2019版高考数学一轮复习讲义 第十三章 立体几何 13.3 垂直的判定与性质讲义

第五节 直线、平面垂直的判定与性质(对应学生用书P 100)1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的__任意一条__直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：提醒： 辨明三个易误点(1)注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交． (2)注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．(3)注意对平面与平面垂直性质的理解．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( )(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材习题改编)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( )A ．若l ⊥β，则α⊥βB ．若α⊥β，则l ⊥mC ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m解析：选A ∵l ⊥β，l ⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A 正确．3．“直线a 与平面M 内的无数条直线都垂直”是“直线a 与平面M 垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 根据直线与平面垂直的定义知“直线a 与平面M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线a 与平面M 垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．4．如图，∠BAC ＝90°，PC ⊥平面ABC ，则在△ABC 和△P AC 的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有____________；与AP 垂直的直线有____________.解析：∵PC ⊥平面ABC ，∴PC 垂直于直线AB ，BC ，AC ；∵AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面P AC ，∴与AP 垂直的直线是AB ． 答案：AB ，BC ，AC AB5．PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，P A ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有____________对．解析：由于PD ⊥平面ABCD ，故平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面P AC ⊥平面PDB ，平面P AB ⊥平面P AD, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．答案：7(对应学生用书P 101)直线与平面垂直的判定与性质 [明技法]判定线面垂直的四种方法[提能力]【典例】 (2016·全国卷Ⅱ改编)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．OD ′＝10.求证：D ′H ⊥平面ABCD ．证明：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ． 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，且OH ，EF ⊂平面ABCD ， 所以D ′H ⊥平面ABCD ． [刷好题]如图，在三棱锥P －ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ．(1)若AB ⊥BC ，且CP ⊥PB ，求证：CP ⊥P A ；(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l ∥平面PBC ．证明：(1)因为平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AB ⊂平面ABC ，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面PBC ．因为CP ⊂平面PBC ，所以CP ⊥AB ．又CP ⊥PB ，且PB ∩AB ＝B ，AB ⊂平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以CP ⊥平面P AB ． 又P A ⊂平面P AB ，所以CP ⊥P A ．(2)在平面PBC 内过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ．因为平面PBC ⊥平面ABC ，又平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，PD ⊂平面PBC ，所以PD ⊥平面ABC ．又l⊥平面ABC，所以l∥PD．因为l⊄平面PBC，PD⊂平面PBC，所以l∥平面PBC．平面与平面垂直的判定与性质[明技法]1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．[提能力]【典例】菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，FD ⊥平面ABCD，FD＝ 3.(1)求证：EF∥平面ABCD；(2)求证：平面ACF⊥平面BDF.证明：(1)如图，过点E作EH⊥BC于H，连接HD，∴EH＝ 3.∵平面ABCD⊥平面BCE，EH⊂平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，∴EH⊥平面ABCD，又∵FD⊥平面ABCD，，FD＝3，∴FD∥EH，FD＝EH.∴四边形EHDF为平行四边形．∴EF∥HD．∵EF⊄平面ABCD，HD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．(2)∵FD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴FD⊥AC，又四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ， 又FD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面FBD ，又AC ⊂平面ACF ，从而平面ACF ⊥平面BDF . [刷好题](2018·济宁月考)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且平面P AC ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝PC ，AB ＝2BC ＝2，∠ABC ＝60°.(1)求证：PB ∥平面ACE ； (2)求证：平面PBC ⊥平面P AC ．证明：(1)连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，∵底面ABCD 是平行四边形，∴O 为BD 中点， 又E 为PD 中点，∴OE ∥PB ， 又OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， ∴PB ∥平面ACE .(2)∵P A ＝PC ，O 为AC 中点，∴PO ⊥AC ， 又平面P AC ⊥平面ABCD ，平面P AC ∩平面ABCD ＝AC ，PO ⊂平面P AC ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥BC ． 在△ABC 中，AB ＝2BC ＝2，∠ABC ＝60°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝22＋12－2×2×1×12＝3，∴AC 2＝AB 2－BC 2，∴BC ⊥AC ．又PO ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，PO ∩AC ＝O ， ∴BC ⊥平面P AC ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面P AC ．空间位置关系的综合问题[明技法]空间位置关系的转化路线图线线平行(垂直)、线面平行(垂直)和面面平行(垂直)是空间中三种基本平行(垂直)关系，它们之间可以相互转化，其转化关系如下：[提能力]【典例】如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC；(3)设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得P A∥平面CEF？说明理由．(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD．所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面P AC．(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB．又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面P AC．又AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AC．(3)解：棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.理由如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E 为AB 的中点，所以EF ∥P A ． 又因为P A ⊄平面CEF ，且EF ⊂平面CEF ， 所以P A ∥平面CEF . [刷好题](2018·潍坊模拟)如图(1)，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图(2)中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1－BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1－BCDE 的体积为362，求a 的值． (1)证明：在题图(1)中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ．即在题图(2)中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ．又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC ． (2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE . 即A 1O 是四棱锥A 1－BCDE 的高． 由题图(1)知，A 1O ＝AO ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2，从而四棱锥A 1－BCDE 的体积为V ＝13S ·A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3.由26a 3＝362，得a ＝6.。

[证明]
在四棱锥 PABCD 中，
∵PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE.
(2)PD⊥平面 ABE.
[证明] 由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∴AE⊥PC. ∴AE⊥平面 PCD.
(2)若点 E 是 DP 的中点，证明：BD⊥平面 ACE.
解： 证明： 如图， 设 BD 与 AC 相交于点 O， 连接 OE， ∵O 为 BD 的中点，E 是 DP 的中点， ∴OE∥PB. 又 PB⊥平面 ABCD， ∴OE⊥平面 ABCD. ∵BD⊂平面 ABCD， 由(1)知 AC⊥BD， ∴BD⊥平面 ACE. ∴OE⊥BD， 又 AC∩OE＝O，
(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA∥平面 CEF？说明理由．
[解 ] 平面 CEF. 理由如下： 取 PB 的中点 F， 连接 EF， CE，CF，如图所示． 因为 E 为 AB 的中点， 所以 EF∥PA. 又因为 PA⊄平面 CEF，且 EF⊂平面 CEF， 所以 PA∥平面 CEF. 棱 PB 上存在点 F，使得 PA∥
[方法技巧]
(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直 线必垂直于另一个平面(常用方法); (6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个 平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．
平面与平面垂直的判定与性质
[例 2]
如图，四棱锥 PABCD 中，
AB⊥AC， AB⊥PA， AB∥CD， AB＝2CD， E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC， PD，PC 的中点．求证： (1)CE∥平面 PAD； (2)平面 EFG⊥平面 EMN.

2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
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教学参考
3.[2015·全国卷Ⅰ] 如图,四边形 ABCD
为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥ 平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (2)略.
解:(1)证明:连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF. 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1. 由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3. 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC,可知 AE=EC.又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC. 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= 22. 在 Rt△FDG 中,可得 FG= 26.
证明:(1)在平面 ABD 内,因为 AB⊥AD,EF⊥ AD,所以 EF∥AB. 又因为 EF⊄平面 ABC,AB⊂平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为平面 ABD⊥平面 BCD, 平面 ABD∩平面 BCD=BD, BC⊂平面 BCD,BC⊥BD, 所以 BC⊥平面 ABD.
2019年7月10日
在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE= 2,DF= 22,可得 EF=322.从而 EG2+FG2=EF2,所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG=G,可得 EG⊥平面 AFC. 因为 EG⊂平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 AFC. (2)略.
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
②如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n.
③如果 α∥β,m⊂α,那么 m∥β.
④如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等.

A．平面 ABD⊥平面 BDC B．平面 ABC⊥平面 ABD C．平面 ABC⊥平面 ADC D．平面 ABC⊥平面 BED
解析：因为 AB＝BC 且 AD＝DC，E 为 AC 中点， 所以 AC⊥BE，AC⊥DE. 所以 AC⊥平面 BED. 所以平面 ABC⊥平面 BED.故选 D.
答案：D
6．下列说法正确的是________． ①直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α. ②若直线 a⊥平面 α，直线 b∥α，则直线 a 与 b 垂直． ③直线 a⊥α，b⊥α，则 a∥b. ④若 α⊥β，a⊥β ⇒a∥α. ⑤若 a⊥α，a⊂β ⇒α⊥β. ⑥若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． 答案：②③⑤
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④平行四边形的两边．
A．①③
B．②
C．②④
D．①②④
解析：①③中的两条直线一定相交，所以这条直线必和两图形所在平面垂直，而
②④中的两条直线可能平行，该直线和两图形所在平面不一定垂直．
答案：A
2．在空间四边形 ABCD 中，若 AB＝BC，AD＝CD，E 为对角线 AC 的中点，下 列判断正确的是( )
符号语言
a⊂α
b⊂α
a∩b＝O⇒l⊥α
l⊥a
l⊥b
直线 与平 面垂 直
性质 定理
垂直于同一个 平面的两条直 线 平行
ab⊥⊥αα⇒a∥b
2.线面角 (1)当 l⊥α 时，线面角为 90°. (2)当 l∥α 或 l⊂α 时，线面角为 0°. (3)线面角 θ 的范围：0°≤θ≤90°.
3．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
高考热点之 一，主要 考查线面
(2)如果一个平面经过另一个平