2020届北京市朝阳区高三下学期二模数学试题一、单选题1．在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果. 【详解】因为(1)1z i i i =+=-+，所以其在复平面内对应的点为()1,1-位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型.2．函数ln ()1xf x x =-的定义域为（ ） A ．(0,)+∞ B ．()0,11(),⋃+∞ C ．[0,)+∞ D ．[)0,11(),⋃+∞【答案】B【分析】令0x >且10x -≠即可求解. 【详解】由题意得：010x x >⎧⎨-≠⎩得0x >且1x ≠，所以函数的定义域为()0,11(),⋃+∞， 故选：B【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.3．如果实数a ，b ，c 满足：a b c >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22ac bc > B ．222a b c >>C ．2a c b +>D ．a c b c ->-【答案】D【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果． 【详解】对于选项A ，当c =0时，ac 2=bc 2，故选项A 错误； 对于选项B ，当1,2,3a b c =-=-=-时，a 2＞b 2＞c 2错误；对于选项C ，当a =1，b =0，3c =-时，a +c ＞2b 错误；对于选项D ，直接利用不等式的基本性质的应用求出a c b c ->-，故选项D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4．圆心在直线0x y -=上且与y 轴相切于点()0,1的圆的方程是（ ） A ．22(1)(1)1x y -+-= B ．22(1)(1)1x y +++= C ．22(1)(1)2x y -+-= D ．22(1)(1)2x y +++=【答案】A【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把()0,1点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案.【详解】A. 22(1)(1)1x y -+-=圆心为(11)，，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(1)(1)1x y -+-=，即22(01)(11)1-+-=成立，正确；B. 22(1)(1)1x y +++=圆心(11)-，-，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误；C. 22(1)(1)2x y -+-=圆心(11)，，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=， ()0,1代入22(01)(111)2-=+-≠，错误；D. 22(1)(1)2x y +++=圆心(11)-，-，满足0x y -=，即圆心在直线0x y -=，()0,1代入22(01)(151)1+=++≠，错误.故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.5．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】A【分析】由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解.【详解】由题意得1p =，由抛物线的定义知：121231422p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题. 6．设等差数列{}n a 的公差为d ，若2n an b =，则“0d <”是“{}n b 为递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可. 【详解】充分性：若0d <，则10n n a a d +-=<，即1n n a a +<，122n n a a +∴<，即1n n b b +<， 所以，数列{}n b 为递减数列，充分性成立；必要性：若{}n b 为递减数列，则1n n b b +<，即122n n a a +<，1n n a a +∴<，则10n n a a d +-=<，必要性成立.因此，“0d <”是“{}n b 为递减数列”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.7．已知函数π()sin(2)6f x x =-则下列四个结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于5π(,0)12中心对称B ．函数()f x 的图象关于直线π8x =-对称 C ．函数()f x 在区间(π,π)-内有4个零点 D ．函数()f x 在区间π[,0]2-上单调递增【答案】C【分析】根据正弦三角函数的对称性、图象、单调性逐项排除，可得答案.【详解】A. 5π5ππ2πsin 2sin 01231262f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误； B. πsin 2sin 188612f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误； C. 当()π,π-时，函数13π112666x π-≤-≤，当π226x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π-，0，π时，πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，正确；D. 由π222,262k x k k Z ππππ-+≤-≤+∈，得()f x 单调递增区间为,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令0,63k x ππ=-≤≤，721,63k x ππ=--≤≤- 所以()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调递增，错误. 故选：C .【点睛】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题.8．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（ ）A ．sin 532sin 47a ︒︒B ．2sin 47sin 53a ︒︒C ．tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D ．sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD △中即可求AC . 【详解】73.526.547BAD ∠=-=，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD=，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD △中，sin sin 73.5ACADC AD=∠=， 所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题. 9．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，2AB =，1AD =，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】设BM CN x BCCD==，01x ≤≤，然后选取,AB AD 为基底，把其他向量用基底表示后计算数量积，表示为x 的函数，由函数知识得最大值． 【详解】设BM CN x BCCD==，01x ≤≤，则AM AB BM AB xBC AB xAD =+=+=+，(1)(1)AN AD DN AD x DC x AB AD =+=+-=-+，∴()(1)AM AN AB xAD x AB AD ⎡⎤⋅=+⋅-+⎣⎦()222(1)1x AB x xAB AD xAD=-++-⋅+222(1)2(1)21cos 13x x x x π=-⨯++-⨯⨯⨯+⨯2225(1)6x x x =--+=-++，∵01x ≤≤，∴0x =时，AM AN ⋅取得最大值5． 故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解．10．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）成立，那么称函数()f x 在D 上具有性质业m ψ．现有函数：①()3f x x =; ②()3xf x =; ③()3log f x x =; ④()tan f x x =．其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】A【分析】对各个选项分别加以判断：根据性质m ψ的函数定义，列出方程可以解出2x 关于1x 表达式且情况唯一的选项是①和④，而②和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得到正确答案.【详解】①()3f x x =的定义域为R ，函数的值域为R ，对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，对于任意的m ，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，其定义域上具有性质m ψ的函数；②()3xf x =的定义域为R ，函数的值域为()0,∞+，对任意1x R ∈，都存在唯一的2x R ∈，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）不恒成立，例如1m =，11x =，不存在唯一的2x R ∈，故②()3xf x =不是定义域上具有性质m ψ的函数；③()3log f x x =定义域为()0,∞+，值域为R ，而且是单调递增函数，所以对任意1x D ∈，都存在唯一的2x D =，对于任意的m ，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，，其定义域上具有性质m ψ的函数；④()tan f x x =定义域为R ，函数的值域为R ，不是单调函数，是周期函数，对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12 f x f x m +=（m 为常数）恒成立，但2x 不唯一，所以在其定义域上不具有性质m ψ的函数； 所以①和③是定义域上具有性质m ψ的函数； 故选：A【点睛】本题利用新定义考查函数的性质，解题的关键是正确理解定义域上具有性质m ψ的含义，属于中档题.二、填空题11．已知平面向量(),3a m =，()1,6b =，若//a b ，则m =________． 【答案】12【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】(),3a m =，()1,6b =， 若//a b ，则63m =， 解得：12m =， 故答案为：12【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.12．在61x ⎫+⎪⎭的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答）【答案】15【分析】由二项式展开式通项有6321r r r nTC x-+=，可知常数项的值；【详解】二项展开式通项为6632211()r rr r rr nn T C x C x x--+==， ∴当2r时，常数项23615T C ==，故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，利用二项式展开式的通项求常数项，属于简单题； 13．某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________．【答案】12【分析】先根据三视图判断其直观图，再利用三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】根据三视图可知其对应的直观图如下：下底面是等腰梯形，//AD BC ，2,4AD BC ==，高为3，侧棱EA ⊥平面ABCD ，4EA =，故体积()111243412332V Sh ⎡⎤==⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：12.14．颗粒物过滤效率η是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为out inout100%C C C η-=⨯，其中out C 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ），in C 表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L ）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点ij A 的横坐标表示第i 种口罩第j 次测试时out C 的值，纵坐标表示第i 种口罩第j 次测试时in C 的值()1,2,1,2,3,4i j ==．该研究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高; ②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高; ④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是__________． 【答案】②④【分析】先根据题意分析得直线ij OA 的斜率inoutC k C =越大，颗粒物过滤效率η越小，再看图逐一分析结论即可. 【详解】依题意，out ininout out 100%1100%C C C C C η⎛⎫-=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭，知直线ij OA 的斜率inoutC k C =越大，颗粒物过滤效率η越小. 看图分析如下： 在第1种口罩的4次测试中，四条直线1(1,2,3,4)j OA j =中，直线14OA 斜率最大，故η最小，第4次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；在第2种口罩的4次测试中，四条直线2(1,2,3,4)j OA j =中，直线23OA 斜率最小，故η最大，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；在第1次和第2次测试中，直线2j OA 斜率大于1j OA 斜率，(1,2)j =，即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3次和第4次测试中，1j OA 斜率大于直线2j OA ，斜率(1,2)j =，即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确. 故答案为：②④.三、双空题15．已知双曲线C 的焦点为()10,2F ，()20,2F -，实轴长为2，则双曲线C 的离心率是______；若点Q 是双曲线C 的渐近线上一点，且12FQ F Q ⊥，则12QF F 的面积为______．【答案】2【分析】易得2c =，1a =，再结合222b c a =-，可知b =ce a=求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为3y x =，设点(,)3Q x x ，分别求出1FQ 和2F Q ，根据120FQ F Q ⋅=列出方程，求出x 的值，然后可得点Q 到y 轴的距离，124F F =，最后计算12QF F 的面积.【详解】易知2c =，22a =，所以1a =，又222413b c a =-=-=，b =2ce a==；所以双曲线的方程为：2213x y -=，其中经过一、三象限的渐近线方程为3y x =，故可设点(,)3Q x x ，所以1(,2)3F Q x x =-，2(,2)3F Q x x =+，因为12FQ F Q ⊥，所以120FQ F Q ⋅=，即2220x x ⎫+-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解之得：x =Q 到y 124F F =，所以：121211422QF F S F F ===△.故答案为：2；【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.四、解答题16．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，且51a =，___________．若存在正整数n ，使得n S 有最小值． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式; （Ⅱ）求n S 的最小值．从①31a =-，②2d =，③2d =-这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析【分析】分别选择①②③，然后结合等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解即可．【详解】解：①31a =-时，根据题意得532a a d -=，1−（−1）＝2d ，解得d ＝1， （Ⅰ）()55154n a n d n a n =+-=+-=-; （Ⅱ）()()()211173222n S n n n n n nna d n ---=+=⨯-+=所以当n ＝3或4时，()min n S ＝−6.②2d =时，根据题意得1541427a a d =-=-⨯=-，（Ⅰ）()()1171229n a n d n n a =+-=-+-⨯=- （Ⅱ）()()()211172822n n n n n na d S n n n --=+=⨯-+⨯=-，所以当n ＝4时，()min n S ＝−16，③2d =-时，根据题意得()1541429a a d =-=-⨯-=，（Ⅰ）()()11912211n a n d a n n =+-=--⨯=-+； （Ⅱ）()()2111921022n n n n n na d n n S n --=+=⨯-⨯=-+，此时n S 没有最小值．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，关键是利用等差数列求和公式的函数性质来解题，属于基础题.17．如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π3EDC ∠=．（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）答案见详解；（2）64；（3）存在，3AG =. 【分析】(1) 由AD DC ⊥和AD DE ⊥，利用线面垂直的判定定理即证结论； (2)先根据等体积法计算点B 到平面ADE 的距离d ，再利用正弦等于dBD即得结果； (3) 先取DC ，AB 上点N ，G 使得CN =BG =1，证明平面MNG //平面ADE ，即得//MG 平面ADE ，3AG =.【详解】解：（1） 证明：正方形ABCD 中，AD DC ⊥， 又AD DE ⊥，DCDE D =，,DC DE ⊂平面CDEF ，所以AD ⊥平面CDEF ；（2）设直线BD 与平面ADE 所成角为θ，点B 到平面ADE 的距离d ，则sin dBDθ=. 依题意，42BD =，由（1）知AD ⊥平面CDEF ，得平面ABCD ⊥平面CDEF ，故点E 到平面ABCD 的距离1sin33h DE π=⋅=Rt ADE △中，1124422ADESAD DE =⋅⋅=⨯⨯=，又1144822ABDSAD AB =⋅⋅=⨯⨯=，故根据等体积法B ADE E ABD V V --=，得11133ADEABD S d S h ⋅=⋅，即83234d ⨯==，故236sin 442d BD θ===，故直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值是6； （3）//AB DC ，DC ⊂平面CDEF ，AB ⊄平面CDEF ，//AB ∴平面CDEF ，又平面CDEF平面ABEF EF =，AB平面ABEF ，////AB EF CD ∴.分别取DC ，AB 上点N ，G ，使得CN =BG =1，又//CN BG ，故四边形CNGB 是平行四边形，//BC NG ∴，又NG 在平面ADE 外，BC 在平面ADE 内，//NG ∴平面ADE ， 取DC 中点H ，则DH =EF =2，又//DH EF ，故四边形EFDH 是平行四边形，//DE HF ∴，又11142CN DC CH ===，M 是CF 的中点，故MN 是中位线，////DE HF MN ∴，又MN 在平面ADE 外，DE 在平面ADE 内，//MN ∴平面ADE ，因为MN ，NG 相交于平面MNG 内，所以平面MNG //平面ADE ，又MG ⊂平面MNG ， 故此时//MG 平面ADE ，3AG =.【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中直线与平面所成角的常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线线段长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.18．近年来，随着5G 网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：[)5,6，[)6,7，[)7,8，[]8,9并整理得到如下的频率分布直方图：（I ）求a 的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为0μ．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为1μ;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为2μ．有同学认为0102μμμμ-<-，你认为正确吗？说明理由．【答案】（I ）0.3；（Ⅱ）分布列见解析，67；（Ⅲ）不正确，理由见解析. 【分析】（I ）根据频率分布直方图概率之和等于1，即可求得a 的值（Ⅱ）按照分层抽样比分别求出行驶里程在[)7,8和[)8,9的无人驾驶汽车数量，X 的所有可能取值为0,1,2，求出相应的概率即可列出分布列，求出数学期望.（Ⅲ）由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果的影响， 这种说法不正确.【详解】（I ）由题意可知:()10.10.20.41a ⨯+++=，所以0.3a =；（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在[)7,8这一组的无人驾驶汽车有410410⨯=辆， 则行驶里程在[)8,9这一组的无人驾驶汽车有310310⨯=辆， 有题意可知：X 的所有可能取值为0,1,2()2427207C P X C ===，()114327417C C P X C ===，()2327127C P X C ===，所以X 的分布列为所以X 的数学期望为()0127777E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）这种说法不正确，理由如下：由于样本具有随机性，故1μ，2μ是随机变量，受抽样结果的影响. 因此有可能1μ更接近0μ，也有可能2μ更接近0μ， 所以0102μμμμ-<-不恒成立，所以这种说法不正确.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且椭圆C 经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知过点()4,0P 的直线l 与椭圆C交于不同的两点A ，B ，与直线1x =交于点Q ，设AP PB λ=，(,)AQ QB μλμ=∈R ，求证：λμ+为定值．【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）证明见解析 【分析】（Ⅰ）由离心率得2c a ==，由椭圆过一点．得221614a b +=，两者结合可解得,a b ，得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l 方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程后可得1212,x x x x +，由AP PB λ=，AQ QB μ=，把,λμ用12,x x 表示，然后计算λμ+并代入1212,x x x x +即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意2221614a b =⎨⎪+=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22142x y +=；（Ⅱ）易知直线l 斜率存在，设其方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22142(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消元y 整理得2222(12)163240k x k x k +-+-=， ∴21221612k x x k +=+，212232412k x x k-=+， 把1x =代入(4)y k x =-得3y k =-，即(1,3)Q k -， 由AP PB λ=，得124(4)x x λ-=-，1244x x λ-=-， 由AQ QB μ=，得121(1)x x μ-=-，1211x x μ-=-， ∴11121222224125()841(4)(1)x x x x x x x x x x λμ---+++=+=----22222264*********(4)(1)k k k k x x --+++==--， ∴λμ+为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为(4)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得1212,x x x x +，把它代入题中需求的量化简可得结论． 20．已知函数()()2sin cos f x x x x ax a R =--∈. （1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1. （ⅰ）求a 的值；（ⅱ）证明：函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点；（2）当1a ≤时，证明：对任意()0,x π∈，()0f x >. 【答案】（1）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）（ⅰ）先对函数求导，然后把0x =代入导函数中使其值等于零，可求出a 的值；（ⅱ）令()()g x f x '=，则()cos g x x x '=，可得()g x 在()0,π上的单调性，也是()f x '在()0,π上的单调性，而()010g =>，022g ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()10g π=-<，所以存在唯一的0(,)2x ππ∈是()0f x '=的变号零点，故函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点；（2）由（1）可知，()f x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，当1a ≤时，()010f a '=-≥，()1f a π'=--，所以分两类讨论：（i ）若()10f a π'=--≥，易证()f x 在()0,π内单调递增，()()00f x f >=，符合题意，（ii ）若()10f a π'=--<，可得在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内()f x '有且只有一个零点，记为1x ，而函数()f x 在()10,x 内单调递增，在()1,πx 内单调递减，可得()0f x >，符合题意. 【详解】（1）（ⅰ）因为()2sin cos f x x x x ax =--， 所以()()2cos cos sin cos sin f x x x x x a x x x a '=---=+-. 因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为1， 所以()01f '=，即11a -=，故0a =. 经检验，符合题意.（ⅱ）由（ⅰ）可知()2sin cos f x x x x =-，()cos sin f x x x x '=+. 设()()g x f x '=，则()cos g x x x '=. 令()0g x '=，又()0,x π∈，得2x π=.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减.又()01g =，22g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1g π=-， 因此，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()00g x g >>，即()0f x '>，此时()f x 在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上无极值点；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x =有唯一解0x ，即()0f x '=有唯一解0x ， 且易知当0,2x x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()0,x x π∈时，()0f x '<， 故此时()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一极大值点0x . 综上可知，函数()f x 在区间()0,π内有唯一极值点.（2）因为()cos sin f x x x x a '=+-，设()()h x f x ='，则()cos h x x x '=. 令()0h x '=，又()0,x π∈，得2x π=.且当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>﹔当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减.当1a ≤时，()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=->⎪⎝⎭，()1f a π'=--. （i ）当()10f a π'=--≥，即1a ≤-时，()0f x '≥. 此时函数()f x 在()0,π内单调递增，()()00f x f >=﹔ （ii ）当()10f a π'=--<，即11a -<≤时， 因为()010f a '=-≥，022f a ππ⎛⎫'=->⎪⎝⎭ ， 所以，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内()0f x '≥恒成立，而在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内()f x '有且只有一个零点，记为1x ，则函数()f x 在()10,x 内单调递增，在()1,πx 内单调递减.又因为()00f =，()()10f a ππ=-≥，所以此时()0f x >.由（i ）（ii ）可知，当1a ≤时，对任意()0,x π∈，总有()0f x >.【点睛】此题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造函数、虚设零点、灵活运用零点存在性定理是解题的关键，考查转化与化归能力、运算能力，属于难题.21．设集合{}1234,,,A a a a a =，其中1234,,,a a a a 是正整数，记1234A S a a a a =+++．对于i a ，14()j a A i j ∈≤<≤，若存在整数k ，满足()i j A k a a S +=，则称i j a a +整除A S ，设A n 是满足i j a a +整除A S 的数对()(),i j i j <的个数． （I ）若{}1,2,4,8A =，{}1,5,7,11B =，写出A n ，B n 的值; （Ⅱ）求A n 的最大值;（Ⅲ）设A 中最小的元素为a ，求使得A n 取到最大值时的所有集合A ．【答案】（1）2A n =，4B n =；（2）4；（3）{},5,7,11A a a a a =，或{},11,19,29A a a a a =.【分析】（1）根据定义得到A S ，B S ，即可得到A n ，B n 的值；（2）结合条件得到,)i j （最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，排除(2, 4) , (3，4)即可得到A n 的最大值；（3）假设12340a a a a a =<<<<，2311,a a a v a u +==+，根据定义可得166u a a ==或11212u a a ==，进而得到A .【详解】（1）根据条件所给定义，S A =15=5(1+2)=3(1+4)，故2A n =， S B =24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故4B n =. （2）不妨设12340a a a a <<<<，因为1234243411()22A A a a a a a a a a S S +++++=<<<，所以24a a +，34a a +不能整除A S ，因为,)i j （最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以624A n ≤-=，当{}1,5,7,11A =时，4A n =，所以A n 的最大值为4 ；（3）假设12340a a a a a =<<<<，由（2）可知，当A n 取到最大值4时，12131423,,,a a a a a a a a ++++均能整除A S ，因{}14231max ,2A A a a a S S a ++≤<，故{}14231max ,2A a a a a S ++=，所以1423a a a a +=+， 设2311,a a a v a u +==+，则,u v 是2312()2(2)A S a a u a v ==+-+的因数， 所以v 是12(2)u a -的因数，且u 是12(2)v a -的因数，因为u v <， 所以12(2)22u v a u -<<，因为v 是12(2)u a -的因数，所以124v u a =-， 因为u 是112(2)412a v u a -=-的因数，所以u 是112a 的因数，因为124u v u a <=-，所以14u a >，所以166u a a ==或11212u a a ==， 故{}1111,5,7,11A a a a a =，或{}1111,11,19,29A a a a a =，所以当A n 取到最大值4时，故{},5,7,11A a a a a =，或{},11,19,29A a a a a =. 【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质。
