湖南省炎德英才杯2019-2020学年高一下学期基础学科知识竞赛数学试题

2020年“炎德英才杯”高一基础学科知识竞赛数学时量：120分钟 满分：100分得分：_____________一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}|22x A x =>，{}2|,B y y x x ==∈R ，则()R A B =（ ） A.[)0,1 B.()0,2 C.(],1-∞ D.[]0,12.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()31f x f x +=-，若当[]2,0x ∈-时，()2x f x -=，记21log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b f =，()23c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.c b a >> C.c a b >> D.a c b >>3.在ABC △中，D 是边AC 上的点，且AD AB =，BD =，2BC BD =，则sin C 的值为（ ） A.12 B.14 C.18 D.1124.如图，圆O 是边长为ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆O 上任意一点，若BM xBA yBD =+（x ，y ∈R ），则2x y +的最大值为（ ）C.2D.5.如图，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +正四面体的外接球的表面积是（ ）A.12πB.32πC.8πD.24π6.已知函()2f x x ax b =++，m ，n 满足m n <且()f m n m =-，()f n m n =-，则当m x n <<时，有（ ）A.()f x x n +<B.()f x x m +>C.()0f x x -<D.()0f x x ->7.将函数()44sin cos f x x x =+的图象向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图象，若函数()y g x ω=在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则正数ω的最大值为（ ） A.12 B.1 C.32D.23 8.在平面直角坐标系xOy 中，过点()1,4P ，向圆C ；()2225x m y m -+=+（16m <<）引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点（ ） A.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知圆O ：224x y +=和圆C ：()()22231x y -+-=.现给出如下结论，其中正确的是（ ） A.圆O 与圆C 有四条公切线B.过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y -+=C.过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y -+=D. P 、Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3310.如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A.若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCDB 若BC DE ⊥，则直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为4C.若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心D.若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM EN =11.已知函数()()sin sin f x x x π=+，现给出如下结论，其中正确的是（ ）A.()f x 是奇函数B.()f x 是周期函数C.()f x 在区间()0,π上有三个零点D.()f x 的最大值为2 12.已知函数(){}1f x x x=-，其中{}x 为不小于x 的最小整数，如{}3.54=，{}33=，则关于()f x 性质的表述，正确的是（ ）A.定义域为{}|x x ≠Z B .在定义域内为增函数C.函数为周期函数D.函数为奇函数三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分.）13.若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为14.函数y =15.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，中心为O ，12BF BC =，1114A E A A =，则四面体OEBF 的体积为16.已知圆O ：221x y +=，直线l ：2y x a =+，过直线l 上的点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得32PA PB PO +=，则实数a 的取值范围是 四、解答题（共4小题，每小题11分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点()1,1A 的距离，记点P 的轨迹为C .（1）求点Ｐ的轨迹C 的方程并作出动点P 的轨迹的图形；（2）设(),Q x y 是轨迹C 上的任意一点，求：①2x y +的最大值；②22x y +的最小值.18.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若7,12παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12πβ=，且点A 的坐标为()1,A m -. （1）4tan 23α=-，求实数m 的值； （2）若3tan 4AOB ∠=-，求sin 2α的值. 19.如图1，图2，在矩形ABCD 中，已知2AB =，3AD =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且1AE CF ==，将四边形ABCE 沿EC 折起，使点B 在平面CDE 上的射影H 在直线DE 上.（1）求证：CD BE ⊥；（2）求证：//HF 平面ABCE ；（3）求直线AC 与平面CDE 所成角的正弦值.20.已知24log 02x +⋅≤. （1）求x 的取值的集合A ；（2）x A ∈时，求函数()1342x x f x ++=-的值域；（3）设()21,032,2,20,x x g x x x ⎧-≤≤=⎨+-≤<⎩若()y g x a =-有两个零点1x 、2x （12x x <），求1ax 的取值范围.2020年“炎德英才杯”高一基础学科知识竞赛数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.D 【解析】∵{}{}|22|1x A x x x =>=>， ∴{}R |1A x x =≤，又∵{}|0B y y =≥，∴()[]R 0,1A B =，故选D.2.A 【解析】∵()()31f x f x +=-，∴()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，当[]2,0x ∈-时，()2x f x -=，则函数()f x 为减函数，即当(]0,2x ∈时，()f x 为增函数，21log 24=-，则()()21log 224a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， ()()()()239811c f f f f ===+=，∵12<<，且当(]0,2x ∈时，()f x 为增函数，∴()()12f f f <<，∴a b c >>，故选A.3.B 【解析】在ABC △中，D 是边AC 上的点，且AD AB =，BD =，2BC BD =， 设AB x =，则AD x =，BD =，BC =， 如图所示，过点A 作AE BD ⊥，所以2BE x =，3BAE π∠=， 所以23BAC π∠=， 在ABC △中，利用正弦定理sin sin BC AB BAC C =∠，sin 2x C =，整理得1sin 4C =.故答案为14.选B. 4.C 【解析】以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，设内切圆的半径为r ，根据三角形面积公式得到11sin 6022l r S AB AC ︒⨯⨯==⨯⨯⨯周长， 可得到内切圆的半径为1，圆O 是以()0,1为圆心，1为半径的圆；可得到点的坐标为：()B，)C ，()0,3A ，()0,0D ，()cos ,1sin M θθ+，()cos sin BM θθ=+，)BA =，)BD =，故得到())cos sin ,3BM x θθ=+=，故得到cos θ=-sin 31x θ=-，1sin ,3sin 2,33x y θθ+⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩则sin 4242sin 233333x y θπθ⎛⎫+=+=++≤ ⎪⎝⎭. 故最大值为2.故答案为C.5.A 【解析】将三角形ABC 与三角形ACD 展成平面，BP PE +的最小值，即为BE 两点之间连线的距离，则BE =设2AB a =，则120BAD ∠=︒，由余弦定理221414222a a a a+--=⋅⋅，解得a =则正四面体棱长为设外接球半径为R，则R ==， 则正四面体的外接球的表面积244312S R πππ==⋅=.故选A.6.A 【解析】设(),A m n m -，(),B n m n -，即直线AB 的方程为2y x m n =-++，从图中可得m x n <<时，()2f x x m n <-++，∴()f x x x m n +<-++，又∵m x <，∴0m x -<，即m x n n -+<，∴()f x x n +<.故选A.7.A 【解析】函数()()2442222sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x =+=+-2111cos 4131sin 21cos 422244x x x -=-=-⨯=+， ()f x 的图象向左平移8π个单位长度，得到()1313cos 4sin 448444g x x x π⎡⎤⎛⎫=++=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，∴函数()13sin 444y g x x ωω==-+， 若该函数在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，则4,,322x ωπππωωπ⎡⎤⎡⎤∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴,32,2ωπππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得12ω≤，∴正数ω的最大值为12.故选A. 8.B 【解析】平面直角坐标系xOy 中，过点()1,4P 引圆C ：()2225x m y m -+=+（16m <<）的两条切线，==，∴以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为：()()2214122xy m -+-=-，联立()()()222225,14122,x m y m x y m ⎧-+=+⎪⎨-+-=-⎪⎩ 可得直线AB 的方程为()2282100m x y m --++=.整理得()()2810220x y m x --+++=，令28100,220,x y x --+=⎧⎨+=⎩得1x =-，32y =. ∴直线AB 过定点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选B. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.AD【解析】两圆圆心距1221OC r r =>+=+，所以两圆相离，有四条公切线，A 正确；截距相等可以过原点或斜率只能为1-，B 不正确；过圆外一点与圆相切的直线有两条，C 不正确；PQ 的最大值等于12OC r r ++，最小值为12OC r r --，D 正确.10.ABC 【解析】∵BC CD ⊥，BC DE ⊥，CD DE D =，∴BC ⊥平面CDE ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，则EF CD ⊥.∵平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE ∴EF ⊥平面ABCD ，设EA 与平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，EF =，AF ==AE ==则sin 4EF AE θ==，B 项正确； 连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B 、M 、E 确定的面即为平面BDE ，当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈，又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确；连接FN ，∵FN ⊂平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，∴EF FN ⊥，∵F 、N 分别为CD 、BD 的中点，则112FN BC ==，又EF =2EN =，BM ==BM EN ≠，D 项错误. 故选ABC.11.AC 【解析】∵x ∈R ，()()()()sin sin sin sin f x x x x x f x ππ-=-+-=--=-，∴()f x 是奇函数，A 正确；sin y x =的周期12T k π=，k ∈Z ，()sin y x π=的周期22T n =，n ∈Z ，∵{}{}1122||2,2,T T k k T T n n π=∈=∈=∅Z Z ，∴()f x 不是周期函数，B 错误；令()()sin sin 0f x x x π=+=，得()()sin sin sin x x x π=-=-，∴2x x k ππ=-+，k ∈Z ，或2x x k πππ-=+，k ∈Z ， 解得21k x ππ=+，k ∈Z 或()211k x ππ+=-，k ∈Z ， 又()0,x π∈，21x ππ=+或41x ππ=+或1x ππ=-，C 正确； 当sin 1x =时，22x k ππ=+，k ∈Z ，当()sin 1x π=时，122x k =+，k ∈Z ， ∵12,2,22x x k k x x k k ππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈=∅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ， 即sin y x =与()sin y x π=不可能同时取得最大值1，故D 错误.故选AC.12.AC 【解析】易{}0x x -≠，故定义域为{}|x x ≠Z ，故A 选项正确；令(){}g x x x =-，易知(){}(){}{}()11111g x x x x x x x g x +=+-+=+--=-=，故{}f x 是以1为周期的函数，故C 选项正确，B 选项错误；因为()()f x f x --≠，故D 选项错误.故选AC.三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分.） 13.35【解析】设平面向量a 与b 的夹角为θ，∵()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，可得a b =， 在等式2a b a b +=-两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，化简得3cos 5θ=.14.y ==其几何意义为点(),0P x 到点()1,1A -、()2,2B 两点的距离之和，()1,1A -关于x 轴的对称点()1,1C --，当B 、P 、C 三点共线时y 的值最小为15.196【解析】取AB 的中点M ，连接OM ，则//OM BF ， 过M 作MH BE ⊥于H ，则MH ⊥平面BEF ，在正方形11ABB A 中，利用等面积法可以求得110MH =， 所以11396O BEF M BEF BEF V V S MH --===△.16.a -≤≤AB ，OA ，OB ，OP ，设PO 与AB 交于点C ，直线PA ，PB 是圆O 的切线，切点分别为A ，B ，∴PA PB =，∴PC AB ⊥，∵OA OB =，∴OC AB ⊥，∴O ，C ，P 三点共线，∴AC OP ⊥，322PA PB PC PO +==，34PC PO =，∴14OC OP =， ∵Rt Rt PAO ACO ∽△△，∴OA OP OC OA =，∴22114OC OP OP OA ⋅==，∴2OP =，要使在直线l 上存在点P 使得2OP =，则点O 到直线l 的距离2d ≤，2d =≤，a ≤∴a -≤≤四、解答题（共4小题，每小题11分，共44分。