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专题导数与不等式的解题技巧
一．知识点
基本初等函数的导数公式
()常用函数的导数
①()′＝(为常数); ②()′＝；
③()′＝；④′＝；
⑤()′＝．
()初等函数的导数公式
①()′＝；②( )′＝；
③( )′＝；④()′＝；
⑤()′＝；⑥( )′＝；
⑦()′＝．
．导数的运算法则
()[()±()]′＝；
()[()·()]′＝；
()′＝．
．复合函数的导数
()对于两个函数＝()和＝()，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这两个函数(函数＝()和＝())的复合函数为＝(())．
()复合函数＝(())的导数和函数＝()，＝()的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
二．题型分析
（一）函数单调性与不等式
例．【一轮复习】已知函数()＝＋，∈(－，)，则满足(－)＋(－)>的的取值范围是( )
．(，) ．(，) ．(，) ．(，)
【答案】
【分析】在区间（﹣，）上，由（﹣）＝﹣（），且′（）＞可知函数（）是奇函数且单调递增，由此可求出的取值范围．
【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题，综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化，属于中档题．
练习．对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是（）
．．
．．
【答案】
【分析】构造函数，对其求导后利用已知条件得到的单调性，将选项中的角代入函数中，利用单调性化简，并判断正误，由此得出选项.
【解读】构造函数，则，∵，∴，即在上为增函数，则，即，即，即，又，即，即，故错误的是．故选：．【点睛】本小题考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有，也含有其导数的不等式，根据不等式的结构，构造出相应的函数.如已知是，可构造，可得.
（二）函数最值与不等式
例．【福建省福州市学年高三第一学期质量抽测】已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）．．．．
【答案】
【分析】由题意知即等价转化为，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可.
（四）不等式中存在任意问题
例．【安徽省皖南八校届高三第二次（月)联考数学】已知函数，，对于，，使得，则实数的取值范围是．．．．
【答案】
【解读】，，使得，可得，利用，的单调性、最值即可求得.
【详解】对于，，使得,
等价于
，
因为是增函数，由复合函数增减性可知
在上是增函数，
所以当时，，
令，则，
若时，，，
所以只需，解得.
若时，，，
所以只需，解得.
当时，成立.
综上，故选.
练习.已知函数，函数（），若对任意的，总存在使得，则实数的取值范围是（）
．．．．
【答案】
【解读】由题意，可得在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.
【详解】由题意，函数的导数为，
当时，，则函数为单调递增；
当时，，则函数为单调递减，
即当时，函数取得极小值，且为最小值，
又由，可得函数在的值域，
由函数在递增，可得的值域，
由对于任意的，总存在，使得，
可得，即为，解得，故选.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为在的值域包含于函数的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试卷.
练习．函数，，若对，，，则实数的最小值是．
【答案】
【解读】利用导数以及指数函数的性质，分别求出函数（），（）的最值，将问题转为求（）≥（）即可．【详解】
，在递减，在递增，所以，在单调递增，，由已知对，，，可知只需（）≥（）
即，
故答案为：.
练习．已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是．
【答案】
【解读】存在，使得对任意的，恒成立，即，由在上递增，可得，利用导数可判断在上的单调性，可得，由，可求得的范围；
【详解】的定义域为，，
当时，，，为增函数，
所以；
若存在，使得对任意的，恒成立，
即，
，
当时，为减函数，，
∴，，
∴
故答案为：.
【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
（五）数列与不等式
例．【湖北省武汉市届月高三数学试卷】等差数列的前项和，若，，则下列结论正确的是（）
．，．，
．，．，
【答案】
【解读】设（）判断函数的奇偶性以及函数的单调性，然后判断，且＜，推出结果．
故选：．
【点睛】本题考查构造法的应用，利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，数列与函数相结合，考查计算能力．
已知函数在处的切线方程为.
()求函数的解读式；
()若关于的方程恰有两个不同的实根,求实数的值；
()数列满足.
证明：①；
