高一数学下册期中考试试题71

1 / 11数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合{}13A x x =-<<,{}21B x x x =≤-≥或,则()U A C B = A ．{}11x x -<<B ．{}23x x -<< C ．{}23x x -≤<D ．{}21x x x ≤->-或2．在ABC ∆中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，则b =A．．D．3．已知向量()()1331a b =-=-，，，，则a 与b 夹角的大小为 A ．6πB ．2πC ．23πD ．56π4．设等比数列{}n a 的公比2q，前n 项和为n S ，则52S a =A ．2B ．4C ．172D ．3125．在ABC 中，2BD DC =，则AD =A ．1233AB AC -B ．1233AB AC +C ．2133AB AC -D ．2133AB AC +6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则311b b += A ．3B ．6C ．7D ．87．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若2a c b +=，3sin 5sin B A =，则角C =A ．3πB ．23πC ．34πD ．56π8．已知向量()3,1a =，(3,3b =-，则向量b 在向量a 方向上的投影为A ．B ．-1D ．19．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 依次成等差ABC 的形状为 A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．直角边不相等的直角三角形10．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3 / 11()3f x x =，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．278-B ．278C ．18D ．18-11．若,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且sin 5α=,()sin 10αβ-=-,则sin β= A．10B．2C ．12D ．11012．设函数()sin (0)3f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为A ．12B ．23C ．34D ．1第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

内江市重点中学2022—2023学年高一（下）期中考试数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第I 卷选择题（满分60分）一、单选题（每题5分，共40分）1.已知向量a ，b 满足5a =，6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a b =（ ） A. 45-B.45C.15D. 15-2.已知1sin 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos 12πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.13B. 13-C.223D. 223-3.在ABC △中，()310AE AB AC =+，D 为BC 边的中点，则（ ） A. 37AE ED = B. 73AE ED = C. 23AE ED =D. 32AE ED =4.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波组合而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（ ）A. 11sin sin 2sin 323y x x x =++ B. 11sin sin 2sin 323y x x x =-- C. 11sin cos 2cos323y x x x =++D. 11cos cos 2cos323y x x x =++5.已知函数()()cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ） A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 的最大值为2C.函数()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度；所得图象对应的解析式为()sin 2g x x = 6.若函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上存在最小值-2，则非零实数ω的取值范围是（ ） A. (],1-∞-B. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. (]4,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. (][),12,-∞-⋃+∞7.已知向量a ，b 满足2a =，2b =，且2a b ⋅=-，c 为任意向量，则()()a cb c-⋅-的最小值为（ ） A.-2B. 52-C.-3D. 72-8.人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，O 为坐标原点，余弦相似度similarity 为向量OA ，OB 夹角的余弦值，记作()cos ,A B ，余弦距离为()1cos ,A B -.已知()sin ,cos P αα，()sin ,cos Q ββ，()sin ,cos R αα-，若P ，Q 的余弦距离为13，Q ，R 的余弦距离为12，则tan tan αβ⋅=（ ） A.7 B. 17 C.4 D. 14二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）9.下列说法正确的是（ ） A.若AB BC ⊥，则0AB BC ⋅= B.零向量与任意向量平行C. 2AB BC CD AD ++=D.在正六边形ABCDEF 中，AB DE =10.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为3πB. ()f x 的增区间是()53,344k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()()50f x f x π-+-=D.将2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的32倍（纵坐标不变）得到()f x 的图象11. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题为真命题的是（ ）. A.若A B >，则sin sin A B >B.若222sin sin sin A B C +<，则ABC △是钝角三角形 C.若cos cos a A b B =，则ABC △为等腰三角形D.若22AB =，45B =︒，3AC =，则满足条件的三角形有且只有一个12.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中使用.如图，一个半径为6米的筒车逆时针匀速转动，其圆心O 距离水面3米，已知筒车每分钟转动1圈，如果当筒车上一盛水桶M （视为质点）从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，经过t 秒后，盛水桶M 运动到P 点，则下列说法正确的是（ ）A.当10t =秒时，063PP =米；B.在转动一周内，盛水桶M 到水面的距离不低于6米的持续时间为20秒；C.当[]55,75t ∈时，盛水桶M距水面的最大距离为3+D.盛水桶M 运动15秒后筒车上另一盛水桶恰好露出水面，则转动中两盛水桶高度差的最大值为.第Ⅱ卷 非选择题（满分90分）三、填空题（每题5分，共20分）13.已知在ABC △中，7813sin sin sin A B C==，则角C 的大小为________. 14.已知()1,1A ，()2,1B ，()1,2C --，()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影向量的坐标为_____.15.已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1cos 3A =，23b c =，且ABC △，则a =___________. 16.下列命题：①若()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围是34m >-②若非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC △为等边三角形 ③若单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则当()122e te t R +∈取最小值时，1t =④已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，()0,λ∈+∞，则动点P 一定通过ABC △的重心⑤如果ABC △内接于半径为R 的圆，且())222sin sin sinR A C b B -=-，则ABC △2其中正确的序号为_______________________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17.已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,3a =-，()2,4b =-，()2,c m =. （1）若()a b c ⊥+，求c ；（2）若ka b +与2a b -共线，求k 的值.18.已知函数()()23cos cos 2cos 2f x x x x ππ⎛⎫=---⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的对称轴和对称中心； （2）若0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32310f θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 19.已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最大值及相应的x 值； （2）设函数()4g x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭，如图，点P ，M ，N 分别是函数()y g x =图像的零值点、最高点和最低点，求cos MPN ∠的值.20.已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅， （1）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围.21.在①()22cos cos 2c ab c a B b A b +=-+，②()()()sin sin sin sin b c B C a A B +⋅-=--，③)sin 3cos b C a c B =-⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______. （1）求角C 的大小；（2）若23c =，求4sin B a -的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.22.如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O 为圆心，直径AB 的长为2km ，C ，D 两点在半圆弧上，且BC CD =，设COB θ∠=； （1）当12πθ=时，求四边形ABCD 的面积；（2）若要在景区内铺设一条由线段AB ，BC ，CD 和DA 组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l 的最大值.数学参考答案1.D2.B3.C4.A5.C6.C7.B8.A9.AB 10.ABD 11.ABD 12.BCD12.【详解】解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O 为坐标原点，以平行于水面的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()()sin h f t A t B ωϕ==++.则93A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，解6A =，3B =，又水轮每分钟转动一周，则2ππ6030ω==，∴()π6sin 330f t t ϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 由()06sin 30f ϕ=+=，得1sin 2ϕ=-，∴π6ϕ=-，则()ππ6sin 3306f t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 对于A ：当10t =时，0π3POP ∠=，又6OP =，∴0ππ6sin 6sin 666PP =+=，故A 错误；对于B ：令()ππ6sin 36306f t t ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭，则ππ1sin 3062t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，所以πππ5π63066t ≤-≤， 解得1030t ≤≤，则在转动一圈内，盛水桶M 到水面的距离不低于6米以上的持续时间为301020-=秒，故B 正确；对于C ，当[]55,75t ∈，则ππ5π7π30633,t ⎡⎤∈⎢⎣-⎥⎦，则ππsin 306t ⎡∈⎢⎭⎣⎛⎫- ⎪⎝⎦， 所以()3f t ⎡⎤∈-⎣⎦，故C 正确；设盛水桶M 运动时间为1t ，则另一桶为115t -， 所以()()()1111ππππ6sin 36s 3151in 3063056h f t f t t t ⎛⎫⎡⎤-+---⎪⎢⎥⎝⎭=⎣--⎦=-△1111πππππππππ6sin 6sin 6sin 6cos 3063062306306t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣=⎦=11πππππ30643012t t ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=，当1ππsin 13012t ⎛⎫+=⎪⎝⎭时()max h =△，故D 正确；故选：BCD. 13.120°/23π14. 46,1313⎛⎫⎪⎝⎭15.2 16.②④⑤ 16【详解】对于①，由()()()3,4,6,3,5,3OA OB OC m m =-=-=---，得()3,1BA OA OB =-=--，()1,BC OC OB m m =-=---，因为ABC ∠为锐角，故0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，所以()()310310m m m m ---+>⎧⎪⎨+--≠⎪⎩，解得34m >-且12m ≠，故①错误；对于②，因为非零向量0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠的平分线与BC 垂直，ABC △为等腰三角形，又12AB AC ABAC⋅=，所以3BAC π∠=，所以ABC △为等边三角形，故②正确； 对于③，()222222212112212444424132e te e te e t e t t t t t +=+⋅+=+⨯+=++=++，当1t =-时，()122e te t R +∈取得最小值，故③错误；对于④，已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，()0,λ∈+∞，记BC 中点为E ，则2AB AC AE +=，则2AP AE λ=，AE 直线过重心，故P 一定过重心；故④正确对于⑤∵())2sin 2sin 2s in R A C b B -=-，∴根据正弦定理，得)222a c b b b -=-=-，可得222a b c +-=∴cos 2C =，∵角C 为三角形的内角，∴角C 的大小为4π∵n 2si 4c R π==∴由余弦定理2222cos c a b a b C =+⋅-，可得(222222R a b b ab ab =+⋅≥=-，当且仅当a b =时等号成立∴(222ab R ≤=+∴(22111sin 22222ABC S ab C R R =≤⋅=△，即ABC △面积的最大值为212R ；故⑤正确， 故答案为②④⑤17.（1）（2）-2.【详解】（1）因为()2,4b =-，()2,c m =，∴()0,4b c m +=+， ∵()a b c ⊥+，()1,3a =-，∴()()340a b c m ⋅+=+=， ∴4m =-，∴()2,4c =-，∴25c =；（2）由已知：()2,34ka b k k +=--+，()20,2a b -=， ∴()()220340k k --⨯-⨯+=，∴2k =-. 18.（1）23k x ππ=+，k Z ∈，1,2122k ππ⎛⎫+-⎪⎝⎭（2）7 【详解】解：（1）由已知1cos 2111()cos 2cos 2sin 2222262x f x x x x x x π+⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭， 令262x k πππ-=+，则23k x ππ=+，k Z ∈. 所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+，k Z ∈. 令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，k Z ∈ 所以函数()f x 的对称中心为1,2122k ππ⎛⎫+-⎪⎝⎭，k Z ∈ （2）21113sin sin cos 2336222210f θπθπθθππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴4cos 5θ= 又0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴4sin ,tan 335θθ==， 1tan 1tan 741tan 34413θπθθ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-.19.（1）1；,Z 12x k k ππ=+∈（2）5【详解】（1）解：由题意，函数()11sin2cos2sin2sin2sin 222223f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最大值为()max 1f x =，此时2232x k πππ+=+，即,Z 12x k k ππ=+∈（2）由题意，函数()sin 2sin 4323g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，过D 作MD x ⊥轴于D ，因为1PD DM ==所以90PMN ∠=︒，可得PM MN PN ===在直角MPN △中，可得cos PM MPN PN ∠===20.（1）,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】（1）解：因为2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =且()f x m n =⋅， 所以()22sin 22sin 6f x m n x x π⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭()122cos 21cos 22x x x ⎫=-+--⎪⎪⎝⎭1cos 221cos 2123x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 即()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 令2223k x k ππππ-≤+≤，Z k ∈，解得236k x k ππππ-≤≤-，Z k ∈， 又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 的单调增区间为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）解：因为()cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位得到cos 21cos 21121236f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）再向下平移1个单位得到()cos 46g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4,63t x πππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，令4036x ππ-≤+≤，解得824x ππ-≤≤-，令046x ππ≤+≤，解得52424x ππ-≤≤，即函数()g x 在,824ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,2424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且1cos 832g ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作出cos 3y t t ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭图像可得：所以m 的取值范围1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.（1）π3C =（2）(23,23-【详解】（1）选择条件①.由余弦定理得()()22222222211cos cos 2222c ab ac B bc A b a c b b c a b +=-+=+--+-+.整理得222a b c ab +-=，所以由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又因为()0,πC ∈，所以π3C =.选择条件②.由正弦定理得()()()b c b c a a b +-=--，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==.又因为()0,πC ∈，所以π3C =选择条件③.由正弦定理得)sin sin 3sin sin cos B C A C B -.整理得()sin sin cos B C C B A B C ==+，所以sin sin cos B C B C =.因为sin 0B >，所以sin C C =.显然cos 0C ≠，所以tan C =又因为()0,πC ∈，所以π3C =. （2）因为c =，π3C =，所以由正弦定理得4sin sin a c A C==，即4sin a A =. 因为πA B C ++=，所以2π3B A =-，所以2ππ4sin 4sin 4sin 2sin 4cos 36B a A A A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝-=---+⎭=. 因为2π03A <<，所以ππ5π666A <+<，所以π4cos 6A -⎛⎫ ⎪⎝⎭<+<， 故4sin B a -的取值范围是(-. 22.【答案】（1）144+；（2）5 【详解】（1）连结OD ，则5,126COD AOD ππ∠=∠= ∴四边形ABCD的面积为1151211sin 11sin 2122644ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ （2）由题意，在BOC △中，2OBC πθ-∠=，由正弦定理1sin sin()cos 22BC OB πθθθ==-，∴sin 2sin 2cos 2BC CD θθθ=== 同理在AOD △中，,2OAD DOA θπθ∠=∠=-，由正弦定理sin(2)sin DA OD πθθ=-，∴sin 22cos sin DA θθθ== ∴224sin 2cos 24sin 212sin ,02222l θθθπθθ⎛⎫=++=++-<< ⎪⎝⎭令sin 022t t θ⎛⎫=<< ⎪ ⎪⎝⎭，∴()222124212444452l t t t t t ⎛⎫=++-=+-=--+ ⎪⎝⎭∴12t=时，即3πθ=，l的最大值为5。

2022-2023学年北京市丰台区学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．＝（ ）3i1i ++A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i【答案】D【分析】由题意结合复数的除法运算即可得解.【详解】由题意，()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2+-+-===-++-故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算法则、细心计算是解题关键，属于基础题.2．在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（）z Z z =A ．B ．C ．D ．2i +2i -12i +12i-【答案】B【分析】根据复数在复平面表示的方法，结合共轭复数的定义进行求解即可.【详解】在复平面内，复数对应的点如图所示，所以，因此，z Z 2i z =+2i z =-故选：B 3．已知向量，，且，则（ ）(),4a m =()3,2b =-//a bm =A ．6B ．C ．D ．6-8383-【答案】B【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程求出的值.m 【详解】解：向量，，且，(),4a m =()3,2b =-//a b，2430m ∴--⨯=解得.6m =-故选：B.【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题目.4．已知向量， .若向量与垂直，则（ ）(1,2)a =- (,1)b m = a b + a m =A ．6B ．3C ．7D ．﹣14【答案】C【分析】由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得实数的值．m 【详解】解：已知向量，，若向量与垂直，(1,2)a =- (,1)b m = a b + a 则，求得，()25(2)0a b a aa b m +=+=+-+=7m =故选：C ．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．5．函数的最小正周期是sin 3cos3y x x =+A ．B ．C ．D ．6π2π23π3π【答案】C【解析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】,sin 3cos33))4y x x y x x x π=+⇒==+，故本题选C.223T ππω==【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.6．已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（ ）A ．20B ．47C ．60D ．94【答案】D【分析】利用长方体的表面积公式即可求解.【详解】长方体的长、宽、高分别为5，4，3,所以该长方体的表面积为(545343)294⨯+⨯+⨯⨯=故选：D7．在中，，则的形状为ABC cos b c A =⋅ABC A ．等边三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】由正弦定理将边化角，再利用正弦的和角公式求解.【详解】由正弦定理得： sin sin cos ,B C A =又因为：()()sin sin sin ,B AC A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦所以 sin cos cos sin sin cos ,A C A C C A +=所以 sin cos 0,A C =又因为 0,0,A C ππ<<<<所以.2C π=故选C.【点睛】本题考查正弦定理的应用即边角互化，和差角公式，属于中档题.8．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则a b （ ）2a b -=A B C ．D ．20【答案】C【分析】根据图可得的坐标，然后可算出答案.,a b 【详解】由图可得，，所以，()()3,0,2,2a b ==()24,2a b -=-所以，2a = 故选：C 9．在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ）ABC 3A π=1sin 2B <ABCA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】在中，由得：或，而，则，因此得ABC 1sin 2B <π06B <<5ππ6B <<3A π=2π03B <<，π06B <<于是得，是钝角三角形，π2πC A B =-->ABC 当是钝角三角形时，取钝角，，ABC 7π12B =7π5ππ1sin sin sin sin 121232B ==>=>即是钝角三角形不能推出，ABC 1sin 2B <所以“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件.1sin 2B <ABC 故选：A10．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则＝（）,,a b c(),c a b R λμλμ=+∈ λμA ．－8B ．－4C ．4D ．2【答案】C【详解】试题分析：以向量的公共点为坐标原点,,a b建立如图以直角坐标系, 可得,()()()1,1,6,2,1,3a b c =-==--,(),c a b R λμλμ=+∈ 1632λμλμ-=-+⎧∴⎨-=+⎩解之得且,因此，.2λ=-12μ=-2412λμ-==-故选：C ．【解析】1、向量的几何运算；2、向量的坐标运算．11．在直角坐标系中，已知两点， ，则（ ）xOy ()cos110,sin110A (),sin 5500cos B OA OB ⋅=A ．BCD ．112【答案】A【分析】先求向量的坐标，再由数量积的坐标表示和两角差的余弦公式求值.,OA OB【详解】因为，，()cos110,sin110A (),sin 5500cos B所以，，()cos110,sin110OA =()cos50,sin 50OB = 所以，1cos110cos50sin110sin50=cos602OA OB ⋅=+=故选：A.12．函数是（ ）()sin 2tan f x x x =⋅A ．奇函数，且最小值为B ．奇函数，且最大值为02C ．偶函数，且最小值为D ．偶函数，且最大值为02【答案】C【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.2()2sin 1cos 2f x x x ==-[)()0,2f x ∈【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称，()sin 2tan f x x x =⋅π|π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭且，2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin cos xf x x x x x x x =⋅=⋅=而，即函数为偶函数；()22()2sin 2sin ()f x x x f x -=-==()f x 所以，又，2()2sin 1co Z ,ππ,2s 2f k x x x k x ≠+=-∈=(]cos 21,1x ∈-即，可得函数最小值为0，无最大值.[)()1cos 20,2f x x =-∈()f x 故选：C二、填空题13．已知复数，其中是虚数单位，则的模是__.13z i =-+i z【分析】根据复数模的计算公式求解即可.【详解】解：，13z i =-+ z ∴==.【点睛】本题考查了复数的模的计算公式，属基础题.14．在中，若，，则的面积为____________．ABC 3a =c 4B π=ABC 【答案】32【分析】直接利用面积公式计算可得；【详解】解：因为，，3a =c =4B π=所以；113sin 3222ABC S ac B ==⨯=△故答案为：3215．函数在区间上的最小值为___．()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】【分析】利用的范围推出的范围，结合正弦函数的性质计算可得.x π24x -【详解】因为，，，所以，π02x ≤≤02x ≤≤πππ3π2444x -≤-≤πsin 214x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭当即时取得最小值为ππ244x -=-0x =()f x故答案为：16．已知向量满足，与的夹角为，则___．,a b ||2,||1a b == a b 23π2a b +=【答案】2【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律求解作答.a b ⋅ 【详解】由，与的夹角为，得，||2,||1a b == ab 23π2π1||||cos 21()132a b a b ⋅==⨯⨯-=-所以.22a b +====故答案为：217．已知函数的部分图象如图所示，则的最小正周期为______.()sin()(0)f x x ωϕω=+>，()f x【答案】π【分析】观察图象，可列式，解得结果即可.1131264T ππ-=【详解】设的最小正周期为，()f x T 由图可知，，解得.1131264Tππ-=T π=故答案为：.π【点睛】本题考查了由三角函数的图象求最小正周期，属于基础题.18．在如图所示的几何体中，是棱柱的为__.（填写所有正确的序号）【答案】③⑤【分析】由棱柱的结构特征逐一分析五个图形得答案.【详解】解：由棱柱的结构特征，即有两个面互相平行，其余的面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行，可得图③⑤为棱柱.故答案为：③⑤.【点睛】本题考查棱柱的结构特征，是基础题.三、解答题19．已知函数.()13sin 126x x f π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）函数的最小正周期；（2）函数的最值及相应的的值.x 【答案】（1）；（2），时，函数有最大值为；，时，函4π243x k ππ=+Z k ∈2843x k ππ=+Z k ∈数有最小值为4-【分析】（1）利用三角函数周期公式计算得到答案.（2）根据三角函数的性质分别计算最大值和最小值得到答案.【详解】（1），则.()13sin 126x x f π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2412T ππ==（2）当，即，时，函数有最大值为；12262x k πππ+=+243x k ππ=+Z k ∈2当，即，时，函数有最小值为.132262x k πππ+=+843x k ππ=+Z k ∈4-【点睛】本题考查了三角函数周期和最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用.20．在．ABC 222b c a =+-(1)求；A(2)若，求．a =3B π=b 【答案】(1)4π(2)【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理计算可得；【详解】（1，即222b ca =+-由余弦定理，222cos 2b c a A bc +-==因为，所以；()0,A π∈4A π=（2）解：因为，，4A π=a =3B π=由正弦定理，所以sin sin a bA B =sin3b π=b =21．如图，在中，D 在边BC 上，且．ABC6,AB AC BC ===ADC 60∠=(1)求；cos B (2)求线段的长．AD 【答案】(1)；cos =B (2).4=AD 【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可；ABC （2）先利用同角关系求，在中利用正弦定理即可求解．sin B ABD △【详解】（1）在中，由余弦定理可得，ABC 222cos2AB BC AC BAB BC +-=⋅又6,AB AC BC ===cos B（2）因为，所以，0πB<<sin 0B >sin B ===由，可得，60ADC ∠= 120ADB ∠=在中根据正弦定理得： ，ABD △sin sin AD ABB ADB =∠又，，sin B 6AB =120ADB ∠= 所以．sin 4sin AB B AD ADB ⋅==∠22．已知点O （0，0），A （2，1），B （1，2）．（1）若，求点P 的坐标；12OP OA OB→→→=+（2）已知．OQ OA OB λμ→→→=+①若点Q 在直线AB ：y ＝－x ＋3上，试写出应满足的数量关系，并说明你的理由；,λμ②若△QAB 为等边三角形，求的值．,λμ【答案】（1）；（2）①，②52,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1λμ+=λμ+=λμ+=【分析】（1）设出点P 的坐标，得出和的坐标，根据平面向量的坐标运算即可求得；,OA OB →→OP →（2）设出点Q 的坐标，得出的坐标，通过即可算出；OQ →OQ OA OB λμ→→→=+（3）算出线段AB 的中垂线方程，将点Q 的坐标代入即可求出.【详解】（1），设，则，()(),2,11,2OA OB →→==(),P x y (),OP x y →=∴，∴.()()()5,2,11,22212,x y ⎛⎫= ⎪⎝+⎭=52,2P ⎛⎫⎪⎝⎭（2）①.1λμ+=理由如下：∵点Q 在直线AB ：y ＝－x ＋3上，设，∴，(),3Q a a -(),3OQ a a →=-∵，∴，OQ OA OB λμ→→→=+()()()(),32,11,22,2a a λμλμλμ-=+=++∴，得证.2132a a λμλμλμ=+⎧⇒+=⎨-=+⎩②线段AB 的中点为，，∴线段AB 的中垂线为：，33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1AB k =-3322y x y x -=-⇒=∵△QAB 为等边三角形，∴点Q 在线段AB 的中垂线上，设，(),Q a a∴，解得()()()()2222211221a a -+-=-+-a =所以或或22λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩λμ+=λμ+=23．已知函数.()2sin 22cos 612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数的最小正周期；()f x (2)求函数在上的最小值；()f x 3,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)若关于的方程在区间上有两个不同解， 求实数的取值范围.x ()0f x =[]0,m m【答案】(1)π(2)2-(3)74,123ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得，由正弦型函数最小正()52112f x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭周期的求法可得结果；（2）根据的范围可求得的范围，由正弦型函数值域的求法可求得最小值；x 5212x π-（3）由可得，可得的范围，根据有两个不()0f x =5sin 212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭5212t x π=-t sin t =同解可构造不等式求得结果.【详解】（1），()5sin 2cos 21216612f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的最小正周期.()f x \22T ππ==（2）当时，，，3,128x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,1243x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦5sin 212x π⎡⎛⎫∴-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣.()min 12f x ⎛∴=-=- ⎝（3）令，解得：()0f x =5sin 212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭令，则当时，，5212t x π=-[]0,x m ∈55,21212t m ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦在上有两个不同解，在有两个不同解，()0f x = []0,m sin t ∴=55,21212m ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，解得：，即实数的取值范围为.35924124m πππ∴≤-<74123m ππ≤<m 74,123ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭。

茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟总分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设z ＝1+2i ，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．＝（）A ．B ．C ．D ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1,3,3===b a A π，则c 等于（）A ．2B ．C ．D ．4．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图OA ′B ′C ′的面积为2，则原梯形的面积为（）A ．2B ．22C ．24D ．45.为了得到函数ππsin 3cos cos3sin 33y x x =+的图象，可以将函数sin 3y x =图象()A.向左平移π个单位B.向左平移π9个单位C.向右平移π个单位D.向右平移π9个单位6.在空间中，下列命题正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行7.在ABC 中，已知2cos c a B =⋅，那么ABC 一定是（）A.等腰直角三角B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形8.已知中，，，点D 是AC 的中点，M 是边BC 上一点，的最小值是()A. B. C. D.二､多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

）9.复数i z 2321+=，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的实部是21 B.z 的共轭复数为3122i +C.z 的实部与虚部之和为2 D.z 在复平面内的对应点位于第一象限10.已知平面向量()1,0a =，(1,b = ，则下列说法正确的是（）A.||16a b +=B.()2a b a +⋅= C.33,cos >=<→→b a D.向量+a b在a 上的投影向量为2a11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下结论中正确的有（）A ．若sin A ＞sinB ，则A ＞BB ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 一定为等腰三角形C ．若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，则△ABC 为直角三角形D ．若△ABC 为锐角三角形，则sin A ＜cos B 12.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点O ，点E 是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（）A.直三棱柱的体积是1B.直三棱柱的外接球表面积是C.三棱锥的体积与点E 的位置有关D.的最小值为三、填空题(每小题5分，共20分)13．设复数z 满足其中i 是虚数单位，则__________.14．圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为．15．非零向量→a ＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），若→a 与共线，则tan （θ﹣4π）＝．16南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即])2([41222222b a c a c S -+-=（其中S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边）．在斜△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若)cos 3(cos C B c a +=，且B C a sin 3sin =．则此△ABC 面积的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分)17．（10分）已知向量→a ＝（1，1），→b ＝（2，﹣3）．（1）若→c ＝2→a +3→b ，求→c 的坐标；（2）若→a λ﹣2→b 与→a 垂直，求λ的值．18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足bc a c b -=-22）（．（1）求角A 的大小；（2）若a ＝2，sinC ＝2sinB ，求△ABC 的面积．19．（12分）（1）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的体积；（2）如图（单位：cm ），求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的体积．20（12分）已知函数x x x x f 4cos 212sin )1cos 2()(2+-=．（1）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈（0，π），且22)84(=-παf ，求α的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，E 是线段PD 上的点，且，PA ＝PD ＝AD ＝3，32CE =，BC ∥AD ，∠ADC ＝45°．（1）求证：CE ∥平面PAB ；（2）若M 是线段CE 上一动点，则线段AD 上是否存在点N ，使MN ∥平面PAB ？若存在，求出MN 的最小值；若不存在，说明理由．22.（12分）借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB 的半径为20米，圆心角为π4.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ ，另一部分是三角形观赏台AO C.现计划在弧AB 上选取一点M ，作MN 平行OA 交OB 于点N ，以MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ ，NP 长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO OC =且2COA AOM ∠=∠的三角形观赏台AOC ，记)46(ππ<≤=∠x x AOM .（1）当π6AOM ∠=时,过点M 作OA 的垂线，交OA 于点E ，过点N 作OA 的垂线，交OA 于点F,求ME ,OF 及矩形观赏台MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.茂名市第一中学2022—2023学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案1【答案】D ．解：∵z ＝1+2i ，∴z 的共轭复数＝1﹣2i ，对应的点为（1，﹣2），故在第四象限，2【答案】D解：根据向量的线性运算法则，可得．3【答案】A解：，则由余弦定理可得，3＝1+c 2﹣2c ×1×cos＝1+c 2﹣c ，∴c 2﹣c ﹣2＝0，解得c ＝2或﹣1（舍）．4【答案】C解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，则直观图中等腰梯形的高为h ′＝h sin45°；∵等腰梯形的体积为（a +b ）h ′＝（a +b ）•h sin45°＝2，∴（a +b ）•h ＝＝4∴该梯形的面积为4．5【答案】B【详解】依题意，ππππsin 3coscos3sin sin(3)sin 3(3339y x x x x =+=+=+，所以函数sin 3y x =图象向左平移π9个单位可得πsin 3()9y x =+的图象.6【答案】C解：对于A ，不共线的三点确定一个平面，故A 错误；对于B ，l ∥α，则l 与平面α内的直线平行或异面，故B 错误；对于C ，由平面基本性质及其推论得：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故C 正确；对于D ，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或在这个平面内，故D 错误．7【答案】B解：已知2c a cosB ＝，则：2sinC sinAcosB ＝，整理得：()2sin A B sinAcosB +＝，则：()0sin A B -＝，所以：A B ＝.8.【答案】B解：根据题意，建立图示直角坐标系，，，则，，，，是边BC上一点，设，则，，，当时，取得最小值，9【答案】ACD解:由题得A 正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,22，位于第一象限，则D 正确.10【答案】BD解：((11,02,2a b +=++= ，所以4a b +==，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；1313,cos =⋅>=<→→→→→→ba b a b a ，向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．11【答案】AC【解答】解：对于A ，若sin A ＞sin B 成立，由正弦定理可得a ＞b ，所以A ＞B ，故正确；对于B ，由sin2A ＝sin2B ，得到2A ＝2B 或2A +2B ＝π，可得A ＝B 或A +B ＝，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；对C ，若cos 2A +cos 2B ﹣cos 2C ＝1，可得若（1﹣sin 2A ）+（1﹣sin 2B ）﹣（1﹣sin 2C ）＝1，整理得：sin 2A +sin 2B ＝sin 2C ，可得a 2+b 2＝c 2．可得△ABC 为直角三角形，故正确；对于D ，若△ABC 是锐角三角形，则A +B +C ＝π，A +B ＞，A ＞﹣B ，A 、B 、C 均是锐角，由正弦函数在（0，）递增，所以：sin A ＞sin （﹣B ）＝cos B ，故错误．12【答案】AD解：在直三棱柱中，，，所以其体积V=Sh=121121=⨯⨯⨯，故A 正确；对于B ，由直三棱柱结构特征及外接球的对称性可得，其外接球即为长宽高分别为2，1，1的长方体的外接球，所以其外接球半径为，所以其外接球的表面积为，故B 错误；由平面，且点E 是侧棱上的一个动点，，三棱锥的高h 为定值，，，故三棱锥的体积为定值，故C 错误；将四边形沿翻折，使四边形与四边形位于同一平面内，此时，连接与相交于点E ，此时最小，即，故D 正确．13【答案】解：，故14【答案】解：如图，圆锥的母线，圆锥的侧面展开图为扇形，故侧面积为，．15【答案】【解答】解：∵向量＝（sin θ，2），＝（cos θ，1），且与共线，∴＝2，即tan θ＝2，则tan（θ﹣）＝＝＝．16【答案】解：∵，∴sin A＝sin C（cos B+cos C），即sin C cos B+sin C cos C＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，即sin C cos C＝sin B cos C，又C∈（0，π）且C≠，∴sin B＝sin C，∴b＝c，又．∴ac＝b，解得a＝3，＝＝＝，当c＝3时，S max＝．17解：（1）∵＝（1，1），＝（2，﹣3），∴＝2+3＝2（1，1）+3（2，﹣3）＝（8，﹣7）； 4分（2）λ﹣2＝λ（1，1）﹣2（2，﹣3）＝（λ﹣4，λ+6）， 6分∵λ﹣2与垂直，∴1×（λ﹣4）+1×（λ+6）＝0， 9分即λ＝﹣1． 10分18解：（1）因为（b﹣c）2＝a2﹣bc，可得b2+c2﹣a2＝bc， 2分所以cos A＝＝， 3分又A∈（0，π），所以A＝． 5分（2）因为sin C＝2sin B，由正弦定理可得c＝2b， 6分又a＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得4＝b2+c2﹣bc， 8分解得b＝，c＝， 10分所以S△ABC＝bc sin A＝××＝ 12分19【解答】解：（1）正四棱锥的底面边长是a＝6，侧棱长为l＝5，所以正四棱锥的高为h＝＝， 2分所以正四棱锥的体积为V＝Sh＝×62×＝12； 5分（2）图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体，是圆台挖去一个半球，圆台的体积为V圆台＝π（r2+rr′+r′2）h＝×（22+2×5+52）×4＝52π， 8分半球的体积为V半球＝πr3＝×23＝， 10分所以该几何体的体积为V＝V圆台﹣V半球＝52π﹣＝3140（cm3）． 12分20【答案】（1）；；（2）．【解答】解：（1）∵f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x+cos4x＝cos2x sin2x+cos4x 1分＝（sin4x+cos4x）＝sin（4x+）， 3分∴f（x）的最小正周期T＝， 4分令，可得，∴f（x）的单调递减区间为； 6分（2）∵f（）＝，∴， 8分∵α∈（0，π），，∴， 10分∴ 12分21【解答】（1）证明：如图1，在PA上取点F使，连接EF，BF，如图示：∵，∴EF∥AD且， 1分又BC∥AD，且， 2分∴EF∥AD，EF＝AD，∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF， 3分而CE⊄平面PAB， 4分BF⊂平面PAB，则CE∥平面PAB． 5分（2）解：线段AD上存在点N且，使得MN∥平面PAB；理由如下：如图2，在AD上取点N使，连接CN，EN，如图示：∵，，∴EN∥PA， 6分∵EN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EN∥平面PAB； 7分由（1）知CE∥平面PAB，又CE∩EN＝E，∴平面CEN∥平面PAB，又M是CE上的动点，MN⊂平面CEN，∴MN∥平面PAB， 8分∴线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB．∵BC∥AN，BC＝AN，∴ND＝2， 9分在△CND中，∠ADC＝45°，，由余弦定理知CN＝2． 10分在△CEN中，CN＝NE＝2，，∴由余弦定理知∠CNE＝120°，∴MN 的最小值为， 11分∴线段AD 上存在点N ，使MN ∥平面PAB ，且MN 的最小值为1． 12分22.【详解】（1）当π6AOM ∠=时，则π1sin 201062ME OM =⋅=⨯=. 2分πcos 2062OE OM =⋅=⨯=. 3分过N 作OA 的垂线，交AO 于点F ，NF ME =.∵π4AOB ∠=，10OF NF ==，∴10MN OE OF =-=-. 4分因为5NP =.矩形MNPQ 的面积())510501S MN NP =⋅=⨯=-平方米.所以矩形观赏台MNPQ 的面积)501平方米. 5分（2）由题意可知，AOM x ∠=，π4AOB ∠=，π4MON x ∠=-，3π4MNO ∠=，在OMN 中，由sin sin MN OM MON MNO =∠∠，得()cos sin 20cos sin MN OM x OM x x x =-=-. 6分矩形MNPQ 的面积()()1520cos sin 100cos sin S MN NP x x x x =⋅=⨯-=-.7分观赏台AOC 的面积211sin 2020sin 2200sin 222S OA OC AOC x x =⋅⋅∠=⨯⨯=.整个观赏台面积()12100cos sin 200sin 2S S S x x x=+=-+. 8分设πcos sin 4t x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，46(ππ<≤x ，∴.2130-≤<t 9分()2222cos sin cos sin 2sin cos 1sin 2t x x x x x x x =-=+-=-.∴2sin 21x t =-. 10分∴()100cos sin 200sin 2S x x x =-+()2211002001200212.54t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭.当]213,0(41-∈=t 时，整个观赏台观赏台S 取得最大值为212.5平方 11分∴整个观赏台的面积S 的最大值为212.5平方米. 12分。