江苏省常州市2019届高三上学期期末考试
数 学
参考公式：样本数据12,,
n x x x 的方差221
1()n i i s x x n
==-∑，其中1
1n
i i x x n
==∑.
柱体的体积V
Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1.已知集合{0,1},{1,1}A B ==-，则A B =________.
2.已知复数z 满足(1)1z i i +=-（i 是虚数单位），则复数z =________.
3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,,9.2,9.4x ， 且这5个分数的平均数为9.3，则实数x =________.
4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y 值为1， 则输入的实数x 的值为________.
5. 函数y =________.
6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.
7. 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双C 的焦点，
则双曲线C 的渐近线方程为________.
8. 已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆 柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的 体积的比值为________.
9. 已知正数,x y 满足1y
x x
+
=，则1x x y +的最小值为________.
10. 若直线0kx y k --=与曲线e x y =（e 是自然对数的底数）相切，则实数
k =________.
11. 已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈是偶函数，点(1,0)是函数()y f x =图象 的对称中心，则ω最小值为________.
12. 平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3
||2
OC =，则||OD =________.
13. 过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________.
14. 数列{},{}n n a b 满足*1(1)()N n n n n b a a n +=+-∈，且数列{}n b 的前n 项和为2n ，已知数列{}n a n -的前2018项和为1，那么数列{}n a 的首项1a =________.
二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M ，N 分别是AB ，CC 1的中点． (1) 求证：CM ∥平面AB 1N ； (2) 求证：平面A 1BN ⊥平面AA 1B 1B .
(第15题)
16. (本小题满分14分)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且b 2－233
bcsinA ＋c 2＝a 2
.
(1) 求角A 的大小；
(2) 若tanBtanC ＝3，且a ＝2，求△ABC 的周长．
17. (本小题满分14分)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1的焦点在椭圆
C 2：y 2
a 2＋x 2
b 2＝1上，其中a ＞b ＞0，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫6
3
，63是椭圆C 1，C 2位于第一象限的交点．
(1) 求椭圆C 1，C 2的标准方程；
(2) 过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A ，B ，已知PA →＝35PB →，
求直线l 的斜率．
18. (本小题满分16分)某公园要设计如图(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图(2)中所示的多边形ABCDEFGH )，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF ＝BE ＝1.6 m ，两根竖轴CH ＝DG ＝1.2 m ，记景观窗格的外框(图(2)中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.
(1) 若∠ABC ＝2π
3，且两根横轴之间的距离为0.6 m ，求景观窗格的外框总长度；
(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过 5 m ，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH 的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 的长度．
图(1)
图(2)
(第18题)
19. (本小题满分16分)已知在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＋3a n ＋4＝0，n ∈N *
. (1) 求证：{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2) 数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，请说明理由．
20. (本小题满分16分)已知函数m(x)＝x2，函数n(x)＝a ln x＋1(a∈R)．
(1) 若a＝2，求曲线y＝n(x)在点(1，n(1))处的切线方程；
(2) 若函数f(x)＝m(x)－n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；
(3) 若函数g(x)＝n(x)－1＋e x－e x≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．(e 是自然对数的底数，e＝2.718 28…)
