平行四边形的性质及判定（典型例题）
1．平行四边形及其性质
例1 如图，O是ABCD对角线的交点．△OBC的周长为59，BD=38，AC=24，则AD=____若△OBC与△OAB的周长之差为15，则AB=ABCD的周长=____.
分析：
AC，可得BC，再由平行四边形对边相等知AD=BC，由平行四边形的对角线互相平分，可知△OBC与△OAB的周长之差就为BC 与AB之差，可得AB，进而可得ABCD的周长．
对角线互相平分)
∴△OBC的周长=OB＋OC＋EC
=19＋12＋BC=59
∴BC=28
ABCD中，
∴BC=AD(平行四边形对边相等)
∴AD=28
△OBC的周长-△OAB的周长
=(OB＋OC＋BC)-(OB＋OA+AB)
=BC-AB=15
∴AB=13
∴ABCD的周长
=AB＋BC＋CD＋AD
=2(AB＋BC)
=2(13＋28)
=82
说明：本题条件中的“△OBC占△OAB的周长之差为15”，用符
号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15．例2 判断题
(1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形．( )
(2)平行四边形的两角相等．( )
(3)平行四边形的两条对角线相等．( )
(4)平行四边形的两条对角线互相平分．( )
(5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离．( )
(6)平行四边形的邻角互补．( )
分析：根据平行四边形的定义和性质判断．
解：
(1)错
“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边．如图四边形ABCD，两条对边AD∥BC．显然四边形
ABCD不是平行四边形．
(2)错
平行四边形的性定理1，“平行四边形的对角相等．”对角是指四边形中设有公共边的两个角，也就是相对的两个角．
(3)错
平行四边形的性质定理3，“平行四边形的对角线互相平分．”一般地不相等．(矩形的两条对角线相等)．
(4)对
根据平行四边形的性质定理3可判断是正确的．
(5)错
线段图形，而距离是指线段的长度，是正值正确的说法是：两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线的距离．
(6)对
由定义知道，平行四边形的对边平行，根据平行线的性质可知．平行四边形的邻角互补．
例3 ．如图1，在ABCD中，E、F是AC上的两点．且AE=CF．求证：ED∥BF．
分析：欲址DE∥BF，只需∠DEC=∠AFB,转证=∠ABF≌△CDF,因ABCD，则有AB CD，从而有∠BAC=∠CDA．再由AF=CF 得AF=CE．满足了三角形全等的条件．
证明：
∵AE=CF
AE+EF=CF+EF
∴AF=CE
在ABCD中
AB∥CD(平行四边形的对边平行)
∴∠BAC=∠DCA(两直线平行内错角相等)
AB=CD(平行四边形的对边也相等)
∴△ABF≌△CDE(SAS)
∴∠AFB=∠DCE
∴ED∥BF(内错角相等两直线平行)
说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理．
例4 如图已知在△ABC中DE∥BC∥FG，若BD=AF、求证；DE＋FG=BC．
分析1：要证DE＋FG=DC由于它们是平行线，由平行四边形定义和性质．考虑将DE平移列BC上为此，过E(或D)作EH∥AB(或DM∥AC)，得到DE=BH、只需证HC=FG，因AF=BD=EH，∠CEH=∠A.∠AGF＝∠C所以△AFG≌∠EHC．此方法称为截长法．分析2：过C点作CK∥AB交DE的延长线于K，只需证FG=EK，
转证△AFG≌△CKE．
证法1：
过E作EH∥AB交于H
∵DE∥BC
∴四边形DBHE是平行四边形(平行四边形定义) ∴DB=EH
DE=BH(平行四边形对边也相等)
又BD=AF
∴AF=EH
∵BC∥FG
∴∠AGF=∠C(两直线平行同位角相等)
同理∠A=∠CEH
∴△AFG≌△EHC(AAS)
∴FG=HC
∴BC=BH+HC=DE=FG
即CE+FG=BD
证法2：
. 过C作CK∥AB交DE的延长线于K.
∵DE∥BC
∴四边形DBCK是平行四边形(平行四边形定义) ∴CK=BD DK=BC
(平行四边形对边相等)
又BD=AF
∴AF=CK
∵CK∥AB
∴∠A=∠ECK(两直线平行内错角相等)
∵BC∥FG
∴∠AGF=∠AED(两直线平行同位角相等)
又∠CEK=∠AED(对顶角相等)
∴∠AGF=∠CEK
∴△AFG≌△CKE(AAS)
FG=EK
DE+EK=BC
∴DE+FG=BC
例5 如图ABCD中，∠ABC=3∠A，点E在CD上,CE=1，EF⊥CD交CB延长线于F，若AD=1，求BF的长．
分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得∠C=∠F=45°进而由勾股定理求出CF，再根据平行四边形对边相等，得BF的长．
解：在ABCD中，AD∥BC
∴∠A＋∠ABC=180°(两直线平行同旁内角互补)
∵∠ABC=3∠A
∴∠A=45°，∠ABC=135°
∴∠C=∠A=45°(平行四边形的对角相等)
∴EF⊥CD
∴∠F=45°(直角三角形两锐角互余)
∴EF=CE=1
∵AD=BC=1
例6 如图1，ABCD中，对角线AC长为10cm，∠CAB=30°，AB长为6cm，求ABCD的面积．
