培优：用分组分解法进行因式分解
【知识精读】
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
【分类解析】
1. 在数学计算、化简、证明题中的应用
例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ） A a a B a a C a a D a a .().().().()22
2222221111+--+++--
分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式=+++++211242a a a a a (()
=++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321
2221
21
1()()()()()
故选择C
例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+-
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1：
原式=-+--+=--+=-++-+()()
()()
()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111
解法2：
原式=-+-+-=-+-+-=-++=-++-=-++-+()()()
()()()
()()
()[()]
()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5432424242222111111121111
2. 在几何学中的应用
例：已知三条线段长分别为a 、b 、c ，且满足a b a c b ac >+<+，2222
证明：以a 、b 、c 为三边能构成三角形
分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”
证明： a c b ac 2222+<+
∴+--<∴-+-<--<∴-+--<-+>--∴-+>--<∴+>-<-<<+∴a c b ac a ac c b a c b a c b a c b a c b a c b
a c
b a
c b a b c a b c
a b c a b
a b c 2222222220
200
00
，即又，，即以、、为三边能构成三角形()()()
3. 在方程中的应用
例：求方程x y xy -=的整数解
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与y ，故可考虑借助因式分解求解
解： x y xy -=
∴-+=∴-+-=--+-=-∴-+=-∴+=-=-⎧⎨⎩+=--=⎧⎨⎩xy x y xy x y x y y y x x y x y x y 0
11
111
111
11111111
即是整数
或()()()(),
∴==⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩x y x y 0022或
4、难点点拨
例1.分解因式：1222--+=m n mn _____________。
解：1222--+m n mn
=--+=--=+--+12111222
()
()()()m mn n m n m n m n
说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例2．分解因式：x y x y 22--+=____________
解：x y x y 22--+=()()x y x y 22---
=+---=-+-()()()
()()x y x y x y x y x y 1
说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
例3. 分解因式：x x x 323412+--=____________
解：x x x 323412+--=x x x 324312-+-
=-+-=++-x x x x x x ()()
()()()22434322
说明：分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示：
例1. 分解因式：m n mn n 222141()-+-+
解：m n mn n 222141()-+-+
=-+-+=++---=+--=-+++-+m n m mn n m n mn m mn n mn m n mn m n mn m n 222222222241
212111()()
()()()()
说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn 分成2mn 和2mn ，配成完全平方和平方差公式。
例2. 已知：a b c d ac bd 2222110+=+=+=，，且，求ab+cd 的值。
解：ab+cd=ab cd ⨯+⨯11
=+++=+++=+++=+++=++ab c d cd a b abc abd cda cdb abc cdb abd cda bc ac bd ad bd ac ac bd bc ad ()()
()()()()
()()
22222222
2222
ac bd +=∴=0
0原式
说明：首先要充分利用已知条件a b c d 222211+=+=，中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。
例3. 分解因式：x x 323+-
分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x x x -+-1233是的一个因式，因此变形的目的是凑x -1这个因式。 解一（拆项）：
x x x x x 333233322+-=--+
