第九讲数形结合思想
【中考热点分析】
数形结合思想是数学中重要的思想方法，它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联
系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙的结合起来，并充分利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的操作性强，便于把握。
【经典考题讲练】
例「（2015
衢州）如图，已知直线y 4x 3分别交x轴、y轴于点A、B，p是抛物线
-X22x 5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线2
A( -1，0)，B( 4，0 )，抛物线例2. (2014 ?广州)已知平面直角坐标系中两定点
)过点A、B,顶点为C.点P (m, n)
(n<0 )为抛物线上一点.
(1) 求抛物线的
解析式与顶点C的坐标.
实用文案
，当/APB 为直角时，将该抛物线 ）个单位，点
P 、C 移动 后 对 应 的 点 分 别 记 为
3）若 向左或向右平移 t （
，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、
所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.
解析： ( 1)待定系数法求解析式即可，求得解析式后转换成顶点式即可．
(2 )因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在O C的内部时，满足/ APB为钝角，所以
-1 v m v 0，或3 v m v 4 .
(3 )左右平移时，使 A 'D+DB 〃最短即可，那么作出点C '关于(轴对称点的坐标为C〃，得到直线P〃C〃的解析式，然后把A点的坐标代入即可.
答案：（1）解：依题意把的坐标代入得:
抛物线解析式为
顶点横坐标
代入抛物线得
(2) 如图, 当时,设
（注意用整体代入
法）
实用文案解得
实用文案
为钝角.
(3) 依题意
( 向右
向左)
连接
又的长度不变
四边形周长最小，只需最小即可
轴向右平移 5 各单位到
实用文案
当且仅当
线时
点
八
、
、
代入，得
•••当，P、C向左移动
单位时，此时四边形ABP ' C'周长最小。
例3. （2012杭州）如图，A E切O O于点E, AT交O O于点M , N ,线段O E交AT于点 C , O B丄AT于点B ,已知/ EAT = 30 °, .（1）求/CO B的度数；（2）求O O的半径R ; （3）点F在O O上（是劣弧），且EF = 5,把△O BC经过平移、旋转和相似变
换后，使它的两个顶点分别与点E， F 重合 . 在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在O O 上的三角形吗？
请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△O BC 的周长之比 .
解：⑴VAE切O O于点E,「.OE丄AE,
••OB丄AT,「.在MAE 和△COB 中，/ AEC=Z CBO = 90 而/BCO =Z ACE,A/COB=Z A = 30 °.(3 分)
图⑴
(2)在Rt A ACE 中，AE= 3 ，/A = 30 ° ,
.••EC= AE tan30 ° =3.
如图⑴，连接OM ,
在Rt ZMOB 中，OM = R, MB = = ,
「•OB = = .
在Rt Z COB 中，/ COB = 30 ° ,
•••0C = .
••OC + EC= R,「. •+ 3 = R
整理得R2+ 18 R- 115 = 0，即(R+ 23)( R- 5) = 0 ,
.••R= —23(不符合题意，舍去)，或R= 5 ,「.R= 5.(8分)
⑶在EF的同一侧，满足题意的三角形共有6个，如图⑵(3)(4)，每个图有2个满足题意的
三角形.
能找出另一个顶点也在O O上的三角形，如图⑴，延长EO交O O于D，连接DF，则ADFE 为符合条件的三角形.
图(2) 图(3) 图(4)
由题意得，△ DFEs^BC.
由⑵得，DE= 2R= 10 , OC = = 2, •= = = 5.(14 分)【解答策略提炼】
解题策略，数形结合思想包含“以形助教”和“以数助形”两个方面，即用数形结合思想解题可分两类：一是依形判教，用形解决数的问题，常见于借助数轴、函数图像、几何图形来
求解代数问题；二十就数论形，用数解决形的问题，常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题。
【专项达标训练】
一、填空题
1•如图所示，在梯形ABCD 中，AD //BC,/ABC=90 °,AD=AB=6 , BC=14，点M 是线
段BC上一定点，且MC=8，动点P从C点出发沿C T D T AB的路线运动，运动到点 B 停止，在点P 的运动过程中，使△ PMC为等腰三角形的点P有()个。
2. 已知抛物线y=ax 2-2ax-1+a(a>0) 与直线x=2,x=3,y=1 围成的正方形有公共点，则a的
取值范围是。
1
3. 如图，抛物线y= x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A (-1,0 ),
2
点M( m,0 )是x轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，m的值是____________ 24/41
