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椭圆常见题型与典型方法归纳

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1 椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,FF的距离的和等于常数1.22(2)aaFF的点的轨迹叫做椭圆.

这两定点12,FF叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0M的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e是椭圆的离心率.

注意：当平面内与两个定点12,FF距离的和等于常数1.22(2)aaFF的点的轨迹是线段12FF;

当平面内与两个定点12,FF距离的和等于常数1.22(2)aaFF的点的轨迹不存在. 例 动点P到两个定点1F（- 4，0）、2F（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为 （ ） A、椭圆 B、线段12,FF C、直线12,FF D、不能确定 考点二 椭圆的标准方程 一 标准方程

1焦点在x轴上 标准方程是：22221xyab（其中222,0).bacab焦点的坐标分别为(,0),(,0)cc

2焦点在y轴上 标准方程是：22221yxab（其中222,0).bacab焦点的坐标分别为(0,),(0,)cc 3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179xy的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mxny（其中0,0mn） 例 已知椭圆过两点153(,1),(,2)42AB，求椭圆标准方程

5 与12222byax（a＞b＞0）共焦点的椭圆为12222kbykax 6、椭圆的参数方程：

（1）、椭圆12222byax参数方程 sincosbyax （为参数）；（2）椭圆上的点的坐标可记（acos,bsin）

例 椭圆221169xy上的点到直线l:90xy的距离的最小值为___________ 2

二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识

例 已知12,FF为椭圆221259xy的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点若2212FAFB

则AB=________。2.标准方程要注意焦点的定位 例椭圆2214xym的离心率为12，m 。 练习.1如果方程22xkyk表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 2点P在椭圆252x+92y=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，求点P的横坐标 考点三 椭圆的简单几何性质 标准方程 22221(0)xyabab 22221(0)yxabab

图形 范围 ,axabyb ,ayabxb 对称性 关于原点对称 x轴和y轴是椭圆的对称轴 顶点 (,0),(,0),(0,),(0,)aabb (,0),(,0),(0,),(0,)bbaa

离心率 (0,1)cea 焦点 (,0),(,0)cc (0,),(0,)cc

焦距 12

2FFc（其中222cab）

长轴长 2a 短轴长 2b

准线方程 2a

xc

2a

yc

通径 22b

da

二 典型练习 1.椭圆22143xy的长轴位于 轴，长轴长等于 ；短轴位于 轴，短轴长等于 ；焦点在 轴上,焦点坐标分别是 和 ；离心率e ；左顶点坐标是 ;下顶点坐标是 ；椭圆上点的横坐标的范围 是 ，纵坐标的范围是 ；00xy的取值范围是 。

MF2F

1

MF2

F1 3

2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3倍,则椭圆的离心率 （2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍,则椭圆的离心率e （3）若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率e 。

考点四 点、线与椭圆的位置关系 一 点00(,)pxy和椭圆22221(0)xyabab的位置关系

（1）点00(,)pxy在椭圆外2200221xyab（2）点00(,)pxy在椭圆上2200221xyab （3）点00(,)pxy在椭圆内2200221xyab 二.直线与椭圆的位置关系： 1 判断 直线与椭圆相交0;直线与椭圆相切0;直线与椭圆相离0 2．弦长问题 （1）步骤：由椭圆方程与直线l方程联立方程组；消元得一元二次方程；用韦达定理写成两根和积

（2）弦长公式 直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(1x，1y)，B(2x，2y)两点，则

①当直线的斜率存在时，弦长公式： 2121xxkl=2122124)()1(xxxxk ②当k存在且不为零时21211yykl2122124)(11yyyyk。 三 常用方法 1设而不求法 例 经过椭圆22143xy的右焦点作一条斜率为-1的直线，与椭圆相交于A,B； （I）求线段AB的中点的坐标；（II）求线段AB的长

2 点差法 例 求椭圆1222yx中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程. 【小结】设12(,)Axy，22(,)Bxy是椭圆12222byax上不同的两点，且1x≠2x，1x＋2x≠0，00(,)Mxy为AB的中点，则两式相减可得2221212121abxxyyxxyy即 ． 3．中点弦问题：例 若椭圆193622yx的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 4

4.综合应用 例1 已知椭圆222yax＝1(a为常数，且a>1)，向量m＝(1, t) (t >0)，过点A(－a, 0)且以m

为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）． (1) 求t表示△ABC的面积S( t )；(2) 若a＝2，t∈[21, 1]，求S( t )的最大值．

例2 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋22.记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程；(2)经过点（0, 2）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范

（3）已知点M（2，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量OPOQ与MN共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.

练习：设1F、2F分别是椭圆22154xy+=的左、右焦点. （1）若P是该椭圆上的一个动点，求21PFPF的最大值和最小值； （2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|2FC|=|2FD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

考点五 焦点三角形的性质及应用 一 定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形 设P(00,yx)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)

1方法 (1) 定义：122rra＋＝ (2) 余弦定理：2221212(2)2coscrrrr＋－

(3) 面积1212011sin222pFFSrrcy

2 性质 已知椭圆方程为),0(12222babyax左右两焦点分别为,,21FF在焦点△21FPF中，则 ⑴2tan221bSPFF ⑵若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点 ⑶.21cos2e 例 已知椭圆)0(12222babyax的两焦点分别为,,21FF若椭圆上存在一点,P使得,120021PFF 求椭圆的离心率e的取值范围。

练习 已知椭圆的焦点是1F (－1，0)、2F (1，0)，P为椭圆上一点，且｜12FF｜是｜1PF｜和｜2PF｜的等差中项 ⑴求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且∠12PFF＝120°求tan2FPF． 5

考点六 椭圆标准方程的求法 一 常用方法： 1定义法，

2待定系数法 步骤 ①定位：确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点位置设出相应方程；

③定值：根据题目条件确定相关的系数。 3当椭圆过两定点时，其标准方程可设为221mxny(m＞0，n＞0)， 二 应用示例 1．定义法 例1 已知ABC△的顶点BC，的坐标分别为(30)(30)，，，，AB边上的中线CE与AC边上的中线BF

交于点G，且5GFGE，求点G的轨迹方程．

例2求到两定点12(3,0),(3,0)FF的距离和等于10的点的轨迹方程． 练习1已知B,C是两个定点BC长等于8，且△ABC的周长等于20，求顶点A的轨迹方程

2已知△ABC三边AB,BC,CA的长成等差数列，且AB长大于CA长，点B,C的坐标为（-2，0），（2，0），求顶 点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线

3 已知椭圆2221(5)25xyaa的两个焦点为,,21FF︳且128FF，弦AB过点1F，则△2ABF 的周长 4 椭圆的两个焦点是)0,6(),0,6(，过点1,6(），求椭圆的方程。 2待定系数法 例 已知椭圆的焦距离为26且过点(32)，，求焦点在x轴上时的标准方程． 3．轨迹法 例△ABC的顶点A,B的坐标分别为（-4,0），（4,0）边AC,BC所在直线的斜率之积等于916，求顶点C的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；．

三 典型练习 练习1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点)25,23(；

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椭圆常见题型总结

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椭圆常见题型总结1椭圆中的焦点三角形： 通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决;0)上一点P(x 0, y 0)和焦点F i ( c,0) ， F 2(C ,0)为顶点的① PF [ PF 2 2a ；人任孑)，B(X 2, y 2)两点，贝U AB| J i|x 1 x 2| J ik 2J (x 1 X 2)24x 1x 22 23、椭圆的中点弦：设A(X i , yj, B(X 2,y 2)是椭圆 务% 1(a b 0)上不同两点,a bM(x °,y °)是线段AB 的中点，可运用 点差法可得直线 AB 斜率，且k AB4、椭圆的离心率求椭圆离心率时注意运用：e C , a 2 b 2 C 2a2 2若P(x 0, y 0)是离心率为e 的椭圆^2 1(aa b椭圆 x 2 y2!(a ba bPF i F 2 中，F 1PF 2，则当P 为短轴端点时最大，且②4C 22PFi2PF 2 2 PF 1 PF 2 COS③ SPF 1F 211|PF i |PF 2 sin2=b tan( b 短轴长)22、直线与椭圆的位置关系：直线y2 kx b 与椭圆笃 a2b 1(a b 0)交于b 2X o ；~2~ ； a y 。

范围：0e 1, e 越大，椭圆就越扁。

5、椭圆的焦半径b 0)上任一点，焦点为 F i （ c,0） , F 2C O ），则焦半径PF i a ex o , PR a ex o；6、椭圆标准方程的求法⑴定义法：根据椭圆定义，确定a 2,b 2值，结合焦点位置直接写出椭圆方程;⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出 准方程;⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为Ax 2 By 2 1；椭圆方程的常见题型2x2、已知x 轴上一定点 A （1,0），Q 为椭圆y 2 1上的动点，贝U AQ 中点M 的轨迹方程4的轨迹方程是（）2x 2 “ C y 1 46、设一动点P 到直线x 3的距离与它到点 A （1,0）的距离之比为-.3，则动点P 的轨迹方2 2a ，b ,从而求出标1、点P 到定点F （4,0）的距离和它到定直线10的距离之比为 1:2，则点P 的轨迹方程3、平面内一点 M 到两定点F 2（0, 5）、F 2（0,5）的距离之和为10,则M 的轨迹为（ A 椭圆B 圆4、经过点（2, 3）且与椭圆9x 24y 2 2 22 2 A 乞匕1Bx L 115 1010 15C 直线D 线段36有共冋焦点的椭圆为（)2 2 2 2C0匕1x D — 工15 101052 25、已知圆x y 1，从这个圆上任意一点 P 向y 轴做垂线段 PR ，则线段PR 的中点MA 4x 2 y 2 1B x 2 4y 2 12 2 2 27、 动圆P 与圆G ：(x 4) y 81内切与圆C 2: (x 4) y 1外切，求动圆圆心的 P 的轨迹方程。

椭圆综合题型分类总结大全(定点定值问题、圆锥曲线与向量、圆锥曲线弦长与面积等)

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椭圆综合题型分类总结大全一、直线与椭圆位置关系的常规解题方法:1.设直线的方程（注意：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别）2.设交点坐标（注意:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）3.联立方程组，得到新的一元二次方程4.求出韦达定理（注意：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化，常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”（注意：需讨论K 是否存在，OA ⊥OB ） ②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔12120x x y y +>③“等角、角平分、角互补问题”即斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题”即坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想1、“常规求值”问题：找等式关系，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：应当假设存在去求，若求出答案则假设成立，若不存在则计算时会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变量用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明（此方法用得少）4、处理定点问题的方法：⑴常把方程参数分离，使参数乘以的因式为0，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；、题型一、椭圆与向量（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A、B与PQ的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。

高中数学椭圆题型归类(全)

高中数学椭圆题型归类(全)

高中数学椭圆题型归类目录曲线与方程题型1：曲线的方程的判断题型2：直接法求曲线的方程题型3：定义法求曲线的方程题型4：相关点法求曲线的方程题型5：参数法求曲线的方程题型6：交轨法求曲线的方程椭圆题型1：求轨迹(椭圆)方程题型1.1：定义法求轨迹(椭圆)方程题型1.2：直接法求轨迹(椭圆)方程题型1.3：相关点法求轨迹(椭圆)方程题型1.4：参数法求轨迹(椭圆)方程题型2：求椭圆标准方程题型2.1：已知椭圆上一点及焦点，定义法求椭圆标准方程题型2.2：已知椭圆上两点，待定系数法求椭圆标准方程题型2.3：已知a,b,c关系，方程组法求椭圆标准方程题型3：椭圆的定义题型4：椭圆的对称性题型5：椭圆的离心率题型5.1：求椭圆的离心率题型5.2：求椭圆的离心率取值范围题型6：椭圆的弦中点题型7：椭圆的焦点三角形题型8：椭圆的弦长题型9：椭圆中的三角形面积题型10：直线与椭圆的位置关系题型10.1：直线与椭圆的位置关系题型10.2：椭圆的切线方程题型11：椭圆的求值问题题型12：椭圆中求取值范围问题题型13：椭圆中最值问题题型14：椭圆的定值问题方法是先猜后证。

猜法：取特殊情况或极端情况，此不赘述。

题型14.1：和差相消为定值题型14.2：乘除相约为定值题型14.3：消参数为定值题型15：椭圆的定点问题方法是先猜后证。

猜法：取两种特殊情况或极端情况的交点，或利用对称性判断定点在某直线上，此不赘述。

题型15.1：直线恒过定点题型15.2：曲线恒过定点题型16：证明、探究问题题型1：曲线的方程的判断1.已知曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则“f 1(x 0,y 0)=f 2(x 0,y 0)”是“点M(x 0,y 0)是曲线C 1与C 2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.方程|y|-1=表示的曲线是()A.两个半圆B.两个圆C.抛物线D.一个圆 3.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()A.B.C.D.题型2：直接法求曲线的方程1.到（0,2）和（4，-2）距离相等的点的轨迹方程___________2.设动点P 到点F(-1,0)的距离是到直线y=1的距离相等，求点P 的轨迹方程，并判定此轨迹是什么图形.3.动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2||||=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？题型3：定义法求曲线的方程1.由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为．2.过点（-2,0）的直线与圆221x y +=相交于A，B，求弦AB 中点M 的轨迹方程。

高三数学椭圆常考题型

高三数学椭圆常考题型

高三数学椭圆常考题型一、椭圆的基本性质椭圆是一种常见的二次曲线，具有以下基本性质：1. 椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。

2. 椭圆的焦点距离为：c = sqrt(a^2 - b^2)。

3. 椭圆的离心率e = c/a，离心率的取值范围是[0,1]。

4. 椭圆的准线方程为：x = ±a^2/c。

二、常考题型及解析1. 椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4。

(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若AB是过椭圆C中心的弦，M是AB的中点，且|AB| = 4√5，求线段AB 的长。

【解析】(1) 根据题意，设椭圆C的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。

由离心率的定义，我们有e = c/a = 1/2。

再根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为4，所以2a = 4，即a = 2。

由离心率的定义和已知条件，我们可以得到b = sqrt(a^2 - c^2) = sqrt(4 - 1) = sqrt3。

所以椭圆C的标准方程为：x^2/4 + y^2/3 = 1。

(2) 设AB的方程为y = kx + t。

代入椭圆方程得到二次方程(3 + 4k^2)x^2 +8ktx + 4t^2 - 12 = 0。

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1 + x2 = -8kt/(3 + 4k^2)，x1x2 = (4t^2 - 12)/(3 + 4k^2)。

由弦长公式得|AB| = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = sqrt((1 + k^2)(x1 - x2)^2) = sqrt((1 + k^2)[(x1 + x2)^2 - 4x1x2])。

将已知条件代入得到k 和t 的关系，进一步求出线段AB的长为8sqrt(3-k^2)。