2017_2018版高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.1函数的概念和图象(二)课件苏教版必修1

因为t＝－x2－6x－5＝－(x＋3)2＋4≤4，
所以 0≤t≤4，故 0≤ t≤2，
所以原函数的值域为[0,2].
解析答案
3x＋1 (3)y＝ x－2 ； 解 y＝3xx－＋21＝3x－x－22＋7＝3＋x－7 2， 因为x－7 2≠0，所以 3＋x－7 2≠3，
3x＋1 所以函数 y＝ x－2 的值域为{y∈R|y≠3}.
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
知识点四 求函数值域的常见方法 (1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值 域求出函数的值域. (2)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的 函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间 的二次函数最值的求法. (3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为 几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域. (4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为反比 例函数类型的形式，便于求值域.

2．1．1 函数的概念和图象第1课时 函数的概念1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念．2．了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为y ＝f (x )，x ∈A ．其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域．若A 是函数y ＝f (x )的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是法则所施加的对象；f 是对应法则，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象、表格或文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一个具体数值时，相应的y 值与之对应．“y ＝f (x )”仅仅是函数符号，还可用“y ＝g (x )”“y ＝F (x )”“y ＝G (x )”等来表示函数关系．【做一做1－1】已知f (x )＝x －3＋x ＋2，则f (7)＝__________．答案：5【做一做1－2】求下列函数的定义域和值域．(1)y ＝2x；(2)y ＝x －1＋3． 解：(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域：(－∞，0)∪(0，＋∞)；(2)定义域：［1，＋∞)，值域：［3，＋∞)．1．三种基本初等函数的定义域和值域剖析：(1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)的定义域是R ，值域是R ．(2)反比例函数f (x )＝k x(k ≠0)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的定义域是R ．当a ＞0时，值域是244ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，；当a ＜0时，值域是244ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦，． 2．如何判断两个函数是同一函数剖析：只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则．例如，函数y ＝x ＋1与y ＝x －1，它们的定义域都是R ，值域都是R ，也就是说，这两个函数的定义域和值域都分别相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一函数．由于值域可以由定义域和对应法则惟一确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数．题型一 函数的概念【例1】下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的有__________．①f (x )＝4x 4，g (x )＝(4x )4②f (x )＝x ，g (x )＝3x 3③f (x )＝1，g (x )＝1(x ≠0)④f (x )＝x －1，g (x )＝|x －1|解析：若两个函数能表示同一个函数，则必须满足：①定义域相同；②对应法则相同． 对于①，两函数的定义域不同，其中f (x )的定义域为{x |x ∈R }，g (x )的定义域为{x |x ≥0}；对于②，定义域、值域和对应法则都相同，所以f (x )与g (x )表示同一函数；对于③，定义域不同，其中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}；④的对应法则不同．答案：②反思：一般地，函数的定义域和对应法则确定，值域就随之确定，因此判断两个函数是否为同一函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否分别相同即可．题型二 求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1；(3)y ＝2x ＋1． 分析：给定函数时，要指明函数的定义域．对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合．解：(1)要使函数有意义，必须满足x －2≠0成立，即x ≠2，所以这个函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠2}．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0成立，解得1≤x ≤3， 所以这个函数的定义域为{x |x ∈R ，且1≤x ≤3}． (3)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，2x ＋1≥0成立，解得x ＞－1，所以这个函数的定义域为{x |x ＞－1}．反思：一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合：(1)解析式是整式的函数，其定义域为R ；(2)解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合；(4)如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域是同时使实际问题和解析式有意义的实数的集合；(5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组)，再解不等式(组)，而后得出结论．题型三 求函数的值域【例3】求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝x 2－2x 2＋1． 分析：求函数的值域没有统一的方法．如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值时，则可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如观察法、配方法、换元法等．解：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3． 因为x ≠3，7x －3≠0， 所以y ≠2．故所求函数的值域为{y |y ≠2}．(2)(逐步求解法)先分离常数，y ＝x 2－2x 2＋1＝x 2＋1－3x 2＋1＝1－3x 2＋1．∵x 2＋1≥1，∴0＜1x 2＋1≤1．∴－2≤1－3x 2＋1＜1．∴y∈［－2,1)． 题型四 求已知函数的函数值【例4】已知f (x )＝x 2＋1，g (x )＝12x ＋1， (1)求f (2)和g (a )；(2)求f ［g (1)］和g ［f (x )］．分析：求某个函数的某个函数值，就是将自变量用相应的代数式或数替换，然后化简即可；求f ［g (a )］时，一般遵循先里后外的原则，先求g (a )，然后将f (x )解析式中的x 代换为g (a )，同时要注意函数的定义域．解：(1)f (2)＝22＋1＝5，g (a )＝12a ＋1． (2)f ［g (1)］＝211()=()133f +＋1＝109；g ［f (x )］＝g (x 2＋1)＝12(x 2＋1)＋1＝12x 2＋3． 反思：要正确理解f (a )的含义．如果自变量取a ，则由对应法则f 确定的y 的值称为函数在a 处的函数值，记作f (a )；求某个函数的函数值时，还要正确理解对应法则“f ”和“g ”的含义．1已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f ［f (x )］的定义域是__________． 解析：由条件得：f ［f (x )］＝11x ＋1＋1， 从而由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，1x ＋1＋1≠0，得之．答案：{x |x ≠－1，且x ≠－2}2设f (x )＝1＋x 1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2010(x )等于__________．解析：因f 1(x )＝f (x )＝1＋x 1－x，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x＝－1x ， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝1－1x 1＋1x＝x －11＋x ， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝1＋x －11＋x 1－x －11＋x＝x ， 所以它的规律是以4为周期，从而由2 010＝4×502＋2，得f 2 010(x )＝f 2(x )．答案：－1x3函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域是______．解析：(方法一)由y ＝x 2x 2＋1，得x 2＝y 1－y ． ∴y 1－y≥0．解之，得0≤y ＜1． (方法二)y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1， ∵x 2＋1≥1，∴－1≤－1x 2＋1＜0．∴0≤y ＜1． 答案：［0,1)已知P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列对应不表示从P 到Q 的函数的有__________．(1)f ：x →y ＝12x (2)f ：x →y ＝13x (3)f ：x →y ＝32x (4)f ：x →y ＝x解析：因为当x ＝4时，y ＝6不在集合Q 中，(3)不符合函数的定义，其他均符合．。

由图象可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间 是[0，＋∞)．
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝23－|x|.
思路点拨：
指数函数y＝axa＞0， 且a≠1的定义域是R
―→
函数y＝afxa＞0，且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解：(1)由xx＋ －11≥0，得 x≤－1 或 x＞1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵函数f(x)的图象过点(3,8)． ∴8＝a3，∴a＝2. ∴f(x)＝2x. ∴f(6)＝26＝64. 答案：64
2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象图象
如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④ y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
思路点拨：
解析：方法一：在①②中底数大于零且小于 1，在 y 轴右 边，底数越小，图象向下越靠近 x 轴，故有 b＜a，在③④中底 数大于 1，在 y 轴右边，底数越大，图象向上越靠近 y 轴，故 有 d<c.故选 B.
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． 思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组 解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1， 解得aa＝ ＞10或 且2a，≠1. ∴a＝2.

答案
②
解析
图 号 ① ② ③
正 误 × √ ×
原因
x＝2时，在N中无元素与之对应，不满
足任意性．
同时满足任意性与唯一性． x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任 意性．
④
×
x＝1时，在N中有两个元素与之对应，
不满足唯一性.
规律方法
1 . 判断一个对应关系是否是函数关系的方法：
(1)A，B必须都是非空数集； ( 2)A中任意一个数在 B中必须
规律方法
1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就
是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各
种情形： ( 1) 负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大 于或等于零； ( 2) 分式中分母不能为 0； ( 3) 零次幂的底数不 为0；(4)如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各 部分都有意义的实数的集合； ( 5) 如果函数有实际背景，那
x－2≥0， 要使函数有意义，需满足 x－3≠0，
即 x≥2 且 x≠3.
要点三 求函数值 例3 1 已知 f(x)＝ (x∈R，且 x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． 1＋x
(1)求 f(2)、g(2)的值； (2)求 f[g(3)]的值．
1 解 (1)∵f(x)＝ ， 1＋x 1 1 ∴f(2)＝ ＝ . 1＋2 3 又∵g(x)＝x2＋2， ∴g(2)＝22＋2＝6. (2)∵g(3)＝32＋2＝11， 1 1 ∴f[g(3)]＝f(11)＝ ＝ . 1＋11 12
有并且是唯一的实数和它对应． 注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余． 2．函数的定义中“任意一个 x ”与“有唯一确定的 y ”说明 函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”