2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2函数的表示法讲义新人教A版必修第一册

第2课时 分段函数[A 基础达标]1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )解析：选B.根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D.然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D.f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝49＋1＝139.3．(2019·广东深圳中学期中考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( )A. 3 B ．9C ．－1或1D ．－3或 3解析：选A.依题意，若x ≤0，则x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．若0<x ≤3，则x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.故选A.4．函数f (x )＝x 2－2|x |的图象是( )解析：选C.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，分段画出，应选C.5．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于 ( )A ．－13B.13 C ．－23D.23解析：选B.由题图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0<x <1，x ＋1，－1<x <0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.6．已知f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －3，n ≥10，f （f （n ＋5）），n <10，则f (8)＝________．解析：因为8<10，所以代入f (n )＝f (f (n ＋5))，即f (8)＝f (f (13))．因为13>10，所以代入f (n )＝n －3，得f (13)＝10，故得f (8)＝f (10)＝10－3＝7.答案：77．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，求得a ＝43.答案：438．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围；(3)求f (x )的值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫±12＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1. 所以f (x )的值域为[0，1]．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数f (x )的图象．解：(1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1， 即f (f (f (5)))＝－1. (2)图象如图所示．[B 能力提升]10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |x <0}解析：选A.当x ≥0时，f (x )＝1，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤1，所以0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，xf (x )＋x ≤2⇔x ≤2， 所以x <0，综上，x ≤1.11．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 解析：当a >0时，1－a <1，1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.答案：－3412．如图，△OAB 是边长为4的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t (0<t <6)左侧的图形的面积为f (t )，求函数f (t )的解析式．解：当0<t ≤2时，f (t )＝12×t ×3t ＝3t22；当2<t ≤4时，f (t )＝12×4×23－12(4－t )×3(4－t )＝－32t 2＋43t －43；当4<t <6时，f (t )＝12×4×23＝4 3.所以函数f (t )的解析式为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t22，0<t ≤2，－32t 2＋43t －43，2<t ≤4，43，4<t <6.13．设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2（1－x ），x ∈B ，若x 0∈A ，且f (f (x 0))∈A ，求x 0的取值范围．解：因为x 0∈A ， 所以0≤x 0<12，且f (x 0)＝x 0＋12，又12≤x 0＋12<1， 所以x 0＋12∈B ，所以f (f (x 0))＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 0－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0， 又f (f (x 0))∈A ，所以0≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 0<12，解得14＜x 0≤12，又0≤x 0＜12，所以14<x 0<12.[C 拓展探究]14．讨论方程x 2－4|x |＋5＝m 的实根的个数．解：将方程x 2－4|x |＋5＝m 的实根个数问题转化为函数y ＝x 2－4|x |＋5的图象与直线y ＝m 的交点个数问题．作出函数y ＝x 2－4|x |＋5＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x ＜0的图象，如图所示．由图象可以看出：①当m ＜1时，直线y ＝m 与该图象无交点，此时方程无解；②当m ＝1时，直线y ＝m 与该图象有2个交点，此时方程有2个实根； ③当1＜m ＜5时，直线y ＝m 与该图象有4个交点，此时方程有4个实根； ④当m ＝5时，直线y ＝m 与该图象有3个交点，此时方程有3个实根； ⑤当m ＞5时，直线y ＝m 与该图象有2个交点，此时方程有2个实根．。

3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。

教学课题：3.1.2 函数的表示法课型：新授课课时：2课时课标要求：1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法，列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用；2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

学习目标：1、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图象和解析式之间相辅相成的关系；2、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；3、发展学生直观想象、逻辑推理核心素养。

重点：了解简单的分段函数，并能简单应用。

难点：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学方法：启发式、自主探究式相结合教学准备教师：多媒体课件学生：教学过程一、复习旧知、引入新课引入1：（师）你还记得初中我们学习过的函数的表示方法有哪些？（生）解析法、列表法和图像法引入2：（师）你能分辨下列函数是用什么方法表示的吗？（1）3.1.1的问题3：北京市2016年11月23日空气质量指数(AQI) I和时间t的关系;（生）图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系.（2）3.1.1的问题4：恩格尔系数r与年份y的对应关系;年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系r(%)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57（生）列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.（3）3.1.1的问题1：路程和时间的对应关系，s=350t，t{00.5}∈≤≤t t（生）解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.设计意图：学生对初中学过的三种函数表示方法已经比较熟悉了，但是接触的例子有所欠缺，所以教师应引导学生回顾具体的例子，为学生深入研究这3种方法打下基础。

二、创设情境、提出问题x x∈个笔记本需要y元，试用列表法和图情境1某种笔记本的单价是5元，买({1,2,3,4,5})像法表示函数y=f(x).解析：用列表法可将y=f(x)表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法发可将y=f(x)表示为追问1（师）你发现图象上这些点有什么特征？（生）这些点好像都经过一条直线。

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(3)f(x)＋2f1x＝x，令 x＝1x， 得 f1x＋2f(x)＝1x. 于是得到关于 f(x)与 f1x的方程组 ff（ 1xx＋）2＋f（2xf）1x＝ ＝x1x， . 解得 f(x)＝32x－x3(x≠0)．
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解析：当 x＝1 时，f(1)＝2，g(f(1))＝2，不符合题意； 当 x＝2 时，f(2)＝3，g(f(2))＝1，不符合题意； 当 x＝3 时，f(3)＝1，g(f(3))＝3，符合题意． 综上，方程 g(f(x))＝x 的解集为{3}．
答案：{3}
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求函数的解析式
答案：{1，2，3，5}
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3．已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1，2，3}， 其函数对应关系如下表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则方程 g(f(x))＝x 的解集为________．
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2．下表表示函数 y＝f(x)，则 f(x)>x 的整数解的集合是________．
x
0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x<20
y＝f(x)
4
6
8
10
解析：当 0<x<5 时，f(x)>x 的整数解为{1，2，3}． 当 5≤x<10 时，f(x)>x 的整数解为{5}． 当 10≤x<15 时，f(x)>x 的整数解为∅. 当 15≤x<20 时，f(x)>x 的整数解为∅. 综上所述，f(x)>x 的整数解的集合是{1，2，3，5}．