不等式专题模板

学案76 不等式选讲(一)绝对值不等式导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |，(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c .自主梳理1．含________________的不等式叫做绝对值不等式．2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种： (1)分段讨论：根据|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥0，－f (x )，f (x )<0，去掉绝对值符号．(2)利用等价不等式：|f (x )|≤g (x )⇔－g (x )≤f (x )≤g (x )；|f (x )|≥g (x )⇔f (x )≤－g (x )或f (x )≥g (x )．(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数．．．，再平方，从而去掉绝对值符号．3．形如|x －a |＋|x －b |≥c (a ≠b )与|x －a |＋|x －b |≤c (a ≠b )的绝对值不等式的解法主要有三种：(1)运用绝对值的几何意义； (2)____________________；(3)构造分段函数，结合函数图象求解．4．(1)定理：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当____________时，等号成立．(2)重要绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即 |a ＋b |＝|a |＋|b |⇔ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |⇔ab ≤0；|a |－|b |＝|a ＋b |⇔b (a ＋b )≤0； |a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0；注：|a |－|b |＝|a ＋b |⇔|a |＝|a ＋b |＋|b |⇔|(a ＋b )－b |＝|a ＋b |＋|b |⇔b (a ＋b )≤0. 同理可得|a |－|b |＝|a －b |⇔b (a －b )≥0. 自我检测1．(2010·江西)不等式⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)2．(2011·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝________.3．(2011·潍坊模拟)已知不等式|x ＋2|＋|x －3|≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．a <5B ．a ≤5C ．a >5D ．a ≥54．若不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 无实数解，则a 的取值范围是________．5．(2009·福建)解不等式|2x－1|<|x|＋1.探究点一解绝对值不等式例1解下列不等式：(1)1<|x－2|≤3；(2)|2x＋5|>7＋x；(3)|x－1|＋|2x＋1|<2.变式迁移1 (2011·江苏)解不等式x＋|2x－1|<3.探究点二绝对值不等式的恒成立问题例2(2011·商丘模拟)已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.分别求出实数m的取值范围．变式迁移2 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若f (x )>a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．探究点三 绝对值三角不等式定理的应用例3 “|x －A |<ε2，且|y －A |<ε2”是“|x －y |<ε”(x ，y ，A ，ε∈R )的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 变式迁移3 (1)求函数y ＝|x ＋2|－|x －2|的最大值； (2)求函数y ＝|x －3|＋|x ＋2|的最小值．转化与化归思想的应用例 (10分)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，(1)若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54；(2)求a 的值，使函数f (x )有最大值178.多角度审题 第(1)问|f (x )|≤54⇔－54≤f (x )≤54，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f (x )|≤54；二是证明－54≤f (x )≤54亦可．第(2)问实质上是已知f (x )的最大值为178，求a 的值．由于x ∈[－1,1]，f (x )是关于x 的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x 值在不在区间[－1,1]上．【答题模板】证明 (1)方法一 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1.又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54.[3分] ∴若|a |≤1，则|f (x )|≤54.[5分]方法二 设g (a )＝f (x )＝ax 2＋x －a ＝(x 2－1)a ＋x . ∵－1≤x ≤1， ∴当x ＝±1，即x 2－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤54；[1分]当－1<x <1即x 2－1<0时，g (a )＝(x 2－1)a ＋x 是单调递减函数．[2分]∵|a |≤1，∴－1≤a ≤1，∴g (a )max ＝g (－1)＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54；[3分] g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54.[4分] ∴|f (x )|＝|g (a )|≤54.[5分](2)当a ＝0时，f (x )＝x ，当－1≤x ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝1，不满足题设条件， ∴a ≠0.[6分]又f (1)＝a ＋1－a ＝1，f (－1)＝a －1－a ＝－1. 故f (1)和f (－1)均不是最大值，[7分]∴f (x )的最大值178应在其对称轴上的顶点位置取得，∴命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧a <0－1<－12a <1f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝178，[9分]解得⎩⎨⎧a <－12a ＝－2或a ＝－18，∴a ＝－2.即当a ＝－2时，函数f (x )有最大值178.[10分]【突破思维障碍】由于|a |≤1，f (x )的表达式中有两项含有a ，要想利用条件|a |≤1，必须合并含a 的项，从而找到解题思路；另外，由于x 的最高次数为2，而a 的最高次数为1，把ax 2＋x －a 看作关于a 的函数更简单，这两种方法中，对a 的合并都是很关键的一步．【易错点剖析】在第(1)问中的方法一中，如果不合并含a 的项，就无法正确应用条件|a |≤1，从而导致出错或证不出；方法二也需要先合并含a 的项后，才容易把f (x )看作g (a )．解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2) 2．(2011·郑州期末)设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( ) A ．|a ＋b |＋|a －b |>2 B ．|a ＋b |＋|a －b |<2 C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2 D ．不能比较大小3．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2] D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)4．若不等式|8x ＋9|<7和不等式ax 2＋bx >2的解集相等，则实数a 、b 的值分别为( ) A ．a ＝－8，b ＝－10 B ．a ＝－4，b ＝－9 C ．a ＝－1，b ＝9 D ．a ＝－1，b ＝25．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1或a >3B ．－1<a <3C ．－1<a <2D ．1<a <3 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．给出以下三个命题：①若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；②若a 、b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；③若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪x y <23.其中所有正确命题的序号是________________．7．(2010·陕西)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．8．(2011·深圳模拟)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________________________________________________________．三、解答题(共38分) 9．(12分)(2010·福建)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．10．(12分)(2009·辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．11．(14分)对于任意实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，试求实数x 的取值范围．学案76 不等式选讲(一)绝对值不等式自主梳理1．绝对值符号 3.(2)零点分区间讨论法 4．(1)(a －b )(b －c )≥0 自我检测1．A [∵⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x ，∴x －2x ＜0，∴0＜x ＜2.]2．{x |－2≤x ≤5}解析 |x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．3．D [由绝对值的几何意义知|x ＋2|＋|x －3|∈[5，＋∞)， 因此要使|x ＋2|＋|x －3|≤a 有解集，需a ≥5.] 4．a ≤3解析 由绝对值的几何意义知|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3， 而|x ＋1|＋|x －2|<a 无解，知a ≤3.5．解 当x <0时，原不等式可化为－2x ＋1<－x ＋1，解得x >0，又∵x <0，∴x 不存在；当0≤x <12时，原不等式可化为－2x ＋1<x ＋1，解得x >0，又∵0≤x <12，∴0<x <12；当x ≥12时，原不等式可化为2x －1<x ＋1，解得x <2，又∵x ≥12，∴12≤x <2.综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}． 课堂活动区例1 解题导引 (1)绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．其方法主要有：利用绝对值的意义；利用公式；平方、分区间讨论等．(2)利用平方法去绝对值符号时，应注意不等式两边非负才可进行． (3)零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．解 (1)原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|>1|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，或x >3－1≤x ≤5， 解得－1≤x <1或3<x ≤5，所以原不等式的解集为{x |－1≤x <1，或3<x ≤5}． (2)由不等式|2x ＋5|>7＋x ，可得2x ＋5>7＋x 或2x ＋5<－(7＋x )， 整理得x >2，或x <－4.∴原不等式的解集是{x |x <－4，或x >2}．(3)由题意x ＝1时，|x －1|＝0，x ＝－12时，2x ＋1＝0(以下分类讨论)．所以①当x <－12时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x ＋1－2x －1<2，得－23<x <－12.②当－12≤x ≤1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，－x ＋1＋2x ＋1<2，得－12≤x <0.③当x >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －1＋2x ＋1<2，得x 无解．由①②③得原不等式的解集为{x |－23<x <0}．变式迁移 1 解 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3.解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是{x |－2<x <43}．例2 解题导引 恒成立问题的解决方法 (1)f (x )<m 恒成立，须有[f (x )]max <m ； (2)f (x )>m 恒成立，须有[f (x )]min >m ；(3)不等式的解集为R ，即不等式恒成立； (4)不等式的解集为∅，即不等式无解．解 因为|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)、B (－3)距离的差．即|x ＋2|－|x ＋3|＝|P A |－|PB |. 易知(|P A |－|PB |)max ＝1， (|P A |－|PB |)min ＝－1.即|x ＋2|－|x ＋3|∈[－1,1]．(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值小即可，即m <1.(2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 小于|x ＋2|－|x ＋3|的最小值即可，所以m <－1.(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x ＋2|－|x ＋3|的最大值即可，即m ≥1.变式迁移2 解 由|x －1|＋|x －2|的几何意义，即数轴上的点x 到数轴上的点1,2的距离之和知，|x －1|＋|x －2|≥1，要使|x －1|＋|x －2|>a 恒成立，只须1>a .即实数a 的取值范围为(－∞，1)．例3 解题导引 对绝对值三角不等式 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(1)当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |； 当ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |.(2)该定理可以推广为|a ＋b ＋c |≤|a |＋|b |＋|c |，也可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．(3)利用“＝”成立的条件可求函数的最值． A [∵|x －y |＝|x －A －(y －A )|， ∴由三角不等式定理 |a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |得：|x －y |≤|x －A |＋|y －A |<ε2＋ε2＝ε.反过来由|x －y |<ε，得不出|x －A |<ε2且|y －A |<ε2，故选A.]变式迁移3 解 (1)|x ＋2|－|x －2| ≤|(x ＋2)－(x －2)|＝4， 当x >2时，“＝”成立．故函数y ＝|x ＋2|－|x －2|的最大值为4. (2)|x －3|＋|x ＋2|≥|(x －3)－(x ＋2)|＝5. 当－2≤x ≤3时，取“＝”． 故y ＝|x －3|＋|x ＋2|的最小值为5. 课后练习区1．A [∵|x 2－x |<2，∴－2<x 2－x <2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x ＋2>0x 2－x －2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R －1<x <2.∴－1<x <2.] 2．B [方法一 把a 当作变量，要去掉绝对值符号，分区间进行讨论，如图所示．不妨设b >0 (b <0时同理)．(1)当－1<a ≤－b 时，|a ＋b |＋|a －b |＝－a －b －a ＋b ＝－2a <2， (2)当－b <a ≤b 时，|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b －a ＋b ＝2b <2， (3)当b <a <1时，|a ＋b |＋|a －b |＝a ＋b ＋a －b ＝2a <2. 综上可知|a ＋b |＋|a －b |<2. 方法二 (|a ＋b |＋|a －b |)2＝2a 2＋2b 2＋2|a 2－b 2|＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2，a 2>b 2，4b 2，a 2≤b 2，∴|a ＋b |＋|a －b |<2.]3．A [由|x ＋3|－|x －1|的几何意义知，|x ＋3|－|x －1|∈[－4,4]，即|x ＋3|－|x －1|的最大值是4，要使|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≥4恒成立即可．所以a ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．]4．B [由|8x ＋9|<7，得－7<8x ＋9<7，即－16<8x <－2，∴－2<x <－14.由题意知－2，－14为方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎨⎧－b a ＝－2－14，－2a＝(－2)×⎝⎛⎭⎫－14.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝－9.]5．B [由|x －1|＋|x －3|的几何意义知|x －1|＋|x －3|≥2，即|x －1|＋|x －3|的最小值为2.当a 2－2a －1<2时满足题意，∴a 2－2a －3<0，即(a ＋1)(a －3)<0，∴－1<a <3.] 6．①②③解析 |a |－|b |≤|a －b |<1，∴|a |<|b |＋1； |a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a | ＝|b －a |＝|a －b |；∵|y |>3，∴1|y |<13，∴|x ||y |<23，即|x y |<23.故①、②、③都正确． 7．{x |x ≥1}解析 原不等式可化为： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，－x －3＋x －2≥3或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <2，x ＋3＋x －2≥3 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋3－x ＋2≥3， ∴x ∈∅或1≤x <2或x ≥2.∴不等式的解集为{x |x ≥1}． 8．(－∞，0)∪{2}解析 由|x ＋1|＋|x －3|的几何意义知，|x ＋1|＋|x －3|∈[4，＋∞)，∴a ＋4a≤4.当a >0时，a ＋4a≥4，当且仅当a ＝2时，取等号，当a <0，显然符合题意． 9．解 方法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.(3分) 又已知不等式f (x )≤3的解集为 {x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(6分)(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)， 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5， －3≤x ≤2，2x ＋1， x >2.(8分)所以当x <－3时，g (x )>5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.(10分) 从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )min ≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．(12分)方法二 (1)同方法一．(6分) (2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得， g (x )的最小值为5.(10分) 从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )min ≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．(12分) 10．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|. 由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3.①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32.(2分) ②当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，此不等式不成立，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1f (x )≥3的解集为∅.(4分)③当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≥3的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 综上得，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(6分) (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a <x <1，2x －(a ＋1)，x ≥1.(8分)f (x )的最小值为1－a .(9分)若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1<x <a ，2x －(a ＋1)，x ≥a .(11分)f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R .f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(12分)11．解 由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a －b |＋|a ＋b ||a |恒成立．故|x －1|＋|x －2|不大于|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值．(2分)Go the distance ∵|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |，当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取等号， ∴|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值等于2.(6分) ∴x 的取值范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解．解不等式得12≤x ≤52.(14分)。

初二数学精华一元一次不等式（组）（一）_八年级数学教案_模板一元一次不等式（组）（一）一、全章教学内容及要求１、理解不等式的概念和基本性质２、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集３、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集。

二、技能要求1、会在数轴上表示不等式的解集。

2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。

3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。

三、重要的数学思想：1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。

2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想。

四、主要数学能力1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。

2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。

3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培养运算能力。

五、类比思想：把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。

在本章中，类比思想的突出运用有：1、不等式与等式的性质类比。

对于等式（例如a=b）的性质，我们比较熟悉。

不等式（例如a>b或a20, 两边都乘以-5，得，x7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一个解。

若x=2不等式x+4>7不成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。

注意：1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大的区别。

一般地说，一元方程只有一个或几个解；而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解。

[ 自我挑战] 2.(2017· 高考全国卷Ⅱ)已知 a＞0，b＞0，a3＋b3＝2，证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)证明：因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2 3a＋b2 3a＋b3 ＋ 4 (a＋b)＝2＋ 4 ， 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
于是 a＝3.
1．用零点区分法解绝对值不等式的步骤： (1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的 不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端 点值． 2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得 代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
a＋b＋c 3 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则 3 ≥ abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1、a2、…、 a1＋a2＋…＋an n an 为 n 个正数， 则 ≥ a1a2…an， 当且仅当 a1＝a2＝… n ＝an 时，等号成立．
2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. 3．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等号 成立． a＋b 定理 2：如果 a，b 为正数，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立．
1．不等式的证明常利用综合法、分析法、反证法、放缩法、 基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法． 2．证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法： (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再 证明； (2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|进行证明； (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．

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(1)当 a＞0，b＞0 时，有a＋2 b ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成
立；
(2)均值不等式的常见变形 ①当 a＞0，b＞0，则 a＋b≥2 ab； ②若 a＞0，b＞0，则 ab≤ a＋2 b2.
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1．算术平均值与几何平均值
对于正数 a，b，常把a＋2 b叫做 a，b 的 算术平均值 ，把 ab叫做 a，b 的几何平均值 ．
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2．均值不等式
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