几何中的一种曲线，它是平面上所有点到一定点F1和F2的距离之和等于常数2a的曲线。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本类型。

1.椭圆椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点构成的集合。

椭圆的方程是：(x-x1)^2/a^2+(y-y1)^2/b^2=1其中(x1, y1)是椭圆的中心，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。

2.双曲线双曲线是平面上到两个固定点F1和F2的距离之差等于常数2a的所有点构成的集合。

双曲线的方程是：(x-x1)^2/a^2-(y-y1)^2/b^2=1其中(x1, y1)是双曲线的中心，a和b分别是双曲线的长半轴和短半轴的长度。

3.抛物线抛物线是平面上到一个固定点F和一条固定直线L的距离相等的点的集合。

抛物线的方程是：x^2=4ay其中(a, 0)是抛物线的焦点，直线y=-a是抛物线的准线。

二、共焦点的性质在圆锥曲线中，同一类曲线的多个曲线都具有相同的焦点。

这些共同的焦点称为共焦点。

共焦点具有以下重要性质：1.共焦点是曲线的特征对于同一类的圆锥曲线，它们共有的焦点是该类曲线的特征之一。

不同类型的圆锥曲线具有不同的焦点个数和位置，通过这些共焦点可以将不同曲线进行区分。

2.共焦点的位置与性质共焦点的位置与曲线的形状和方程有直接关系。

例如，对于椭圆来说，其焦点位于椭圆的长轴上；对于双曲线来说，其焦点位于双曲线的两支中垂线上；对于抛物线来说，其焦点位于抛物线的顶点上。

3.共焦点的应用共焦点在解析几何中有广泛的应用。

它可以用来确定曲线的类型、确定曲线的位置，或者利用一类曲线的焦点性质来进行曲线的证明和推导。

共焦点还可以用来解决一些实际问题，如物体的运动轨迹等。

三、相关定理和应用在圆锥曲线中，共焦点还涉及一些重要的定理和应用，下面我们来具体了解一下。

1.共焦直径定理对于椭圆和双曲线来说，其中一个主轴的两个焦点和另一个主轴的两个焦点连线的交点，恰好是这两个焦点的连线经过的两条直径的交点。

(完整版)圆锥曲线知识点总结(经典版)

(完整版)圆锥曲线知识点总结(经典版)

圆锥曲线的方程与性质1．椭圆1)椭圆概念的焦点，两焦点的距离 2c 叫椭圆的焦距。

若 M 为椭圆上任意一点，则有 | MF 1 | | MF 2 | 2a 。

表示焦点在 y 轴上的椭圆。

2)椭圆的性质方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心；③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令平面内与两个定点 F 1 、 F 2 的距离的和等于常数2a (大于 |F 1F 2 | )的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆 椭圆的标准方程为：22xy 22 ab0 )(焦点在 x 轴上)2y2 a2xx2 1（ a b 0 ） b2焦点在 y 轴上)。

注：①以上方程中a,b 的大小 a b 0 ，其中 b 22c ；22②在 a x 22 b y 22221和a 2b 2 1 两个方程中都有 a 0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和 y2的分母的大小。

例如椭圆m 0， n 0， m n )当 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆； 当m n 时2 x①范围：由标准方程 2a 22 yb 21知|x| a ，| y| b ，说明椭圆位于直线 x a ， b 所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里， 若以y 代替 y 方程不变，所以若点 (x, y)在曲线上时，(x, y) 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称，同理，以 x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。

若同时以 x 代替 x ， y 代替 y半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ；在 Rt OB 2F 2中，|OB 2 | b ，|OF 2| c ，| B 2F 2 | a ， 且|OF 2|2 | B 2F 2 |2 |OB 2 |2 ，即 c 2 a 2 b 2；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴的比 e 叫椭圆的离心率 。

圆锥曲线 知识点总结

圆锥曲线 知识点总结

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面与圆锥相交而得到的曲线。

在平面几何中，圆锥曲线可以用数学方程来进行描述。

一般来说，圆锥曲线的数学方程可以由二次方程来表示，它们的一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0（其中A、B、C、D、E和F是常数，且A和C不同时为0）。

根据二次方程的系数A、B和C的取值，我们可以将圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

椭圆是圆锥曲线的一种类型，它的数学方程一般形式为 Ax^2 + By^2 + C = 0（其中A和B不同时为0）。

椭圆在平面上呈现出闭合的轨迹，且其长度和宽度不同，这种特性使得椭圆在几何学和物理学中有着广泛的应用。

例如，在天文学中，行星的轨道就可以用椭圆来描述。

双曲线是圆锥曲线的另一种类型，它的数学方程一般形式为 Ax^2 - By^2 + C = 0（其中A和B不同时为0）。

双曲线在平面上表现出两个分离的开口，它的形状类似于一个倒置的U形。

双曲线在数学和物理学中有着丰富的应用，例如在电磁学中，电场和磁场的分布就可以用双曲线来描述。

抛物线是圆锥曲线的最后一种类型，它的数学方程一般形式为 Ax^2 + By = 0（其中A不为0）。

抛物线在平面上呈现出开口向上或向下的曲线轨迹，其特性在物理学和工程学中有着广泛的应用。

例如，在抛物线运动中，抛出的物体会沿着抛物线轨迹移动。

圆锥曲线的性质和特点除了不同类型的圆锥曲线有着各自不同的数学方程之外，它们还有许多共同的性质和特点。

在本节中，我们将分别对椭圆、双曲线和抛物线的性质进行探讨。

椭圆是圆锥曲线中最简单的一种类型，它具有许多重要的性质。

首先，椭圆在平面上呈现出闭合的轨迹，且其长度和宽度不同。

其次，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数被称为椭圆的长轴长度。

另外，椭圆还满足反射定律，即光线从一个焦点射到椭圆上的一个点，然后被反射到另一个焦点。

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

这些曲线在数学和物理学等领域都有广泛的应用。

接下来，让我们一起深入了解圆锥曲线的相关知识。

一、椭圆椭圆的定义：平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆的标准方程：焦点在 x 轴上时：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

焦点在 y 轴上时：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

椭圆的性质：1、对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

2、范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。

3、顶点：椭圆有四个顶点，焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

4、离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

二、双曲线双曲线的定义：平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上时：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为双曲线的实半轴长，＼（b\）为双曲线的虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。