第十五届中国东南地区数学奥林匹克获奖名单(高一年级)

全国中学生数学竞赛2020获奖名单2020年的全国中学生数学竞赛再次取得了圆满的成功，很多学校的学生参加了这场盛事，他们勤奋努力，全力以赴，最终取得了良好的成绩，下面是获奖的学生的名单：（名单按省份排序）北京：高一：张炎，张思雨，孙淼高二：王浩然，罗昊文，苏晗高三：杨熠，韩曦，陈洁天津：高一：谢天宇，赵子涵，赵楠高二：裴伊凡，林子杰，方子琪高三：徐晨晨，马天凯，赵安力河北：高一：王琪棋，杨怡绮，郝慧慧高二：孙海歌，许彤宇，任子晗高三：陈佳雄，董安迪，梁桦上海：高一：葛易帆，蔡小珂，程可桐高二：刘瑞媛，张敏落，吴楚桦高三：彭新年，石室宇，曹芷琳江苏：高一：殷艺涵，王函，李涵高二：陆一凡，谢灿灿，蒋佳晨高三：蔡晨睿，朱元涵，苏楠楠浙江：高一：欧婷婷，何子睿，陈金楠高二：刘晨珉，张宇羽，贾知平高三：沈琪仪，王蕾，李梦伊安徽：高一：马越，梁兆会，彭美婷高二：马翊涵，刘炜帆，朱宛铭高三：赵瑞，黄雨芸，陈彦……2020年的全国中学生数学竞赛取得圆满成功，每位获奖学生都是冀大数学竞赛领域的优异领袖，他们在竞赛中取得优异成绩，获得了大家的瞩目，也同时获得了社会的赞誉与认可。

倒是通过他们的比赛，让更多人了解到了少儿数学教育的重要性。

数学让孩子们更易理解自然世界的规律，也为他们的未来发展打下扎实的基础。

学习数学的正确方法，是孩子们更好地思考问题、解决问题，从而有效提高他们的创新能力。

全国中学生数学竞赛，也为学生们搭建了一个交流学习的平台，让学生们不仅能够充分了解优秀学习方法，也能够与优秀的学习者学习经验和交流头脑，这让他们对数学有更深入的理解。

这次全国中学生数学竞赛的参赛学生，都是朝气蓬勃的青少年。

他们精益求精，勤奋努力，争取获得优异的成绩。

未来，他们一定会更加出色地完成自己的梦想。

最后，祝贺这次全国中学生数学竞赛的各位参赛学生获奖。

2020年第10期25第17届中国东南地区数学奥林匹克中图分类号:G424.79文献标识码:A文章编号：1005-6416(2020)10-0025-13咼一年级1.已知二次函数/(x)=a(3a+2c)x2-26(2a+c)x+b2+(c+a)2(a、b、c W R).假设对于任意的％€R,均有/(%)^1.求1必1的最大值.(杨晓鸣赵斌供题)2.如图1,在/\ABC中<AC,PB、PC 为443(7的外接圆©0的切线,7?为弧4C上的一个点，皿与©0的第二个交点为Q-I 为/\ABC的内心，/D丄BC于点D,QD与©0的第二个交点为G.过点/且垂宜于加的直线分别与AB^AC交于点MJV.证明:若AR//BC，则4、G、M、N四点共圆.(张鹏程供题)3.设多项式2019/(%)=严+S C X(C.€{-1,0,11)•i=0记N为于(％)中正整数根的个数(含重根)•若方程/(%)无负整数根，求N的最大值.(罗晔供题)4.设5,a2,是1,2,…,17的一个排列,且满足(5-<^2)(a2~a3)"*(a16-®17)(a17~a l)=n17.求正整数n的最大值.(何忆捷供题)5.集合7=11,2,-,2020}.称W={w(a,b)=(a+b)+ab\a^b€I\0/,Y={y(a,5)=(a+6)•ab\a>b G I\D/,X=WQY,分别为“吴”集合、“越”集合、“西子”集合.试求西子集合中最大数与最小数之和.(陶平生供题)6.如图2,在四边形ABCD中，ZABC= Z ADC<90°.以AC为直径的①。

与边BC、CD的第二个交点分别为E、F・M为BD的中点,4N丄BD于点N.证明：M、N、E、F四点共圆.7.对于任一素数pM3.证明：当正整数％足够大时,％+1,%+2,…，％+铁空中至少有一个整数有大于P的素因子.(罗晔供题)8.用一个喷头对一张1xn的方格纸条的每一格进行喷涂，当喷头对指定的第X1W ,Wn)格喷涂时，该格被染成黑色，同时与第i 格相邻的左侧格和右侧格(在存在的情况下)独立地各有斗的概率也被染成黑色•证明：设在最佳策略下(使喷涂次数尽可能少)，喷完26中等数学n个格所需要喷涂的次数期望值为T(n).求T(n)的通项公式.(罗晔供题)高二年级1.设5，°2,…，©7是1,2,…，17的一个排列,且满足(a\—a2)(°2—°3)'"(a i6-a Y1)(a i7~a i)=9"求正整数口的最大值.(何忆捷供题)2.如图3,在443(中,4B<AC,PB、PC 为AABC的外接圆©0的切线.R为弧4C上的一个点,PR与©0的第二个交点为Q.I为△ABC的内心,/D丄BC于点D, QD与©0的第二个交点为G.过点/且垂直于M的直线分别与AG^AC交于点M、N.设S为弧姦的中点，直线SN与Q0的第二个交点为T.证明:若加?〃BC,则M、B、T三点共线.(张鹏程供题)3.同高一年级第3题.4.设工…工如工0,=1.证1=1明：对于任意非负实数％、儿(1WiWn)，均有\i=l i=l/\i=l i=l/-VrT•\i=l i=l i=l i=1v7(李胜宏供题)5.令全集/={1,2,-,2020}，称正整数集W={w(a,6)=(a+6)+a6la A fe€Z+},Y=)y(a,6)=(a+6)-ab\a s b E Z+},分别为“吴”集合、“越”集合•这两个集合的交集X称为“西子数集\WQY=X,集X中的元素皆称为“西子数”•例如，54=w(4,10)=/(3,3),56=w(2,18)=/(1,7),即54与56皆为西子数.(1)求西子集中最大与最小的元素之和.(2)若数口具有至少两种y(a,6)表示，则称n为“卓越数”.例如,30为卓越数，这是因为30=/(1,5)=y(2,3).问:集合丫中共有多少个卓越数？(陶平生供题)6.同高一年级第6题.7.将所有不含平方因子的正整数从小到大排成数列如，a?,…，a”，••••证明：存在无穷多个正整数“,使得a”+1-a”=2020.(杨晓鸣吴宇培供题)8.同高一年级第8题.参考答案高一年级1•对/(%)关于c配方得/(%)=c2+2(ax2-bx+a)c+3(a%)2-4ab%+b24-aWl,即(c+ax-6%+a)2+(1-%2)(a%-6)2^l =>(1一兀2)(a久一6)2^1.令%= 土亭.则攀皿雋二1必丨W誓，①当a普,b=_豊,c=-苧时，式①等号成立•此时，/»/x327/(%)=_亍+亍+g22020年第10期27因此，所求最大值为攀.2.联结辅助线如图4.由PB、PC为00的切线知RB PRBQ=PB=PR=RC=PC=CQ理=理CQ~RC'由AR//BC,^RB=AC,RC=AB.图4*BD_SgGQ.BG-BQ BG-RB测乂而=S&gq=CG-CQ=CG・RC人BD_BG-ACCD=CG-ABBG CGBD-AB=CD・ACDBIcos y sin C-c-Cleos—*sin Bfi/si4Bf~r,■B~CI2'C/sin—2因为A/丄MN,所以，Z AMN=Z ANM=y(ZB+ZC)①Z BMI=z INC=180。