高考数学平面向量题的七种解法
玉林高中 刘飞
一、基底法
例1．(2013·江苏) 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC.若DE →＝λ1AB →
＋
λ2AC →
(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
【答案】1
2
[解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →
)＋12AB →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－23AB →＋23AC →，
又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →
不共线，所以λ1＝12－23，λ2＝23
，
即λ1＋λ2＝1
2.
例2．(2013·天津) 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →
＝1，则AB 的长为________．
【答案】1
2
[解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →
＋
AB →)⎝
⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解得|AB →
|＝12或0(舍去)．
例 3.（2007•天津）如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，
2DC BD =，则AD
BC =· ．
法一：选定基向量
，
，由图及题意得
，
=
∴=（
）（
）
=
+
=
=
A
B
D
C
法二：由题意可得
∴，
∵，
∴=．
故答案为：﹣．
二、坐标法
例4．（2013•重庆）在平面上，，=1，．若||＜，则||的取值范围是（）
A．
（0，]B．
（，]
C．
（，]
D．
（，]
解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形A，B1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），
由=1，得，则
∵||＜，∴
∴
∴
∵（x﹣a）2+y2=1，∴x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，∴y2≤1
同理x2≤1
∴x2+y2≤2②
由①②知，
∵||=，∴＜||≤
故选D．
例5．（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）
A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．A B=AC D．A C=BC
解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P （x，0）
则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）
∴=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）
∵恒有
∴（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立
整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立
∴△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0
即△=a2≤0
∴a=0，即C在AB的垂直平分线上
∴AC=BC
故△ABC为等腰三角形
故选D
本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力
三、模方法
例6．△ABC内接于以O为圆心的圆，且．则∠C=135°，cosA=．
解：∵
∴
∴=
∵A，B，C在圆上
设OA=OB=OC=1
∴
根据
得出A ，B ，C 三点在圆心的同一侧
∴根据圆周角定理知∠C=180°﹣90°=135°
同理求出
=，
cos ∠BOC=
∵∠A 是∠BOC 的一半 ∴
故答案为：135°； 例7．（2013•浙江）设、
为单位向量，非零向量=x
+y
，x 、y ∈R ．若
、
的夹角为
30°，则的最大值等于 2 ． 解：∵
、
为单位向量，和
的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=
．
∵非零向量=x +y
，∴||==
=
，
∴
=
=
=
=
， 故当=﹣时，取得最大值为2，
故答案为 2．
四、数量积法
例8．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o
. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________. [解析]设AOC α∠=
,,
OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧•=•+•⎪⎨•=•+•⎪⎩，即
01cos 2
1cos(120)2
x y x y
αα⎧
=-⎪⎪⎨
⎪-=-+⎪⎩ ∴0
2[cos cos(120)]cos 3sin 2sin()26
x y π
ααααα+=+-=+=+≤
例9．在△ABC 中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，
，若
