带电粒子在常梯度磁场中横向运动稳定性研究详解

带电粒子在常梯度磁场中横向运动稳定性研究 摘 要 在导出常梯度磁场中带电粒子运动的微分方程的基础上，求出了微分方程的解。研究了带电粒子在常梯度磁场中运动的稳定性，确定了粒子作回旋运动的稳定条件。结果表明，粒子在作回旋运动的同时，在轴向和径向均作简谐振荡，可以保持粒子绕回转轨道运动。粒子的横向运动轨迹的形状取决于磁场的对数梯度n,而与粒子的初始状态无关。粒子的初始状态确定其横向运动的振幅。

【关键词】常梯度磁场；回旋运动；横向运动；稳定性条件 Study on the lateral stability of charged particles in a constant gradient magnetic field

Abstract In constant gradient magnetic field is derived the basic differential equations for the motion of charged particles in the upper, the solution of the differential equation. The stability of charged particles in constant gradient magnetic field research, determine the particle stability conditions of cyclotron motion. The results show that, particles in the cyclotron motion at the same time, in the axial and radial directions were simple harmonic oscillation, can keep the particles around the rotary motion. Logarithmic gradient magnetic field n in lateral motion trajectory of particle shape depending, regardless of the initial state and the particle. The initial state of the amplitude of the transverse motion of particle is determined.

[Key words] constant gradient magnetic field; lateral motion; stability condition 目 录 引 言 ................................................................... 4 1 带电粒子在恒定均匀磁场中的运动 ......................................... 4 1.1带电粒子在恒定电磁场中的运动方程 .................................. 4 1.2带电粒子在均匀磁场中的运动 ........................................ 5 2 带电粒子在常梯度磁场中的运动方程 ....................................... 6 2.1理想常梯度磁场分布的特点 .......................................... 6 2.2带电粒子在常梯度磁场中的运动方程 .................................. 7 2.3 轴向运动方程 ...................................................... 8 2.4 径向运动方程 ...................................................... 9 2.5非相对论情况下带电粒子横向运动的稳定性 ........................... 10 3.带点粒子运动规律的数值分析 ............................................ 11 3.1非相对论情况下横向振荡方程的通解 ................................. 11 3.2初始条件确定时横向振荡方程的定解 ................................. 12 3.3粒子运动轨道的分析 ............................................... 13 4 结论 .................................................................. 17 参考文献 ................................................................ 18 引 言

带电粒子加速器可以给电子、质子、轻重离子等带电粒子加速，使它们的速度

达每秒几千公里、几万公里乃至接近光速，使粒子获得很高的能量。高能粒子是人们研究原子核、基本粒子和认识物质深层次结构的重要工具。低能加速器在工业、农业、医疗卫生等领域内有广泛的应用，极大地改变了这些领域的面貌，创造了巨大的经济效益和社会效益。 粒子回旋加速器等加速装置常常是将利用磁场将带电粒子限制在一个圆形的轨道上运动，研究带电粒子在圆轨道上运动的稳定性是一个很有意义的课题。本文将研究带电粒子在常梯度磁场中的运动的稳定性，研究粒子横向运动的规律。

1 带电粒子在恒定均匀磁场中的运动

1.1带电粒子在恒定电磁场中的运动方程 带电粒子在恒定电磁场中运动时，将受到电场力和磁场力的作用。根据牛顿第二定律，带电粒子在恒定电磁中的运动方程为

dmvqeEqevBdt （1-1） 或写成 ()ddrdrmqeEqeBdtdtdt



式中m为粒子的质量，v为粒子的速度矢量，qe为粒子的荷电量，其中e是电子电荷的绝对值，E为电场强度矢量，B为磁感应强度矢量。 在回旋加速器中粒子的轨道大多呈圆形或螺旋线形，所以当讨论粒子在加速器中的运动时常采用圆柱坐标系。以z代表轴向，r以代表径向，代表辐向。（1-1）式可写成三个分量的运动方程式 2()zrddrdddzmmrqeBrqeBqeEdtdtdtdtdt



（1-2） 21rzdddzdrmrqeBqeBqeErdtdtdtdt



（1-3）

rzddzdrdmqeBqeBrqeEdtdtdtdt



（1-4）

（1-2）到（1-4）三个式子分别为带电粒子在恒定电磁场中的径向、辐向和轴向的运动方程。

1.2带电粒子在均匀磁场中的运动 设粒子在均匀磁场中运动，（1-2）式、（1-3）式和（1-4）式中zzBeB、电场为0，可写出均匀磁场中的运动方程： 2()zddrddmmrqeBrdtdtdtdt



（1-5a）

2zdddrmrqeBrdtdtdt （1-5b）

0ddzmdtdt （1-5c） 在加速过程中，粒子质量m不断增大，但在粒子的一个回旋周期内变化极小，本文不考虑相对论效应，取m是常数。当带电粒子在磁场中运动时将受到洛伦兹力的作用，力的大小等sinqevB，其中为粒子的速度v与磁场B的方向间的夹角，力的方向垂直于磁场和粒子运动的方向。粒子在洛仑兹力的作用下作曲线运动。如果曲率半径保持不变，则/drdto，则由(1-5)式

20zddmrqeBrdtdt



zdmqeBdt (1-6)

考虑到方向，求出粒子做圆周运动的角频率

zc

qeBd

dtm

 (1-7) 其中c为粒子的回旋角频率，这就是拉摩定理。由上可见，粒子的回旋频率只与磁感强度和粒子的荷质比有关，而与粒子的速度无关。 (1-6)式也可写成zdmrqeBrdt，则粒子的回转轨道半径

cz

mvrqeB (1-8)

上式中负号反映了粒子回旋运动的方向。带正电荷的粒子（0q）在磁力线向上的磁场中（0zB）运动时，粒子回旋运动的方向为顺时针方向（0v）；在磁力线向下的磁场中（0zB）运动时，粒子回旋运动的方向为逆时针方向（0v）；而带负电荷的粒子其结果相反。概括地说，0q的带电粒子，v与zB的符号相反，0q的带电粒子，v与zB的符号相同。

如果只计算轨道半径的大小，负号可以不考虑。理想的均匀磁场只有轴向分量zBB，带电粒子的运动方向可以近似的认为是沿着半径的切线方向，即vv。则(1-8)式可写成

cmvrqeB (1-9)

2 带电粒子在常梯度磁场中的运动方程 2.1理想常梯度磁场分布的特点 在粒子加速过程中人们往往采用常梯度的磁场，因为参数合适的梯度磁场不但能控制粒子的轨道，还能使粒子聚焦。图2-1表示典型的常梯度磁场磁力线的分布情况。

图2-1 常梯度磁场磁力线的分布