非寿险精算答案--孟生旺版

2
{
2
}
= 20(1002 + 1002 ) = 400000
分位数= E ( S ) + 2.326 × Var ( S ) = 3471 令Y = ⎨
2.7
⎧0, X ≤ 20 为保险人的赔款随机变量。 ⎩ X − 20, X > 20
+∞ 20
E (Y ) = E ( X − 20 X > 20 ) = ∫
2.8
( x − 20 ) f ( x ) dx = ∫20 ( x − 20 ) 0.2e−0.2 x dx = 5e−4
+∞
P ( x = 4 λ) =
16 − 2 λ 4 −λ 1 e ， P ( x = 4 λ = 1) = e−1 ， P (x = 4 λ = 2) = e 24 4! 24
从而，λ 的矩估计值为 658。
2
2.4
λ=
∧
n
∑x
i =1
n
=
i
1 x
2.5 2.6
M x (t ) = E(etx ) = ∫ etx ∑ ai λi e − λi x dx = ∑ ai (1 −
0 i =1 i =1
∞
n
n
t
λi
) −1 , (t < λi )
E ( S ) = λ E ( X ) = 20 × 100 = 2000 Var ( S ) = Var ( X ) E ( N ) + Var ( N ) [ E ( X ) ] = λ Var ( X ) + [ E ( X ) ]
17. 第 140 页倒数 11 行的“ v ˆ=
ˆ = ∑ wi v ˆi ” ∑ wivi ”改为“ v
i =1
i =1
r
1
第 1章
非寿险与非寿险精算
（略）
第 2章
2.1
损失模型
⎧x − d , x > d ， ⎩ 0, 其他
对于随机损失 X，当免赔额为 d 时，保险人需要支付的赔款 Y = ⎨
《非寿险精算学》勘误表与参考答案
（孟生旺 刘乐平 编著，中国人民大学出版社 2007 版）
勘误表
（2008 年 8 月） 2. 第 37 页第 9 行的“ Pr [ Z ≥ (3.5μ ) / σ ] ”改为“ Pr [ Z ≥ (3.5 − μ ) / σ ] ” 。 3. 第 37 页倒数第 6 行的“ x0 = 1 ”改为“ x0 = −1 ” 。 4. 第 51 页第 3 行，帕累托分布的有限期望函数改为： ，共有四处，分别在第 10，19，26 行。 1. 第 37 页的所有乘号“⋅”应改为减号“−”
⎛ 1⎞
∞ ⎜ z− ⎟x 1 1 ∞ -1 （1-θ z） 2.15 X 的矩母函数为 M x ( z ) = ∫ e zx e − x / θ dx = ∫ e zx e⎝ θ ⎠ dx = 0
μ = E ( S ) = λ E ( X ) = 20 ×100 = 2000
2
σ 2 = Var ( S ) = Var ( X ) E ( N ) + Var ( N ) [ E ( X )]
= λ Var ( X ) + [ E ( X ) ] E[( S − E ( S ))3 ]
{
2
}
= 20(1002 + 1002 ) = 400000
2.11 累积损失小于 5000 元的概率为 0.67，MATLAB 计算程序如下： clear all; lambda=2; fx(1)=0.2; fx(2)=0.5; fx(3)=0.2; fx(4)=0.1; fs(1)=exp(-lambda);%S=0 的概率，下标用 1 表示 for s=2:6; for y=1:min(s-1,4); z(y)=y*fx(y)*fs(s-y); z=sum(z); end; fs(s)=lambda/(s-1)*z; end; p=sum(fs) 2.12 应用随机模拟，模拟 50000 次的结果：均值=1.4*104，方差=1.036*107。随机模拟的 MATLAB 程序代码如下： for i=1:50000;%模拟50000次 n(i)=poissrnd(20);%根据参数为20的泊松分布生成损失次数的随机数n(i) u=unifrnd(0,1,1,n(i));%生成n(i)个（0，1）区间上均匀分布的随机数 x=300.*(1+(1-u).^(-1/4));%生成n(i)个参数为（4，300）的帕累托分布的随机数 S(i)=sum(x);%生成累积损失S的一个随机数 end; E=mean(S);%计算累积损失的均值 V=var(S);%计算累积损失的方差 2.13 累积损失大于 4 的概率为 0.3. MATLAB 程序代码如下： lambda=2; fx(1)=0.3; fx(2)=0.5; fx(3)=0.2; m=3; fs(1)=exp(-lambda);%S=0的概率，下标用1表示 for s=2:5; for y=1:min(s-1,m); z(y)=y*fx(y)*fs(s-y); z=sum(z); end;
0, x ≤ 0 ⎧ ⎪ f (x + d ) 其密度函数为 f Y ( x ) = ⎨ ,x > 0 ⎪ ⎩ 1 − F (d ) 1⎞ ⎛ f ⎜x+ ⎟ ∞ ∞ ∞ f (x + d) λ⎠ E (Y ) = ∫ xfY ( x )dx = ∫ x ⋅ dx = ∫ x ⎝ dx 0 0 0 1 1− F (d ) ⎛ ⎞ 1− F ⎜ ⎟ ⎝λ⎠ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢1 − F ⎜ λ ⎟ ⎥ e ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎛1⎞ 1 ⎟ F⎜ = 1− e−1 ⇒ E (Y ) = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝λ ⎠ λ
λ E ( X 3 ) 12 × 107 γ= = = = 0.474 4000003/ 2 σ3 σ3 4 2 2σ α = 2 = 17.778，β = = 6.667 × 10−3，x0 = μ − = −666.67 γ γσ γ
分位数=3687 2.10 为简化计算，假设一个货币单位为 5000 元。
E ( λ ) = P ( λ = 1 x = 4 ) ×1 + P ( λ = 2 x = 4 ) × 2 = 0.2031× 1 + 0.7969 × 2 = 1.7969
2.9
e −1 × 0.6 24 P (λ = 1 x = 4) = −1 = 0.2031 e 16 −2 × 0.6 + × e × 0.4 24 24 16 −2 × e × 0.4 = 0.7969 P (λ = 2 x = 4) = −1 24 e 16 −2 × 0.6 + × e × 0.4 24 24
3
f S (0) = e − λ = e −0.2 = 0.818731, f S (1) = λ f X (1) f S (0) = 0.2 × 0.8 × e −0.2 = 0.130997 f S (2) =
x 0 1 2 3 4 5 6
λ
2
[ f X (1) f S (1) + 2 f X (2) f S (0)] = 0.043229
2.2
=
∫
∞
0
x ⋅ λe
⎛ 1⎞ −λ ⎜ x+ ⎟ ⎝ λ⎠
dx
⎛1⎞ 1− F ⎜ ⎟ ⎝λ ⎠
=
1
∫
∞
Hale Waihona Puke Baidu
0
x ⋅ λ e − λ x dx =
1
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ λ ⎢1 − F ⎜ λ ⎟ ⎥ e ⎝ ⎠⎦ ⎣
⋅
1
首先将 2005 年和 2006 年的损失折现到 2004 年中： 2005 年平均损失金额的折现值为： 1200 × 1 = 1090.9 1 + 10%
E( S ) = ∑ ni ui qi = ∑
i =1 i =1 5 5
ni Ai qi 2
0.04 = (80 × 10000 + 35 × 20000 + 25 × 30000 + 15 × 50000 + 5 × 100000) = 70000 2
2 2 V ar( S ) = ∑ ⎡ ⎣ ni ui qi (1 − qi ) + niσ i qi ⎤ ⎦ = 0.04 × 0.96∑ i =1 i =1 5 5 5 ni Ai2 n A2 + 0.04∑ i i = 1.7072 × 109 4 i =1 12
θ ⎡ ⎛ θ ⎞ ⎢1−α ⎜ ⎟ α −1 ⎢ ⎝θ + d ⎠ ⎣
α −1
∑X
i =1
n
2 i
”
9. 第 124 页倒数 14 行的“观察到的索赔次数”改为“观察年数” 。 10. 第 125 页第 9 和第 10 行的“ X j ”改为“ X t ” 。 11. 第 127 页图 5-2 的横轴标题改为“观察年数” 。 12. 第 128 页倒数 10 行的“平均每辆汽车”改为“每辆汽车” 。 13. 第 129 页第 12 行的“ X j ”改为“ X t ” 。 14. 第 133 页第 4 行增加“ v(θ ) = Var( X j | Θ = θ ) ” 。 且它们的观察年数相等，即 mij = 1，ni = n ” 。
f S ( x)
0.818731 0.130997 0.043229 0.005799 0.001097 0.000128 0.000018
依此类推，其他计算结果如下表所示。
FS ( x)
0.818731 0.949728 0.992957 0.998756 0.999853 0.999981 0.999999
⎡ S − E( S ) θ E( S ) ⎤ < P [ S < (1 + θ ) E( S ) ] = 99% ⇒ P ⎢ ⎥ = 99% Var( S ) Var( S ) ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
φ⎢
⎡ θ E( S ) ⎤ ⎡ θ E( S ) ⎤ 2.325 Var( S ) −1 = 1.3724 ⎥ = 99% ， φ ⎢ ⎥ = φ (0.99) = 2.325 ⇒ θ = E( S ) ⎢ Var( S ) ⎦ ⎥ ⎢ Var( S ) ⎦ ⎥ ⎣ ⎣
15. 第 137 页 5.5.1 节开头增加一句： “在 Bühlmann 信度模型中，假设每个风险的规模不变，
1 16. 第 138 页第 4 行的“ u ˆi =
∑(X n
t =1
n
it
ˆi = − X i ) 2 ”改为“ v
r
1 n 。 ( X it − X i )2 ” ∑ n − 1 t =1
1 = 1239.7 (1 + 10% )2 1 2 2004 年的平均损失金额为： E ( x ) = × 1090.9 + × 1239.7 = 1190.1 3 3 λ 而 Pareto(α , λ ) 分布的期望是 E ( x ) = α −1
2006 年平均损失金额的折现为： 1500 × 所以，由 × 1090.9 +
Xi = Y1( i ) + " + Yn(i i )
（j = 1，…，ni）独立分布，设其分布与 IBi 相同，Bi ∼ U (0，Ai)，ui = E (Bi) 其中对每个 i，Y ji ， = Ai / 2， σ i2 = var( Bi ) = Ai2 /12 ，则总赔付额 S 为：
S = X1 + X 2 + " + X 5
4
fs(s)=lambda/(s-1)*z; end; p=1-sum(fs)
⎧1，火灾发生 2.14 设 I = ⎨ ，q = P (I = 1) = 0.04。对最高赔偿额为 Ai 的第 i 类保单，设 ⎩0，火灾不发生 Xi 为其理赔总额， Y ji ，j = 1，…，ni 为第 j 份保单获得的赔付额，则
∞
1 3
λ 2 ，得 λ = 2380.2 × 1239.7 = 1190.1 = 3 3 −1
2.3
E( x) = ∫
0
2λ 2 λ =λ x dx = 3 (λ + x ) 2 −1
由题意可知，2007 年平均索赔金额的期望值为：
1 (500 × 1.05 3 + 600 × 1.05 2 + 700 × 1.05) = 658.44 3 即： E( x) = 658 = λ
⎤ ⎥， α ≠ 1 ⎥ ⎦ 2 2 2 5. 第 60 页倒数 14 行的 “ E[( X ∧ u ) ] ” 改为 “ E[( X ∧ 200) ] ” ， 下一行的 “ E[( X ∧ 200) ] ” 2 。 改为“ E[( X ∧ u ) ] ” E( X ∧ d ) =
6. 第 62 页倒数 12 行的“800”改为“100” 。 。 7. 第 101 页第 10 行的两处“ ϕ ”改为“ φ ” 8. 第 121 页倒数 14 行中删去“