导数恒成立问题

1<x≤e时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间
为(1,e],f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值.
课堂考点探究
变式题1 已知f(x)=ax-ln
ln
x,x∈(0,e],g(x)= ,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,

a∈R.
1
1
上的最大值为- ,f(x)在 ,2
2
2
上的最小值为ln 2-2.
课堂考点探究
变式题2 [2021·重庆八中模拟] 已知函数f(x)=ln
1 2
x- x .
2
(2)若不等式f(x)>(2-a)x2有解,求实数a的取值范围.
解:原不等式即为ln
1 2
ln
1
ln
1
x- x >(2-a)x2,可化简为2-a< 2 - .记g(x)= 2 - ,则原不等式
用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结
构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.
课堂考点探究
(2)可化为不等式恒成立问题的基本类型:
类型1:函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,只需f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.
类型2:函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,只需f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.
值的过程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不等式放缩法、叠加不等式
放缩法等.
课堂考点探究
探究点一
恒成立与能成立问题
例1 [2022·南京调研] 设函数f(x)=(x2-a)ex,a∈R,e是自然对数的底数.

导数之恒（能）成立问题解析发布时间：2023-03-07T06:25:34.915Z 来源：《中国教工》2022年10月20期作者：侯萍[导读] 恒成立问题为高考热点，多与导数结合，既考察学生的计算能力，又考察分类讨论侯萍弥勒市第一中学云南弥勒652399恒成立问题为高考热点，多与导数结合，既考察学生的计算能力，又考察分类讨论，化归转化，数形结合等多种数学思想，综合性极强。

该题型通法为分离参数法，即将问题化归转化为给定区间上的af(x)(或af(x))形式后求解af(x(或af(x)即可。

需要注意的是自变量系数部分为一个代数式或不等式两边同时除以一个代数式时，该代数式符号要能确定，否则就要分类讨论，或结合具体条件寻找有无特法。

如：x[]时，ax+2>0恒成立，求实数a的取值范围。

除了分类讨论法，本题只要使线段的两个端点均在x轴上方即可，即易得-2<a<2。

又如：已知函数(a - )+ lnx ，aR。

（1）当a=1时，求f(x)在[1,e]上的最值；（2）当x时，函数f(x)的图像恒在直线y=2ax下方，求实数a的取值范围。

解：（1）易知f(x)=x+>0，f(x=f(1)= ，f(x=f(e)=1+ ；（2）令g(x)=f(x)-2ax=(a - )+ lnx -2ax 。

由题知x时，g(x)<0恒成立。

因为g(x)=(2a - 1)x - 2a+ = 。

，即a=时，检验得符合要求；当时，令g(x)=0得x=1或x= 。

①当,即时，x>时g(x)>0 ，1<x<时g(x)<0 。

故x时g(x)不合题意，舍去；②当0<,即a1时，x时g(x)>0 ,g(x)不合题意，舍去；③当<0,即a<时，2a-1<0, x时g(x)<0，g(x)递减，只要g(1)= - a - ,则此时 ,综上可知，实数a的取值范围为再如本题第三问：已知函数 + xlnx，g(x)= - 3 。

04
导数的实际应用举例
导数在经济学中的应用
03
边际分析
弹性分析
最优化问题
导数可以用来分析经济行为的边际效应， 例如边际成本、边际收益等，帮助企业做 出更优的决策。
导数可以用来分析需求弹性、供给弹性等 ，帮助企业了解市场对价格的敏感度，从 而制定合理的价格策略。
导数可以用来求解最大值或最小值问题， 例如利润最大化、成本最小化等，帮助企 业实现资源的最优配置。
在研究不等式问题时，可以利用函数的单调性简化问题，例如比较大 小、证明不等式等。
利用导数研究函数的极值与最值
01
极值点和最值点是函数的重要特 征点，通过求导可以找到这些点 。
02
在研究不等式问题时，可以利用 函数的极值点和最值点进行证明 ，例如利用极小值点证明不等式 。
03
导数在存在性及恒成立问 题中的应用
要点二
详细描述
导数具有可加性，即两个函数的和或差的导数等于两个函 数导数的和或差。导数还具有可乘性，即两个函数的乘积 的导数等于两个函数导数的乘积。此外，链式法则也是导 数的一个重要性质，即复合函数的导数等于内部函数的导 数乘以外部函数的导数。这些性质在研究函数的单调性、 极值和曲线的形状等方面具有广泛的应用。
02
导数与不等式的关系
导数在不等式证明中的应用
利用导数研究函数的单调性，进而证明不等式
通过求导判断函数的单调性，利用单调性证明不等式。
利用导数研究函数的极值与最值，进而证明不等式
通过求导找到函数的极值点和最值点，利用这些点的函数值证明不等式。
利用导数研究函数的单调性
01
02
单调性是函数的重要性质之一，通过求导可以判断函数的单调性。

应用导数研究函数的恒成立与存在性问题例已知函数()()()21,ln 12f x x xg x x a =+=+-. （1）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x =，求实数a 的取值范围；（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x >，求实数a 的取值范围；（3）若对任意[]0,2x ∈，恒有()()f x g x >，求实数a 的取值范围；（4）若对任意[]12,0,2x x ∈，恒有()()12f x g x >，求实数a 的取值范围；（5）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围；（6）若对任意[]20,2x ∈，存在[]10,2x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围；（7）若存在[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围；（8）若存在[]12,0,2x x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围；(1)恒成立问题①. ①x①D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；①. ①x①D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)ma x<A；①. ①x①D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,① F(x)min >0；①. ①x①D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,① F(x) ma x <0；(2)存在性问题①. ①x0①D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A；①. ①x0①D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x) min <A；①. ①x0①D,使得f(x0) >g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),① F(x) ma x >0；①. ①x0①D,使得f(x0) <g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),① F(x) min <0；(3)相等问题若f(x)的值域分别为A,B,则⊆；①. ①x1①D, ①x2①E,使得f(x1)=g(x2)成立,则A BI.① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1)=g(x2)成立,则A B≠∅(4)恒成立与存在性的综合性问题① ①x1①D, ①x2①E, 均有f(x1) >g(x2)成立,则f(x)min > g(x)ma x；① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) ma x > g(x) min；① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)m in > g(x)m in；① ①x1①D, ①x2①E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)max > g(x)max.强化训练1. 已知()()2111x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意*x N ∈，()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围 .2.已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e3.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.4.设函数()()x x x g x x a x f 34,ln 3+-=+=，对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21,t s ，都有()()t g s f ≥成立，则实数a 的取值范围是______．5.已知函数()()a x g x x x f x-=--=2,133，若对任意[]2,01∈x ，存在[]2,02∈x 使()()221≤-x g x f ，则实数a 的取值范围是______．6.已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．7.对任意m ①[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．3()ln f x ax x =+y a ,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m。