2019-2020年初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题及答案

M

C

B

2019-2020年初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题及答案

24681010101111111705

12[()()()()()]()2222221024

a =+⨯++++-=

6．有10条不同的直线n n b x k y +=（n = 1，2，3，…，10），其中369k k k ==，47100b b b ===，则这10

条直线的交点个数最多有（ ）

（A ）45个 （B ）40个 （C ）39个 （D ）31个 解：答案：【B 】

如图，满足已知条件的6条直线至多有10这6条直线最多有6个交点，再增加一条直线与前7交点，……一直增加到第10条直线与前9条直线最多有9个 交点，所以这10条直线的交点个数最多有：10+6+7+8+9=40(个

二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分） 7．在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ， 使13AE AB =

，14AF AD =，连结EF 交对角线AC 于G ，则

AC 的值是 ． 解：答案：1

7

如图，1

//33

AE AF AB CD DM AE DM FD ⇒

==⇒= 113367

AG AE AE AE AG GC CM CD DM AE AE AC ∴====⇒=++ 8的圆过一个半径为2的圆的圆心， 则图中阴影部分的面积为 ． 解：答案：2

连结OO 1， AB ，则有OO 1⊥AB 于点P ，在1Rt APO Rt APO ∆∆和中，

222222222111112)AP AO OP O A O P O P O P O P =-=-⇒-=-⇒即点O 1在AB 上与点P 重合，易知AB 是圆O 1的直径，三角形ABO 是直角三角形. 所以222111

=

(22)2242

S ππ⨯⨯-⨯⨯-⨯=阴影 （第8题）

x ，y ，z

z y x ++11，x z y ++11,y

x z ++1

1 （第10题）

9．已知y =2

6x mx +-，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，

那么实数x 的取值范围是

． 解：答案：3x -<<

由2

6<0x mx +-

，2

2

m

m

x +-<<=

解得 -

当

1≤m ≤3

时，1

=3 22

m +-则 -

的最大值为-；

所以，当1≤m ≤3时，y ＜0恒成立，即2

60x mx +-<

恒成立时， x 的取值范围是3

32

x -<<

. 10．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数

分别为x ，y ，z 时，对应输出的新数依次为z y x ++11，x z y ++11，y

x z ++11．例如，输入 1，2，3，则输出56，34，23. 那么当输出的新数为31，41，5

1

时，输入的3个数依次为 ．

解：答案：

1111

1132

，， 22

21112=333()1113=4()3(0)425()26111=5x y z k x k x y z xy xz x y z xy k xy yz x y z yz k y k k y z x yz xz x y z xz k z k z x y ++=⎧⎧+=⎪⎪+⎪+=++=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪+⇒+=++−−−−→=⇒=>⎨⎨⎨⎨

+⎪⎪⎪⎪

+=++=⎩

⎩⎪⎪=+⎪⎪

⎩+⎩

令

1111

,,1132

k x y z x y z ⇒=++=+

+=++⇒=== 11．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过 次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．

解：答案：45

记2n ≥张卡片至多经过n a 次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则

232431091;2;3;............9.

a a a a a a a ==+=+=+ 所以10

123.....945a =++++=

12．设整数a 使得关于x 的一元二次方程2

55261430x ax a -+-=的两个根都是整数，则a 的值是 ．

解：答案：18. 由题意，得2

22255202860(552)156()a a a k k N ∆=-+=-+=∈

即2

2(552)156[(552)][(552)]782262k

a k a k a --=⇒+-⨯--=⨯=⨯

因为[(552)][(552)]k

a k a +---和具有相同的奇偶性

且[(552)][(552)]2k a k a k +---=≥+0

故(552)=78(552)=26(552)=2(552)=6(552)=2(552)=6(552)=78(552)=26k a k a k a k a k a k a k a k a +-+-+-+-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--------⎩⎩⎩⎩或或或 解得，只有=40=18k a ，符合题意。即所求a 的值是18.

三、解答题（共4小题，满分54分） 13．（本题满分12分）

已知正三角形ABC ，AB = a ，点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，以相同速度作

直线运动，且点P 沿射线AB 方向运动，点Q 沿射线BC 方向运动. 设AP 的长为x ，△PCQ 的面积为S ， （1）求S 关于x 的函数关系式；

（2）当AP 的长为多少时？△PCQ 的面积和△ABC 的面积相等. 解：(1) 如图，PCQ PBQ PBC S S S S ∆∆∆

==-

2

211()()sin 60()sin 60 (0)2

24411()()sin120()sin120 ()22

4

4

a x a x a a x x ax x a a x x a a x a x ax x a ⎧+-︒--︒=-+<≤⎪⎪=⎨⎪+-︒--︒=->⎪

⎩

(2)因为221sin6024

ABC S a ∆=

︒= 根据题意，若ABC PCQ S S ∆∆=，则