高考数学平面向量题的七种解法

专题07 平面向量【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 2.（2020·山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1).5 (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22215PD =-+=，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.4.（2020·天津卷）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 5.（2020·浙江卷）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 6.（2020·江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.7.（2020·新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.8.（2020·新课标Ⅰ）设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【2019年】1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB →=(2,3)，AC →=(3，t )，BC →=1，则AB →·BC →= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由BC →=AC →—AB →=（1，t-3），211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC=【2018年】1．【2018·全国I 卷 】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-. 故选A.2．【2018·全国II 卷 】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.3．（2018·浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.4．【2018·天津卷 】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =. 设()01DE tDC t =≤≤AE BE ⋅ ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+ ()01t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.5．【2018·北京卷 】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.6．【2018·全国III 卷 】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________． 【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12.7．【2018·上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________． 【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2； 且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．8．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【2017年】1．【2017·全国III 卷 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ， 易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．2．【2017·全国II 卷 】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-2333)22-≥-，当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ．3．【2017·北京卷 】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.4．【2017·全国I 卷 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】23【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b 方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为235．【2017·江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=2cos α= 易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222720210n m ⎧=⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．6．【2017·天津卷】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．【答案】311【解析】由题可得1232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+， 则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 7．【2017·山东卷 】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e ，12|2-==e ，12||λ+===e e ，cos60λ=︒=λ=． 8．【2017·浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是 【2016年】1.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B【解析】由43=m n ，可设3,4(0)k k k ==>m n ，又()t ⊥+n m n ， 所以22221()cos ,34(4)41603t t n n t t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=n m n n m m n m n n , 所以4t =-，故选B.2.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.3.【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA = ，31()2BC = ，则ABC ∠=（ ） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 4.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选 B.6.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( ) （A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B.7.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】－2【解析】由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.8.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 9.【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12。

专题5 平面向量
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．

必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (21)一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.平面内给定三个向量a⃗=(3,2),b⃗ =(−1,2),c⃗=(4,1)．(Ⅰ)求|3a⃗+b⃗ −2c⃗|；(Ⅱ)求满足a⃗=m b⃗ +n c⃗的实数m和n；(Ⅲ)若(a⃗+k c⃗ )⊥(2b⃗ −a⃗ )，求实数k．2.已知，与的夹角为．(1)求；(2)求为何值时，3.已知向量a⃗=(1,0)，|b⃗ |=√2，a⃗、b⃗ 的夹角为45°，c⃗=a⃗+b⃗ ，d⃗=a⃗−b⃗ ，求c⃗在d⃗方向上的数量投影．4.已知向量a⃗=(cosα,sinα)，b⃗ =(cosβ,sinβ)，c⃗=(−1,0)(1)求向量b⃗ +c⃗的长度的最大值;(2)设α=π，且a⃗⊥(b⃗ +c⃗ )，求cosβ的值。

45.如图，平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长．6. 如图，平行四边形ABCD 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，∠DAB =π3．求：(1)|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)cos∠CAB 的大小．7. 已知飞机从A 地按北偏东30°方向飞行2000km 到达B 地，再从B 地按南偏东30°方向飞行2000km 到达C 地，再从C 地按西南方向飞行 1000√2km 到达D 地．画图表示向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并指出向量 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模和方向．8. 设两个非零向量a ⃗ 与b ⃗ 不共线．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ⃗ −b ⃗ 与a ⃗ −k b ⃗ 共线．9. 已知平面上一定点O ，不共线的三点A ，B ，C ，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)，λ∈[0,+∞)，求证：P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．10. 已知点A(p,t)、B(q,t +4)、C(0,2)，O 为坐标原点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5，求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围．11.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/ℎ，此时水的流向是正东，流速为20km/ℎ.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．12.已知向量a⃗、b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，|a⃗−b⃗ |=2，求|a⃗+b⃗ |．13.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角θ=120°，且|a⃗|=4，|b⃗ |=2，求：(1)a⃗⋅b⃗ ；(2)(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−2b⃗ )；(3)|a⃗+b⃗ |．14. 在△ABC 中，∠B =120°，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，试用a ⃗ 、b ⃗ 表示与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量c 0⃗⃗⃗ ．15. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，记a ⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，c ⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)用a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 表示AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)若AB 1⊥BC 1，A 1C ⊥BC 1，求证：AB 1=A 1C .16.已知向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(−7,−6)，求与a⃗+b⃗ 同向，且模等于20的向量c⃗．17.已知a⃗=(−6,8)，2a⃗−b⃗ =(2,2)，求b⃗ 和|b⃗ |．18.如图，正方形ABCD，P是对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，用向量法证明：(1)PA=EF；(2)PA⊥EF．19.在下图田字格中，以图中的结点为向量的起点或终点．⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量；(1)写出与A1A2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量；(2)写出与A1B2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的负向量．(3)写出A1A3⃗⃗⃗⃗⃗ 共20.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，写出与AB线(平行)的向量．21. 设a ⃗ 、b ⃗ 是两个不共线的非零向量(t ∈R ).(1)若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗=13(a ⃗ +b ⃗ )，则当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ (2)若|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，则当实数x 为何值时，|a ⃗ −x b⃗ |的值最小？22. 已知|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，|a ⃗ −b ⃗ |=√7．求：(1)a ⃗ 与b ⃗ 的夹角；(2)向量a ⃗ 在b ⃗ 方向上的数量投影．23. 在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，F 、G 分别是DB 、EC 的中点，判别下列命题是否正确．(1)DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和FG⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量； (3)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <FG⃗⃗⃗⃗⃗ ．24. 如图，质点O 受到两个力F 1和F 2的作用，已知∠F 1OF 2=135°，|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8 N ，|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2 N ，求这两个力的合力OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的大小以及∠FOF 1的大小．25. 已知O 、A 、B 是平面上不共线的三点，记OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，若平面上另一点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a ⃗ +b ⃗ )，求证：A 、B 、C 三点共线，且C 恰为线段的中点．26.已知a⃗=(3,−1)，b⃗ =(1,−2)，求a⃗⋅b⃗ ，|a⃗|，|b⃗ |，⟨a⃗,b⃗ ⟩．27.已知平面向量a⃗与b⃗ 满足|a⃗|=2，|b⃗ |=1，且a⃗与b⃗ 的夹角为2π．3(1)求|2a⃗+b⃗ |；(2)若2a⃗+b⃗ 与a⃗+λb⃗ (λ∈R)垂直，求λ的值．28.已知，|b⃗ |=4，a⃗与b⃗ 的夹角为135°.求：；(2)|a⃗+b⃗ |．29.已知|a⃗|=|b⃗ |=3，且向量a⃗与b⃗ 的夹角为120°.求|a⃗+b⃗ |，|a⃗−b⃗ |．30.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出：⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点、终点和模；(1)向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量；(2)与向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量．(3)与向量OA【答案与解析】1.答案：解：(Ⅰ)根据题意，向量a ⃗ =(3,2),b ⃗ =(−1,2),c ⃗ =(4,1)． 则3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ =(0,6)，故|3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ |=6； (Ⅱ)若a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ，即(3,2)=m(−1,2)+n(4,1)， 则有{3=−m +4n 2=2m +n ，解可得{m =59n =89， 故m =59，n =89；(Ⅲ)根据题意，a ⃗ +k c ⃗ =(3+4k,2+k)，2b ⃗ −a ⃗ =(−5,2)，若(a ⃗ +k c ⃗ )⊥(2b ⃗ −a ⃗ )，则(a ⃗ +k c ⃗ )⋅(2b ⃗ −a ⃗ )=(−5)(3+4k)+2(2+k)=0， 解可得k =−116， 故k =−116．解析：本题考查平面向量数量积的计算，涉及向量的坐标和向量模的计算，属于基础题． (Ⅰ)根据题意，求出3a ⃗ +b ⃗ −2c ⃗ 的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案；(Ⅱ)根据题意，由向量的坐标计算公式可得若a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ，必有{3=−m +4n 2=2m +n ，求出m 、n 的值，即可得答案；(Ⅲ)根据题意，求出a ⃗ +k c ⃗ 与2b ⃗ −a ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得(a ⃗ +k c ⃗ )⋅(2b ⃗ −a ⃗ )=0，求出k 的值，即可得答案．2.答案：解：(1)因为|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=8，a ⃗ 与b ⃗ 夹角是，所以，因此|a ⃗ +b ⃗ |=√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√42+82+2×(−16)=4√3；(2)因为(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b ⃗ )，所以(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(k a ⃗ −b ⃗ )=k a ⃗ 2−2b ⃗ 2+(2k −1)a ⃗ ⋅b ⃗ =0，整理得16k −128+(2k −1)×(−16)=0， 解得k =−7．即当k =−7值时，(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b ⃗ )．解析：本题考查了向量的数量积和向量垂直的判断与证明，属于基础题．(1)利用向量的数量积计算得a ⃗ ⋅b ⃗ =−16，再利用|a ⃗ |2=a ⃗ 2计算得结论；(2)利用向量垂直得16k −128+(2k −1)×(−16)=0，计算求解即可．3.答案：解：设b ⃗ =(m,n)，又|b ⃗ |=√2.所以m 2+n 2=2，因为a⃗ 、b ⃗ 的夹角为45°， 所以cos 45∘=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=m √2=√22，联立方程组， 可解得：{m =1,n =1,或{m =1,n =−1.当b ⃗ =(1,1)时，c ⃗ =(2,1)，d ⃗ =(0,−1)， 所以c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为c ⃗ ⋅d ⃗⃗ |d|=−11=−1；当b ⃗ =(1,−1)时，c ⃗ =(2,−1)，d⃗ =(0,1)， 所以c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为c ⃗ ⋅d ⃗⃗|d|=−11=−1， 综上所述：c ⃗ 在d⃗ 方向上的数量投影为−1解析：本题考查向量的投影以及向量夹角和向量模的计算，首先设b ⃗ =(m,n)，利用已知条件求出m ，n 然后分别求出c ⃗ 和d⃗ ，进而通过向量投影公式求出结果，属于基础题． 4.答案：解：，c ⃗ =(−1,0)，∴b ⃗ +c ⃗ =(−1+cosβ,sinβ)，=√2−2cosβ，当cosβ=−1时，上式取最大值2； (2)由(1)知，b ⃗ +c ⃗ =(−1+cosβ,sinβ)，当α=π4时， a ⃗ =(√22,√22)， 由向量垂直可得a ⃗ ·(b ⃗ +c ⃗ )=0， 故√22(−1+cosβ)+√22sinβ=0， 由三角函数公式化简可得sin(β+π4)=√22，∴β+π4=2kπ+π4，或β+π4=2kπ+3π4，k ∈Z ，故β=2kπ或β=2kπ+π2，k ∈Z ， ∴cosβ=1或0．解析：本题考查平面向量和三角函数的综合，解决问题的关键是熟练掌握先关的结论． (1)由已知可得b ⃗ +c ⃗ 坐标，可得|b ⃗ +c ⃗ |，由三角函数最值可得答案；(2)由(1)可得向量坐标，由垂直可得数量积为0，由等式和三角函数可得sin(β+π4)=√22，可得β=2kπ或β=2kπ+π2，k ∈Z ，求其余弦值可得答案．5.答案：解：设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b →，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →−b →，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a →+b →， 而|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|a →−b →|=√a →2−2a →·b →+b →2=√1+4−2a →·b →=√5−2a →·b →=2， 所以5−2a →·b →=4，所以a →·b →=12，又|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|a →+b →|2=a →2+2a →·b →+b →2=1+4+2a →·b →=6， 所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6， 即AC =√6．解析：【试题解析】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，根据条件可以得到BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a →−b →，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =a →+b →，然后由向量数量积求解即可．6.答案：解：(1)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB =2，AD =4， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4， ∴|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=16+4−2×4=12， ∴|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3． (2)由|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=16+4+2×2×4×cos60°=28， 故|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√7， 在△ABC 中，AB =2，AC =2√7，BC =4， 根据余弦定理得出：cos∠CAB =AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC=2×2×2√7=2√77．解析：本题综合考察了平面向量的运算，几何意义，三角形中的定理，考察了学生的计算能力，运用图形的能力．(1)根据向量的加法几何意义得出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得出BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，再求解|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，即可得出|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | (2)在△ABC 中，AB =2，AC =2√7，BC =4，运用余弦定理求解即可．7.答案：解：以A 为原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向建立直角坐标系．据题设，B 点在第一象限，C 点在x 轴正半轴上，D 点在第四象限，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 如图所示，由已知可得△ABC 为正三角形，所以AC =2000km ．又∠ACD =45°，CD =1000√2 km ，所以△ADC 为等腰直角三角形， 所以AD =1000√2 km ，∠CAD =45°． 故向量AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为1000√2 km ，方向为东南方向．解析：本题主要考查平面向量问题有生产生活中的实际应用，是中档题，解题认真审题，注意向量加法法则和数学结合思想的合理运用，是高考中常见的题型．8.答案：(1)证明：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +8b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a ⃗ −b ⃗ ).∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +8b ⃗ +3(a ⃗ −b ⃗ ) =2a ⃗ +8b ⃗ +3a ⃗ −3b ⃗=5(a ⃗ +b ⃗ )=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解：∵k a ⃗ −b ⃗ 和a ⃗ −k b ⃗ 共线， ∴存在实数λ，使k a ⃗ −b ⃗ =λ(a ⃗ −k b ⃗ )， 即k a ⃗ −b ⃗ =λa ⃗ −λk b ⃗ ， ∴(k −λ)a ⃗ =(1−λk)b ⃗ . ∵a ⃗ ，b ⃗ 是不共线的两个非零向量， ∴k −λ=1−λk =0， ∴k 2−1=0，∴k =±1．解析：略9.答案：证明：如图所示，因为AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |均为单位向量，且两向量方向分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向． 记AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， 由向量加法的几何意义知AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |对应一个平行四边形AMQN 的对角线AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又因为|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=1， 所以▱AMQN 是菱形． 所以AQ 在∠BAC 的平分线上．因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以点P 在∠BAC 的平分线上，即P 的轨迹必过△ABC 的内心．解析：本题考查平面向量的加减运算和向量运算的平行四边形法则，先根据AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗|分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的单位向量，判断AQ 在∠BAC 的平分线上，确定OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，据此可判断． 10.答案：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(q −p,4)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴2(q −p)=0，即p =q ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(p,t)⋅(p,t +4)=p 2+t 2+4t =5．∴|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=p2+t2=5−4t，∵p2+t2+4t=5，∴p2=5−t2−4t≥0，解得−5≤t≤1，1≤|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤25，∴1≤|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5．|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围：[1,5]．解析：通过向量平行，推出p=q，利用向量的数量积，求解p，t的关系式，通过p2=5−t2−4t≥0求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．11.答案：解：建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1⃗⃗⃗⃗ |=20(km/ℎ)，水流的方向为正东，速度为|v2⃗⃗⃗⃗ |=20(km/ℎ)，设帆船行驶的速度为v⃗，则v⃗=v1⃗⃗⃗⃗ +v2⃗⃗⃗⃗ ．由题意，可得向量，向量v2⃗⃗⃗⃗ =(20,0)，则帆船的行驶速度v⃗=v1⃗⃗⃗⃗ +v2⃗⃗⃗⃗ =(10,10√3)+(20,0)=(30,10√3)，所以．因为tanα=10√330=√33(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α=30°．所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20√3km/h．解析：本题考查了向量的物理运用、向量的模和平面向量的坐标运算，建立如图所示的直角坐标系，设帆船行驶的速度为v ⃗ ，则v ⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ +v 2⃗⃗⃗⃗ .由向量坐标运算得出v⃗ ，再求模即可． 12.答案：解：|a ⃗ −b ⃗ |2=(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ·b ⃗ =4+1−2a ⃗ ·b ⃗ =4， 故a ⃗ ·b ⃗ =12，|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )2=√4+1+2×12=√6．解析：此题考查向量的模，属于基础题．将|a ⃗ −b ⃗ |=2完全平方求得a ⃗ ·b ⃗ ，进而再对|a ⃗ +b ⃗ |平方求解即可．13.答案：解：(1)a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cosθ=4×2×cos120°=−4．(2)(a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −2b ⃗ )=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=16+4−8=12． (3)|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−8+4=12，∴|a ⃗ +b ⃗ |=√12=2√3．解析：本题考查了平面向量的数量积运算，以及向量的模，属于基础题． (1)利用数量积的定义进行计算； (2)利用数量积的运算法则展开计算； (3)先计算(a ⃗ +b ⃗ )2，再开方即可．14.答案：解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量c 0⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1919(a ⃗ +b⃗ )．解析：此题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量，三角形法则以及向量的坐标运算． 由在直角三角形ABC 中，∠B =120°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=3，直接利用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量c 0⃗⃗⃗ ▱AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a⃗ +b ⃗ |a ⃗ +b⃗ |求解即可求得答案． 15.答案：(1)解：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −a ⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ； (2)证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ， ∴a ⃗ ·c ⃗ =0，a ⃗ ·b ⃗ =0， ∵AB 1⊥BC 1，∴(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，∴|a ⃗ |2−|b ⃗ |2+a ⃗ ·c ⃗ +b ⃗ ·c ⃗ =|a ⃗ |2−|b ⃗ |2+b ⃗ ·c ⃗ =0，∵A 1C ⊥BC 1，∴(c ⃗ −a ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，∴|c ⃗ |2−|a ⃗ |2−b ⃗ ·c ⃗ =0， ∴|b ⃗ |2=|c ⃗ |2，∴|b ⃗ |=|c ⃗ |，即AB 1=A 1C .解析：本题考查向量线性运算、向量数量积、向量的模，属于基础题． (1)由向量加减法可得BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ ； (2)由题意得(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，且(c ⃗ −a ⃗ )·(a ⃗ +c ⃗ −b ⃗ )=0，化简得 |b ⃗ |2=|c ⃗ |2，即可得AB 1=A 1C .16.答案：解：∵向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(−7,−6)，∴a ⃗ +b ⃗ =(−6,−8)，与之同向的单位向量为c 0⃗⃗⃗ =(−35,−45)， 故：c ⃗ =20c 0⃗⃗⃗ =(−12,−16)．解析：本题主要考查了向量的模以及向量同向共线的概念，平面向量的坐标运算，属于基础题． 先求出与a ⃗ +b ⃗ 同向的单位向量为c 0⃗⃗⃗ =(−35,−45)，再由c ⃗ =20c 0⃗⃗⃗ 可得结论．17.答案：解：由题意可得：b ⃗ =2a ⃗ −(2,2)=2(−6,8)−(2,2)=(−12,16)−(2,2)=(−14,14)， 那么|b ⃗ |=√(−14)2+142=14√2，综上所述，结论为：b ⃗ =(−14,14)，|b ⃗ |=14√2．解析：本题主要考查平面向量的坐标运算，以及向量的模，属于基础题． 直接利用平面向量的坐标运算可的结论．18.答案：证明：(1)建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，设| DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ，则A(0,1)， P(√22λ, √22λ),E(1, √22λ),F(√22λ,0)， ∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22λ,1− √22λ), EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( √22λ−1,− √22λ)， | PA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(−√22λ)2+(1−√22λ)2=λ2− √2λ+1 ， | EF |2=( √22λ−1)2+(− √22λ)2=λ2− √2λ+1，∴| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=| EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，故PA =EF ； (2)由(1)可得： PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(− √22λ)( √22λ−1)+(1− √22 λ)(− √22λ)=0， ∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⊥EF ．解析：略19.答案：解：(1)A 2A 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 1C 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 2C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；(2)A 1C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 2C 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 2A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 3A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 3A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (3)A 3A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 3C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗解析：本题考查向量相等、平行、相反的概念，属于基础题， (1)根据向量相等的概念求解即可； (2)根据向量平行的概念求解即可； (3)根据向量相反的概念求解即可．20.答案：解：∵点D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的中点，∴AB//EF ，AC//DE ，BC//DF ，∴与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量有BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 。

第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。