北门中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学(理)试题

一、单选题1．经过点，且斜率为的直线方程是（ ） (1,2)2A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A2．已知空间向量，，，若，则（ ） (2,3,4)a =- (4,,)b m n =- ,R m n ∈a b ∥m n -=A ．2B ．C ．14D ．2-14-【答案】C【分析】，得到，解得答案.b a λ=(4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-【详解】，则，即， a b ∥b a λ= (4,,)(2,3,4)(2,3,4)m n λλλλ-=-=-解得，，，. 2λ=-6m =8n =-14m n -=故选：C3．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的左顶点，则椭圆方程22221(0)x y a b a b +=>>352100x y ++=为（ ）A ．B ．22154x y +=221259x y +=C ．D ．221169x y +=2212516x y +=【答案】D【解析】直线过椭圆的左顶点,则椭圆的左顶点为,所以椭圆中，由离心率2100x y ++=(5,0)-5a =为，则，可求出椭圆的，从而可得椭圆的方程. 353c =b 【详解】直线与轴的交点为,2100x y ++=x (5,0)-直线过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为.2100x y ++=(5,0)-所以椭圆中，由椭圆的离心率为，则.5a =353c =则，所以椭圆的方程为：.4b =2212516x y +=故答案为：D【点睛】本题考椭圆的简单几何性质，根据离心率求，属于基础题.,,a b c 4．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）ABC AD BC E AD EB =A ．B ．C ．D ．3144AB AC -1344AB AC -1344AB AC +1142AB AC +【答案】A【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线， AD BC 所以，1()2AD AB AC =+因为为的中点，E AD 所以可得， 111131()()224244EB ED DB AD CB AB AC AB AC AB AC =+=+=++-=- 故选：A5．设，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） (2,1)A -(4,1)B AB A ． B ． C ． D ．22(3)4x y -+=22(3)2x y -+=22(3)2x y ++=22(3)8x y ++=【答案】B【分析】由题知圆心为. ()3,0【详解】解：由题知线段中点为，AB ()3,0=所以，以线段为直径的圆的圆心为 AB ()3,022(3)2x y -+=故选：B6．设双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线上一2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F P C点，且．若的面积为的周长为（ ）1260F PF ∠=12F PF △12F PF △A ．BCD ．+2+【答案】A【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得1216PF PF ⋅= 22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，由离心率可求出，同理结合12122cos PF PF F PF -⋅∠,,a b c ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅代入余弦定理可求，进而得解. 12PF PF +【详解】由题可知，求得， 1212121sin 2F PF S PF PF F PF =⋅⋅∠=△1260F PF ∠= 1216PF PF ⋅=对由余弦定理可得12F PF △22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=-+⋅，即，12122cos PF PF F PF -⋅∠()()221212122222cos c a PF PF PF PF F PF =+⋅-⋅∠即，因为，解得， 2416,2b b ==2222243c a e a a+===222,6a c ==又，22221212121212122cos (||||)2F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF =+-⋅∠=+-⋅12122cos PF PF F PF -⋅∠即，解得， ()2212121212422cos c PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠12PF PF +=122F F c ==所以的周长为. 12F PF △1212PF PF F F ++=故选：A7．如图所示，在平行六面体中，，，，，ABCD A B C D -''''1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=，则的长为（ ）60BAA DAA ∠'=∠=' C A 'A ．5BCD 【答案】B【分析】由向量 得：，展开化简，再利用向量的数AC AB AD AA =+'+'()()22AC AB AD AA =+'+' 量积，便可得出答案.【详解】解：，AC AB BC CC AB AD AA '=++='+'+，()()()()()222222()AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''∴=++=+++⋅+⋅'⋅'+ ∵，，，， 1AB =2AD =3AA '=90BAD ∠=60BAA DAA ∠'=∠=' . ()222291232(013cos 6023cos 60)142232AC ︒︒∴=+++⨯+⨯+⨯=+='⨯，即 AC ='∴AC '故选：B.8．过直线上一点作圆的切线，切点为．则四边形的43100x y ++=P 22:20C x y x +-=,A B PACB 面积的最小值为（ ）A B C D ．【答案】C【分析】由切线性质可得，由勾股定理表示出，进而得解.122PACB S PA AC =⋅⋅PA 【详解】如图，由切线性质可知，，所以，圆的,,PA AC PB BC PAC PBC ⊥⊥△≌△122PACB S PA AC =⋅⋅标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，()2211x y -+=()1,0C 1r =C 4101455d +==最小，需使，故122PACB S PA AC =⋅⋅min PC d =()min122PACB S r =⋅=故选：C二、多选题9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若为上一点，且，则22:18y C x -=1F 2F P C 17PF =（ ）A ．的虚轴长为2B ．的值可能为5C 2PF C ．的离心率为3D ．的值可能为9C 2PF 【答案】BCD【分析】由双曲线标准式确定，可判断A ，C 是否正确，由双曲线第一定义可判断B ，D 正,,a b c 确性.【详解】由的标准式可确定：22:18y C x -=， 22231,8,9,1,3,231c a b c a b c b e a ==========故C 正确，A 错误；由双曲线第一定义可知，，解得或9，，，所以122PF PF -=17PF =25PF =2c a -=52,92≥≥BD 正确. 故选：BCD10．如图，为正方体，下面结论正确的是（ ）1111ABCD A B C D-A ．平面BD ∥11AB D B ．与平面AC 11AB D C ．平面1AC ⊥11CB D D ．异面直线与所成的角为 BD 1CB 60 【答案】ACD【分析】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可逐个证明.【详解】以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，为正方体，设边长为1，1111ABCD A B C D -则，，，，，，，， ()0,0,0D ()1,0,0A ()1,1,0B ()0,1,0C ()10,0,1D ()11,0,1A ()11,1,1B ()10,1,1C 对A ，， ，又∵平面，∵平面，∴()111,1,0BD B D ==--11BD B D ∥BD ⊄11AB D 11B D ⊂11AB D BD ∥平面，A 对；11AB D 对B ，，，，由得为平面()11,1,1AC =-- ()11,0,1AD =- ()10,1,1AB = 11110A C AD A C AB ⋅=⋅=1AC 的法向量，11AB D ，故与平面所成的角的正弦值为B 错； ()1,1,0AC =- AC 11ABD 11A C AC A C AC⋅==⋅对C ，由B 得，同理可证为平面的法向量，故平面，C 对；1AC u u u r11CB D 1AC ⊥11CB D对D ，，，∴异面直线与所成的角的余弦值为()1,1,0BD =-- ()11,0,1CB =BD 1CB ，故所成角为，D 对.1260 故选：ACD11．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则（ ）22195x y +=F (0y m m =<<A B A ．为定值 B ．的周长的取值范围是 AF BF +ABF △()6,12C ．当为直角三角形 D ．当时，m =ABF △1m =ABF △【答案】AB【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A ；由为定值以及的范围判断||||AF BF +||AB B ；求出坐标，由数量积公式得出，得出为钝角三角形判断C ；求出坐,A B ·0FA FB <ABF △,A B 标，由面积公式得出的面积判断D.ABF △【详解】解：设椭圆的左焦点为，连接，由椭圆的对称性得， 1F 1AF 1AF BF =所以为定值，A 正确；16AF BF AF AF +=+=的周长为，因为为定值6，ABF △||||||AB AF BF ++||||AF BF +所以的范围是，所以的周长的范围是，B 正确； ||AB (0,6)ABF△(6,12)将，，又因为， y=A ⎛ ⎝B(2,0)F 所以，，即为钝角，23(2)02FA FB ⋅=+=-<AFB ∠所以为钝角三角形，C 错误；ABF △将与椭圆方程联立，解得，所以D 错误. 1y =,A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭112ABF S == 故选：AB【点睛】12．在四棱锥中，底面S ABCD -ABCD是边长为2的正方形，底面，，，交于点，是棱上的动点，SA ⊥ABCD SA AB =AC BD O M SD 则（ ）A ．存在点，使平面 M //OM SBCB ．三棱锥体积的最大值为S ACM -23C ．点到平面的距离与点到平面的距离之和为定值2 M ABCD M SAB D ．存在点，使直线与所成的角为 M OM AB 60 【答案】ACD【分析】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，利用向量法判断A AB AD AS ，，,,x y z CD ，根据底面积不变，高最大时，锥体体积最大，判断B 选项.根据线面平行的判定定理判断A. 【详解】解：根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角A AB AD AS ，，,,x y z 坐标系，如图，则, (0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0)A C B D S O 由是棱上的动点，设，M SD (0,,2),(02)M λλλ-≤≤,其中为到平面的距离，13S ACM SAC V S h -=⨯ h M SAC 因为底面为正方形，故, ABCD OD AC ⊥又底面底面 SA ⊥,ABCD OD ⊂,ABCD 所以,SA OD ⊥又,平面， SA AC A ⋂=,SA AC ⊂SAC 所以底面,OD ⊥SAC 所以当与D 重合时，三棱锥体积的最大且为，故B 错M S ACM-1142323S ACM V -=⨯⨯⨯=误；当为中点时，是的中位线，所以，又平面，M SD OM SBD //OM SB OM ⊄SBC 平面，所以平面，故A 正确；SB ⊂SBC //OM SBC 点到平面的距离， M ABCD 12d λ=-点到平面的距离,M SAB 2|||(0,,2)(0,2,0)|2||AM AD λλd λAD →→→⋅-⋅===所以，故C 正确.1222d d λλ+=-+=,,(2,0,0)AB →=(1,1,2)OM λλ→=---若存在点，使直线与所成的角为M OM AB 60︒则，化简得，解得1cos 602AB OM AB OM ⋅︒=== 2310λλ-+=λ=所以，当与所成角为，故D 正确； λ=OM AB 60︒故选：ACD三、填空题13．若，，则___________． ()53,2,a =()0,1,4b =- 2a b -=【分析】由向量坐标的线性运算及模运算计算即可.【详解】，故()()()22320,1,42,1,13,,5a b -=-⨯-= a -=14．已知正方形的中心为直线，的交点，正方形一边所在的直线方程为220x y -+=10x y ++=，则它邻边所在的直线方程为___________．350x y +-=【答案】390,330x y x y -+=--=【分析】先求出中心坐标为，再根据邻边所在直线与垂直设方程为，进(1,0)M -1l 34,l l 230x y d -+=而结合点即可求解. (1,0)M -【详解】解：，解得，22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩10x y =-⎧⎨=⎩∴中心坐标为，(1,0)M -点M 到直线的距离1:350l x y +-=d设与垂直两线分别为，则点， 1l 34l l 、(1,0)M -设方程为34,l l 230x y d -+=或 ， 23d =-9∴它邻边所在的直线方程为． 390,330x y x y -+=--=故答案为：390,330x y x y -+=--=15．已知圆，直线的距离等于1，则22x y a +=:=l y x l =a ___________． 【答案】4【分析】由圆心到直线距离可确定，进而得解. 2rd =【详解】圆的圆心为，则. 22x y a +=()0,0,r =2r d ==4a =故答案为：416．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是1111ABCD A B C D -P 1BD DC AP ⋅___________． 【答案】[]0,4【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出1BP BD λ=⋅ DC AP ⋅λ的取值范围．DC AP ⋅【详解】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立DAx DC y 1DD z 空间直角坐标系．则，，，，．()0,0,0D ()0,2,0C ()2,0,0A ()2,2,0B ()10,0,2D ，，．∴()0,2,0DC = ()12,2,2BD =-- ()0,2,0AB =点在线段上运动，P 1BD ，且． ∴()12,2,2BP BD λλλλ=⋅=--01λ……，∴()2,22,2AP AB BP λλλ=+=--，∴44DC AP λ⋅=-∵，∴，即， 01λ……0444λ≤-≤[]0,4DC AP ⋅∈故答案为：．[]0,4四、解答题17．已知的三个顶点分别为，，．ABC ()2,4A ()1,1B ()7,3C(1)求边的垂直平分线的方程； BC (2)求的面积． ABC 【答案】(1) 3140x y +-=(2) 8【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方13BC k =BC ()4,2BC 3k =-程.（2）计算到直线的距离为，得到面积. BC =A BC d =【详解】（1），故边的垂直平分线的斜率，的中点为， 311713BC k -==-BC 3k =-BC ()4,2故垂直平分线为，即. ()342y x =--+3140x y +-=（2=所在的方程为，即， BC ()1113y x =-+320x y -+=到直线的距离为. A BC d 11822S BC d =⋅=⨯=18．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)以直线为渐近线，焦点是，的双曲线； y =()3,0-()3,0(2)离心率为，短轴长为6的椭圆． 45【答案】(1)22136x y -=(2)或221259x y +=221259y x +=【分析】（1）由题意设双曲线方程为(，)，根据焦点坐标和双曲线的渐近线方22221x y a b-=0a >0b >程求出，即可；a b （2）分椭圆的焦点在轴时和轴时讨论求解即可.x y 【详解】（1）解：由题意设双曲线方程为，由焦点坐标可知，22221(0,0)x y a b a b-=>>3c =双曲线的渐近线方程为，可得 y =ba=又，解得222+=a b c a =b =所以双曲线的方程为.22136x y -=（2）解：当焦点在轴时，设椭圆方程为，x 22221x y a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259x y +=当焦点在轴时，设椭圆方程为，y 22221y x a b +=(0)a b >>由题可得，解得，，2224526c a b a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩5a =3b =所以椭圆方程为；221259y x +=所以，所求椭圆方程为或.221259x y +=221259y x +=19．如图，在正方体中，为的中点．1111ABCD A B C D -E 1BB(1)求证：平面； 1BC ⊥1ACD (2)求直线与平面所成角的余弦值． 1D C 1AD E 【答案】(1)证明见详解【分析】（1）要证平面，可证，结合正方体性质即可求证；1BC ⊥1ACD 111BC A DBC CD⊥⎧⎨⊥⎩（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z系，求出和平面的法向量，由向量的夹角公式求出与平面所成角的正弦值，结1D C1AD E 1D C 1AD E 合同角三角函数即可求解.【详解】（1）连接，因为几何体为正方体，所以，四边形为平行四边形，11,A D AC 11//D C AB 11ABC D 所以，因为，所以，11//BC AD 11AD DA ⊥11BC A D ⊥又平面，平面，所以平面，11,,,CD BC CD CC BC CC C BC ⊥⊥=⊂ 11BCC B 1CC ⊂11BCC B CD ⊥11BCC B 又平面，所以，1BC ⊂11BCC B 1BC CD ⊥平面，平面，所以平面； 1,CD A D D CD =⊂ 1ACD 1A D ⊂1ACD 1BC ⊥1ACD（2）以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标AD x AB y 1AA z 系，不妨设正方体边长为1，则，，()()()110,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,2A C D E ⎛⎫⎪⎝⎭()10,1,1D C =-，设平面的法向量为，则，即，设()111,0,1,0,1,2AD AE ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 1AD E (),,n x y z = 100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x z y z +=⎧⎨+=⎩，则，，2x =1,2y z ==-()2,1,2n =-设直线与平面所成角为，则，所以1D C 1AD Eθ1sin cos D C θ==π4θ=cos θ=，故直线与平面. 1D C 1AD E20．已知圆的方程为．C 221x y +=(1)求过点且与圆相切的直线的方程；()1,2P C l (2)直线过点，且与圆交于两点，当是等腰直角三角形时，求直线的方程． m (1,2)P C ,A B AOB m 【答案】(1)或 1x =3450x y -+=(2)或 10x y -+=750x y --=【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出，进而得解；k （2，进而得解. 【详解】（1）当直线斜率不存在时，显然与相切； 1x =221x y +=当直线斜率存在时，可设，由几何关系可得，解得，故():12l y k x =-+1d r =34k =，即，故过点且与圆相切的直线的方程为或()3:124l y x =-+3450x y -+=()1,2P C l 1x =；3450xy -+=（2）设，可设中点为，因为是等腰直角三角形，所以，即()1:12my k x =-+ABD AOBOD =圆心到直线距离，解得或7，故直线或，即d =11k =():12m y x =-+()712y x =-+或.10x y-+=750x y --=21．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点、分别ABCD ABEF M N 在正方形对角线和上移动，且．AC BF (0CM BN a a ==<<(1)求证与平面平行； MN BCE(2)当的余弦值． a =A MNB --【答案】(1)证明见详解(2)13-【分析】（1）采用建系法，表示出坐标，要证与平面平行，即证平面的,M N MN BCE MN ⊥BCE 法向量；（2）分别求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.AMN MNB 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，所以ABCD ⊥ABEF ABCD ABEF AB =BE AB ⊥平面，，所以平面，显然三垂直，以方向为轴正BE ⊥ABCD BC AB ⊥BC ⊥ABEF ,,BA BE BC BA x 方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，BE y BC z B AEC -，因为，所以，，()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0A C B F (0CM BN a a ==<<CM = BN设，，，由，得()()111222,,,,,M x y z N x y z ()111,,1CM x y z =- ()1,0,1=- CA CM = M，，，由得，，可设平面()222,,BN x y z = ()1,1,0= BF BN = N ⎫⎪⎭1MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 的法向量为，，所以与平面平行；BCE ()1,0,0n =r 0MN n ⋅=MN BCE（2）当，，，a =1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,0,0A ()0,0,0B 1111,0,,,,02222AM AN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，， 1111,0,,,,02222BM BN ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量为，则，即，可设，故，设AMN ()1,,n x y z = 1100n AM n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y z ==1x =()11,1,1n = 平面的法向量为，则，即，令，则，故MNB ()2333,,n x y z = 2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 333300x z x y +=⎧⎨+=⎩31x =331y z ==-，设二面角的平面角为，则， ()21,1,1n =-- A MN B --θ121cos cos ,3n n θ==- 故二面角的余弦值为.A MNB --13-22．已知椭圆的离心率为，且经过点．2222:1(0)xy C a b a b+=>>1231,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于y kx m =+C M N 、O OM ON 、34-，试探求的面积是否为定值，并说明理由．OMN 【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）将代入标准方程得关系，由离心率得关系，结合即可求31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭,a b ,a c 222a b c =+解；（2）设，联立直线与椭圆方程，由斜率之积等于求出与关系，由弦长()()1122,,,M x y N x y 34-k m 公式求出，由点到直线距离公式求出的高，结合三角形面积公式化简即可求解. MN OMN 【详解】（1）因为椭圆过，故，又，，联立解得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭221914a b +=22214c e a ==222a b c =+，所以椭圆的方程为； 2221,3,4c b a ===C 22143x y +=（2）设，联立得，()()1122,,,M x y N x y 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2224384120k x kmx m +++-=，()()()()2222284341248430km k m k m ∆=-+-=+->， ()12221228434343km x x k m x x k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩()2212121212121212OM ON k x x km x x my y kx m kx m k k x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅= ()()()()()22222222222222438438434343434343m km k km m k m k m m k k k m m k --⎛⎫⋅+⋅+ ⎪--++++⎝⎭==--+，即，()()222343443m k m -==--22243m k =+d =12OMN S MN d =⋅==△所以的面积为定值.OMN。

2012-2013学年北京某校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 直线3x+√3y+1=0的倾斜角是( )A.30∘B.60∘C.120∘D.135∘2. 下列命题中，错误的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必与另一个平面相交D.一条直线与两个平行平面所成的角相等3. 若直线2x+3y+8=0，x−y−1=0和x+ky=0相交于一点，则k=()A.−12B.12C.−2D.24. 已知各面均为等边三角形的三棱锥的棱长为2，则它的表面积是（）A.√3B.2√3C.4√3D.8√35. 已知点A(a, 2)(a>0)到直线l:x−y+3=0的距离为√2，则a=()A.1B.2C.3D.46. 直线kx−y+1=3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为()A.(0, 0)B.(0, 1)C.(3, 1)D.(2, 1)7. 半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（）A.2√2RB.4π3R3 C.89√3R3 D.19√3R38. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（）A.15π B.18π C.22π D.33π9. “m=−2”是“直线(m+1)x+y−2=0与直线mx+(2m+2)y+1=0相互垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α // β⇒l⊥m，②α⊥β⇒l // m③l // m⇒α⊥β④l⊥m⇒α // β正确的命题是（）A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③二、填空题（每小题4分，共24分）已知a，b是两条异面直线，直线c // a，那么c与b的位置关系是________．以原点O向直线l作垂线，垂足为点H(−2, 1)，则直线l的方程为________．已知圆C的方程为x2+y2−2y−3=0，则圆心坐标为________．直线l1:x+my+6=0与直线l2：(m−2)x+3y+2m=0互相平行，则m的值为________．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角（3）求三棱锥D−D1OC的体积．形．过点P(2, 0)与圆x2+y2+2y−3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是________．三、解答题（共36分）已知经过直线l1:3x+4y−5=0与直线l2:2x−3y+8=0的交点M，（1）过原点和点M的直线方程；（2）过点M且与直线2x+y+5=0平行的直线方程；（3）过点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程．（注意：求出的直线方程要化成一般式）已知圆C的圆心在直线x−y=0上，且过定点A(√5, 2√5)，B(−3, −4)．（1）求圆C的方程；（2）求斜率为2且与圆C相切的直线的方程．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB1的中点．（1）求证：直线B1D // 平面AEC；（2）求证：B1D⊥平面D1AC；参考答案与试题解析2012-2013学年北京某校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共40分） 1.【答案】 C【考点】 直线的倾斜角 【解析】将直线方程化为斜截式，得到直线的斜率后求其倾斜角． 【解答】解：将直线方程化为：y =−√3x −√33， 可得，直线的斜率为−√3， 所以倾斜角为120∘， 故选C . 2.【答案】 A【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系 空间中平面与平面之间的位置关系【解析】平行于同一直线的两个平面平行或相交；由平面平行的判定定理知B 正确；由平面平行的性质定理知C 正确；由平面平行的性质定理知D 正确． 【解答】解：平行于同一直线的两个平面平行或相交，故A 不正确；由平面平行的判定定理知：平行于同一平面的两个平面平行，故B 正确； 由平面平行的性质定理知：一条直线与两个平行平面中的一个相交， 那么这条直线必与另一个平面相交，故C 正确；由平面平行的性质定理知：一条直线与两个平行平面所成的角相等，故D 正确． 故选A ． 3.【答案】 A【考点】两条直线的交点坐标 【解析】先由{2x +3y +8=0x −y −1=0求出直线2x +3y +8=0和x −y −1=0的交点为(−1, −2)．再由三条直线2x +3y +8=0，x −y −1=0和x +ky =0相交于一点，知(−1, −2)在直线x +ky =0上，由此能求出k 的值．【解答】解：由{2x +3y +8=0x −y −1=0解得x =−1，y =−2，∴ 直线2x +3y +8=0和x −y −1=0的交点为(−1, −2)．∵ 三条直线2x +3y +8=0，x −y −1=0和x +ky =0相交于一点， ∴ (−1, −2)在直线x +ky =0上， ∴ −1−2k =0， 解得k =−12． 故选A ． 4.【答案】 C【考点】柱体、锥体、台体的面积求解 【解析】由题意知，三棱锥的各个面都是边长为2的等边三角形，求出一个面的面积，乘以4可得它的表面积． 【解答】解：∵ 三棱锥的棱长为2，各面均为等边三角形，三棱锥的一个侧面的面积为12×2×2×√32=√3，故它的表面积为4√3， 故选C ． 5.【答案】 A【考点】点到直线的距离公式 【解析】直接利用点到直线的距离公式，求解即可． 【解答】解：点A(a, 2)(a >0)到直线l:x −y +3=0的距离为√2， 所以√2=√2，即|a +1|=2，因为a >0，所以a =1．故选A ． 6. 【答案】 C【考点】 直线恒过定点 【解析】将直线的方程变形为k(x −3)＝y −1 对于任何k ∈R 都成立，从而有 {x −3=0y −1=0 ，解出定点的坐标．【解答】解：由kx −y +1=3k ，得k(x −3)=y −1，对于任何k∈R都成立，则{x−3=0，y−1=0，解得x=3，y=1，故选C.7.【答案】C【考点】球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】根据半径为R的球内接一个正方体，根据正方体的对角线过原点，可以求出正方体的棱长，从而根据体积公式求解；【解答】解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：2+a2+a2=2R，可得a=3，∴正方体的体积为a3=(√3)3=8√3R39，故选C；8.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】该几何体是一个组合体，上部是半球，下部是到放的圆锥，依据所给数据求解即可．【解答】解；该几何体是一个组合体，上部是半球，半径是3，下部是到放的圆锥，半径是3，高是（4）该几何体的表面积：S＝S上+S下=2π32+12×6π×5=33π．9.【答案】A【考点】两条直线垂直的判定【解析】先求两条直线有斜率垂直时m的值，再求一条直线斜率不存在时m的值，判断充要条件即可．【解答】解：因为直线(m+1)x+y−2=0与直线mx+(2m+2)y+1=0相互垂直，所以斜率相乘等于−1，可得m=−2，当直线mx+(2m+2)y+1=0没有斜率时，m=−1也符合．故选A．10.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．【解答】解：∵l⊥α，α // β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l // β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l // m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即③正确．∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故④错误；故选D二、填空题（每小题4分，共24分）【答案】相交或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c // a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．【解答】解：∵a，b是两条异面直线，直线c // a∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：若c // b则由c // a可得到a // b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．故答案为：相交或异面．【答案】2x−y+5=0【考点】直线的一般式方程【解析】先求出垂线的斜率，即可得到直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：垂线的斜率为1−0−2−0=−12，则直线l的斜率为2，又直线经过点H(−2, 1)，由点斜式得y−1=2(x+2 )，即2x−y+5=0，故答案为：2x−y+5=0．【答案】(0, 1)【考点】圆的标准方程【解析】将题中的圆化成标准方程，得x2+(y−1)2=4，由此即可得到圆心的坐标．【解答】解：将圆C:x2+y2−2y−3=0化成标准方程，得x2+(y−1)2=4∴圆C表示以(0, 1)为圆心，半径r=2的圆．故答案为：(0, 1)【答案】−1【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系两条直线平行的判定【解析】利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．【解答】解：由于直线l1:x+my+6=0与直线l2：(m−2)x+3y+2m=0互相平行，∴1m−2=m3≠62m，∴m=−1.故答案为：−1．【答案】4【考点】棱锥的结构特征【解析】本题利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC⊥平面PAC问题就迎刃而解了．【解答】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：4【答案】x−2y−2=0【考点】直线和圆的方程的应用直线的一般式方程直线系方程【解析】由题设条件知，此直线一定过圆心，故可以先求出圆心坐标，然后再用两点式写出所求直线的方程．【解答】解：圆x2+y2+2y−3=0可以变为x2+(y+1)2=4，故其圆心为(0, −1)过点P(2, 0)与圆x2+y2+2y−3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线一定过圆心故直线方程是y−0−1−0=x−20−2整理得：x+2y−2=0故应填x+2y−2=0三、解答题（共36分）【答案】解：：（1）联立两条直线的方程可得：{3x+4y−5=02x−3y+8=0解得x=−1，y=2，所以l1与l2交点M坐标是(−1, 2)．所以过原点和点M的直线方程：2x+y=0．（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0因为直线l过l1与l2交点M(−1, 2)所以c=0所以直线l的方程为2x+y=0．（3）与直线2x+y+5=0垂直的直线斜率为：12，∴点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．【考点】两条直线的交点坐标直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】（1）求出两条直线的交点坐标，直接求解过原点和点M的直线方程；（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0，把点M代入即可求出与直线2x+y+5=0平行的直线方程；（3）然后利用直线与直线2x+y+5=0垂直，根据斜率乘积为−1，得到所求直线的斜率，写出过点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程即可．【解答】解：：（1）联立两条直线的方程可得：{3x+4y−5=02x−3y+8=0解得x=−1，y=2，所以l1与l2交点M坐标是(−1, 2)．所以过原点和点M的直线方程：2x+y=0．（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0因为直线l过l1与l2交点M(−1, 2)所以c=0所以直线l的方程为2x+y=0．（3）与直线2x+y+5=0垂直的直线斜率为：12，∴点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．【答案】解：（1）∵圆C的圆心在直线x−y=0上，∴设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2又∵A(√5, 2√5)，B(−3, −4)在圆C上∴{(√5−a)2+(2√5−a)2=r2(−3−a)2+(−4−a)2=r2，解之得a=0，r2=25由此可得圆C的方程为x2+y2=25；（2）设斜率为2且与圆C相切的直线为2x−y+m=0，则圆心到直线的距离等于半径r，即d=22=5，解得m=±5√5∴斜率为2且与圆C相切的直线的方程为2x−y±5√5=0．【考点】圆的标准方程圆的切线方程【解析】（1）根据题意，设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2，代入A、B两点的坐标，解得a=0且r2=25，可得圆C的方程；（2）设所求切线的方程为2x−y+m=0，切线到圆心的距离等于半径，由此利用点到直线的距离公式建立关于m等式，解出m的值即可得到所求切线方程．【解答】解：（1）∵圆C的圆心在直线x−y=0上，∴设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2又∵A(√5, 2√5)，B(−3, −4)在圆C上∴{(√5−a)2+(2√5−a)2=r2(−3−a)2+(−4−a)2=r2，解之得a=0，r2=25由此可得圆C的方程为x2+y2=25；（2）设斜率为2且与圆C相切的直线为2x−y+m=0，则圆心到直线的距离等于半径r，即d=22=5，解得m=±5√5∴斜率为2且与圆C相切的直线的方程为2x−y±5√5=0．【答案】解：（1）连接OE，在△B1BD中，∵E为BB1的中点，O为BD的中点，∴OE // B1D又∵B1D⊄平面AEC∴直线B1D // 平面AEC．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴B1B⊥AC．∵BD⊥AC且BB1∩BD=B∴B1D⊥AC∴AC⊥B1D 同理可证B1D⊥AD1∵AC∩AD1=A∴B1D⊥平面D1AC．（3）V D−D1OC=V D1−DOC=13⋅DD1⋅S△DOC=13×2×1=23．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定【解析】（1）利用三角形的中位线性质，线面平行的判定定理．（2）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥面BDB1，从而证明AC⊥B1D，同理可证B1D⊥AD1，进而可证；（3）等体积法求三棱锥的体积，三棱锥D−D1OC与三棱锥D1−DOC的体积相等，D1−DOC的高是D1D的长，面积等于底面正方形面积的14，体积可求．【解答】解：（1）连接OE，在△B1BD中，∵E为BB1的中点，O为BD的中点，∴OE // B1D又∵B1D⊄平面AEC∴直线B1D // 平面AEC．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴B1B⊥AC．∵BD⊥AC且BB1∩BD=B∴B1D⊥AC∴AC⊥B1D同理可证B1D⊥AD1∵AC∩AD1=A∴B1D⊥平面D1AC．（3）V D−D1OC=V D1−DOC=13⋅DD1⋅S△DOC=13×2×1=23．。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四处选项中，只有一项正确．1．椭圆221925x y +=的焦点为12,F F ，AB 是过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长为（ ） （A ）20 （B ） 12 （C ）10 （D ）6 2． “1x >”是“11x<”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若直线ax+by=1与圆x 2 +y 2 =1相交，则点P(a ，b)的位置是（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 以上都有可能4．M(3,0)是圆x 2 +y 2 -8x-2y+10=0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是（ ） A. x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C. x-y-3=0 D. 2x+y-6=05．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为 （ ） A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x6．在ΔABC 中，条件甲：A<B ，条件乙：cos 2A> cos 2B,则甲是乙的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、既非充分又非必要条件 D 、充要条件 7．在坐标平面内，到x 轴，y 轴和直线20x y +-=距离都相等的点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为（ ）A ．253- B ．853+ C ．215- D ．815+ 9．设1F ,2F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左，右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足2PF =21F F ,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A.340x y ±=B. 430x y ±=C. 350x y ±=D. 540x y ±=10．过椭圆的左焦点F 且倾斜角为60°的直线交椭圆于A ，B 两点，若||2||FB AF =，则椭圆的离心率e 为( )A.23 B. 12 C. 2D. 34 二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在题中相应的横线上． 11．如果直线的斜率为k,且11≤<-k ，则直线倾斜角α的取值范围是 . 12．设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数， 则该椭圆的方程是 .13．若直线01=++y x 与圆04222=++++a y x y x 相离，则实数a 的取值范围是 .14. 过点M )2,3(-且被圆2522=+y x 截得弦长为8的直线的方程为 . 15．已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1MF ·20MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 .16．已知B(-5,0)，C(5,0)是△ABC 的两个顶点，且sinB-sinC=53sinA ，则顶点A 的轨迹方程是.17．设有一组圆224*:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题： Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号） 三、解答题（本大题共5小题，共72分）． 18．已知x,y 实数满足x 2+y 2=3(y ≥0)，试求m=y x ++13及b= 2x+y 的取值范围。

桐乡一中2012学年高二上学期期中考试数学理试题 考生注意：1、考试范围：必修2第一章，第二章及用空间向量解立几中有关问题2、总分100分，时间120分钟。

一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分。

1.经过空间任意三点作平面 （ ▲ ）A ．只有一个B ．可作二个C ．可作无数多个D ．只有一个或有无数多个2.下列结论正确的是 （ ▲ ）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线3.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是 （ ▲ ）4.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是 （ ▲ ）A.平面α内的所有直线都与直线a 异面B.平面α内不存在与直线a 平行的直线C.平面α内的直线都与直线a 相交D.平面α内必存在直线与直线a 垂直5.给出三个命题：①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行；②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。

其中真．命题个数是（ ▲） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.已知直线n m 、与平面βα、，给出下列三个命题： ①若n m n m //,//,//则αα ②若m n n m ⊥α⊥α则,,//③若β⊥αβα⊥则,//,m m ④β⊥αβ⊥αm m 则,//,其中真命题的是 （ ▲ ）A ．②③B ．②③④C ．②③④D ．①④7.设四棱锥ABCD P -的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面是平行四边形，则这样的平面α （ ▲ ）A ．不存在B ．有且只有1个C ．恰好有4个D ．有无数多个8.若三棱锥的一条棱长为x ，其余棱长均为1，体积是)(x V ，则函数)(x V 在其定义域上为 （ ▲ ）A.增函数且有最大值B.增函数且没有最大值C.不是增函数且有最大值D.不是增函数且没有最大值9.如图所示，已知正四棱锥ABCD S -侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为 （ ▲ ）A. 090B. 060C. 045D. 03010.如图，动点P 在正方体1AC 的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于,M N ，设=,BP x MN y =，则函数()y f x =的图象大致是 （ ▲ ）二、填空题：本大题共7题，每题3分，共21分。

一中2021-2021学年高二数学上学期期中试题 理〔无答案〕北师大版说明：1.本卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

考试时间是是为120分钟，一共150分。

2.请将第一卷答案需要用2B 铅笔填涂在机答题卡上、第二卷答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡规定的正确位置。

第一卷〔选择题 一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的。

〕{}{},032,20<--=<≤=x x x N x x M 那么=⋂N M ( ) A.{}10<≤x x B.{}10≤≤x x C.{}20<≤x x D.{}20≤≤x x {}n a 是等差数列，且前三项为,32,1,1++-a a a 那么此数列的通项为〔 〕A.52-nB.12+nC.32-nD.12-n012>--y x 表示的平面区域在直线，012=--y x 的〔 〕A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方{}n a 中，首项为1a ，公比为q ，那么以下条件中，使{}n a 一定为递减数列的条件是〔 〕 A.11<q B.1,01<>q aC. 1,010,011><<<>q a q a 或D.1>qd c b a >>,，那么以下不等关系中不一定成立的是〔 〕A. c b b a ->-B. c b d a +>+C. c b c a ->-D. d a c a -<-),2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>那么以下不等式成立的是〔 〕A.Q P R <<B.R Q P <<C.R P Q <<D.Q R P <<7. 在ABC ∆中，内角C B A 、、所对的边分别为c b a ,,，假设bc a b c c b a 3))((=-+++，那么=A ( )A.150°B.120°C.60°D.30°8.{}n a 为等差数列，d 是公差，n S 为前n 项和，877665,,S S S S S S >=<,那么以下说法错误的选项是〔 〕A.0<dB.07=aC.59S S <D.的最大值均为和n S S S 76 ABC ∆中，假设c B A 222sin sin sin <+，那么ABC ∆的形状是〔 〕A.钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D.不能确定5,,=+∈y x R y x 且，那么y x 33+的最小值是〔 〕A.0B.36C.64D.318二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分，把答案填在题中横线上〕 ,33,22,++x x x 的第四项为 。

中原名校2012—2013学年第一学期期中联考高二理科数学试卷(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．下列结论中，错误的是( )A ．,x y 均为正数，则2≥+x y y xB ．a 为正数，则4)a 1)(a 22a (≥++aC ．1lg 2lg x x +≥其中1x >D ．212x 22≥++x2．若数列{}n a 是等比数列，则下列命题正确的个数是()①2{}n a ，2{}n a 是等比数列 ②{lg }n a 是等差数列③1{}n a ，{}n a 是等比数列④{}n ca ，{}n a k ±(0)k ≠是等比数列．A ．4B ．3C ．2D ．13．三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为( ) A ．52B．C ．16D ．44．不等式0162≥---x x x 的解集为( )A ．}32|{≥-≤x x x 或B ．}312|{<<-≤x x x 或C ．}3112|{<<<<-x x x 或D ．}312|{≥<≤-x x x 或5．等差数列n {a }中，前三项依次为x x x 1,65,11+，则101a ＝( ) A ．3150B ．3213C ．24D ．3286．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ，且222,90b a ac c C A =-+-=︒ cos cos A C =则( ) A ．14B ．—14C．4 D．—47．锐角ABC ∆中,,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边,设2B A =,则ba 的取值范围( ) A ．()2,2-B ．()0,2 C．)2D．8．观察下列各式：1=+b a ,322=+b a ，433=+b a ，744=+b a ,1155=+b a ,则1010a b +=( )A ．28B ．76C ．123D ．1999．在ABC ∆中,,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边,S ABC ∆为的面积．若向量),4(222c b a p -+=，)qS =满足q p//,则∠C ＝()A ．3π．B ．6πC ．4πD ．23π10．已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23，则这个三角形的周长是( ) A ．18B ．21C ．24D ．1511．已知函数211()()1x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的*,()3x N f x ∈≥恒成立，则a 的最小值等于( )A ．83-B ．－3 C．3-+D ．－612．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,*11,2(1),()nn s a a n n N n ==+-∈,若32123n s s s s n ++++- 2(1)2013n -=，则n 的值为( )A ．1007B ．1006C ．2012D ．2013第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卷相应位置上．)13．在△ABC中，,16B AC π∠==，AB BC 的长度为____________．14．设,x y 满足约束条件：,0,1,3,x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩则2z x y =-的取值范围为__________．15．已知0,0x y >>，若2282y x m m x y +>+恒成立，则实数m 的取值范围是_______．16．已知函数1()1f x x =-,各项均为正数的数列{}n a 满足2()n n a f a +=,若20112013a a =,则1a =____________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 17．(本小题10分)在ABC ∆中,,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边,已知ABC ∆的面积S 2a b ===，求第三边c 的大小．18．(本小题12分)数列{}n a 对任意*n ∈N ，满足131,2n n a a a +=+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13na nb n⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．(本小题12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，点),(b a 在直线C c B y B A x sin sin )sin (sin =+-上，(1)求角C 的值；(2)若226()180a b a b +-++=，求ABC ∆的面积．21．(本小题12分)设数列{}n a 满足()1212n n a a n -=+≥,且121,log (1).n n a b a ==+(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明:34n S <．22．(本小题12分)设,,,,21n C C C 是坐标平面上的一系列圆，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线xy 33=相切，对每一个正整数n ，圆n C 都与圆1+n C 相互外切，以nr 表示nC 的半径，已知}{n r 为递增数列．(1)证明：}{n r 为等比数列；(2)设11=r ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n rn 的前n 项和．中原名校2012—2013学年第一学期期中联考高二理科数学试题参考答案一、选择题：BCBDD BDCAD AA 二、填空题： 13．1或2； 14．[3,3]-； 15．(4,2)-；16．12三、解答题：17．1sin 2ABC S ab C ∆=12sin 2C =⨯1sin 2C ∴=……4分C π∈ 又（0，）566C ππ∴=或……6分(1)当6C π=时，2=……8分(2)当56C π=时，=10分18．解：(1)由已知得，故数列是等差数列，且公差．……２分又，得，所以．……４分(2)由(１)得，，所以．……6分．……12分19．解：(1)由题得()sin sin sin sin a A B b B c C-+=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得()22a a b b c -+=，即222a b c ab +-=．……3分由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，C π∈ 又（0，） 得3C π=．……6分(2)由226()180a b a b +-++=，得22(3)(3)0a b -+-=， 从而3a b ==．……9分所以ABC ∆的面积211sin 3sin 223S ab C π==⨯⨯=．……12分 20．解：(1)由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：……2分(2)设纯收入与年数n 的关系为f (n ),则：……4分由f (n )＞0得n 2－20n ＋25＜0 解得又因为n,所以n ＝2,3,4,……18．即从第2年该公司开始获利……8分(3)年平均收入为＝20－……10分当且仅当n ＝5时，年平均收益最大．所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大．……12分21．解：(1)证明：因为()1212n n a a n -=+≥，所以()1121(2)n n a a n -+=+≥．所以数列{1}n a +是公比为2的等比数列．……4分(2)因为数列{1}n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列，所以11222n nn a -+=⋅=．所以()2log 1n n b a n =+=……6分所以()211111222n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭．……8分所以1111111111111112322423521122n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭＝3111342124n n -+++（）<……12分22．解：(Ⅰ)θ将直线的倾斜角记为，则有1tan =2θθn n 1,=22nn n n r C r λλλ=设的圆心为（，0），则由题意知得……2分n+1+1n+1n +1+1=2=++=2n n n n r r r r λλλ同理，从而n +1=2=3,||=3n n n n r r r r λ将代入，解得故为公比q 的等比数列……6分(Ⅱ)111n=1q==3=3n n n nr r n r --⋅由于，3，故从而，1212n=+++n nS r r r ⋅⋅⋅记，则有12=1+23+33++n 3n n S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅－－1－……① 12=13+23++(n 1)3+n 33n n ns ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅－－1－－－……②……8分①—②，得1221333=1+3+3++3n 3n 3=()323223n n nn nn s n --⋅⋅⋅⋅=⋅-+⋅－－1－－－－－－19139(23)3=()34224nn n n S n --+⋅∴-+⋅=1－……12分。

玉溪市民族中学2012-2013学年上学期期中考试试卷高 二（理 科）数 学命题人： 陶保福本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共22题，满分150分， 考试用时120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现按分层抽样抽取30人，则高级职称人数、中级职称人数及一般职员人数依次为A ．5,10,15B ．3,9,18C ．3,10,17D ．5,9,16 2．已知双曲线1322=-yx ，则其渐近线方程为A ．x y 2±= B．y = C ．x y 2±= D ．x y 3±=3．用随机数表法从100名学生（其中男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是A ． 1100B ． 125C ． 15D ． 144．若某程序框图如图所示，则输出的p 的值是A ． 21B ．26C ． 30D ．555．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下：且回归方程是 0.95,6,y x a x y =+=则当时的预测值为（第4题图）A ．8.0B ．8.1C ．8.2D ．8.3 6．下列三个命题: （1）“若a b <，则22am bm <”；（2）“若220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题； （3）“面积相等的三角形全等”． 其中正确的命题个数是A ．0B ．1C ．2D ．37．如右图所示，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为A ． 35B ． 65C ． 125D ． 1858．在下面的程序框图中，如果运行的结果为S ＝120，那么判断框中应填入A ．k ≤3？B ．k ≤4？C ．k ≤5？D ．k ≤6？9．若实数y x ,满足1422=+y x ，则x y x u ++=222有A ．最小值1，无最大值B ．最小值0，最大值1C ．最大值89，无最小值 D ．最小值0，最大值8910．已知命题265:x x p ≥-，命题2|1:|>+x q ，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．过双曲线1222=-yx 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝４，则这样的直线l 有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．曲线y ＝1＋4－x 2)2|(|≤x 与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是 A ．]43,125( B ．),125(+∞ C ．)43,31( D ．)125,0(第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知椭圆)0(116222>=+a yax的一个焦点)0,3(F ，则=a ；14．中国跳水队被誉之为“梦之队”，这是我们的骄傲．如下图是2008年北京奥运会的跳水比赛中，七位评委为某位参加比赛的选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，则这位选手的平均得分为 分；15. 从1,2,3,4,5这51的概率是________； 16．命题“(1,2)x ∃∈，使得240x mx ++≥”是假命题，则m 的取值范围是________.三、解答题：本答题共6个小题，共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高二数学（理科）参考公式：球的体积公式34=3V R π球，其中R 表示球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．把所选项前的字母填在题后括号内． 1．抛物线28y x =的焦点坐标为（ ）A ．(20)，B ．(20)-，C ．(02)，D ．(02)-，2.已知直线经过点(04)A ，和点(12)B ，，则直线AB 的斜率为（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．不存在3．过点(12)P -，与直线210x y +-=垂直的直线的方程为（ ）A ．240x y -+=B ．052=+-y xC ．032=-+y xD ． 032=++y x 4．已知命题2:10q x x ∀∈+>R ，，则q ⌝为（ ）A ．210x x ∀∈+≤R ， B ．210x x ∃∈+<R ， C ．210x x ∃∈+≤R ，D ．210x x ∃∈+>R ，5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 是（ ）6．棱长为2的正方体的外接球的体积为（ ）A ．12B．3 C ．2+D ．6左视图俯视图A ．8B ．8π C．D7．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2AB =，11AD AA ==，则直线1BD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）8．已知αβ，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．过点(11)，的直线l 与圆224x y +=交于A B ，两点，若|AB l 的方程为（ ） A ．+2=0x y -B ．2+1=0x y -C ．21=0x y --D ．1=0x y --10.设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则此双曲线的离心率为 （ ）11. 已知抛物线C ：2=4y x 的焦点为F ，直线=24y x -与C 交于A ，B 两点，则A ．B ．C．3D ．12ABC ．32D ．52ABCD1A1B1C1Dcos =AFB ∠（ ）A ．45B ．35C ．35-D ．45-12．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同，且12a a >，则下面结论正确的是（ ）① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点 ②22212221b b a a -=- ③1122a b a b >④1212a a b b -<- A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③ 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上． 13．命题“a b ∀∈R ，，如果a b >，则33a b >”的逆命题是___________________________． 14．椭圆22192x y +=的焦点为12F F ，，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________；12F PF ∠的小大为__________．15．圆222210x y x y +--+=上动点Q 到直线3480x y ++=距离的最小值为_______． 16．如图，正方体1111ABCDA B C D 中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点．已知下列判断：①1AC 平面1B EF ；②1B EF 在侧面11BCC B上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关．其中正确结论的序号为_____________（写出所有正确结论的序号）.三、解答题：本大题共6个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A BCD FE 1A1B1C1D17．(本小题满分6分)已知直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程.18．(本小题满分6分)已知直线1:20l x y +=，直线2:20l x y +-=和直线3:3450l x y ++=． （Ⅰ）求直线1l 和直线2l 交点C 的坐标；（Ⅱ）求以C 点为圆心，且与直线3l 相切的圆C 的标准方程．19．(本小题满分6分)如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE.20．(本小题满分8分) A BC DOEP如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，1PA AB ==，PB PD ==E 在PD 上，且:2:1PE ED =.（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面ACE .21．(本小题满分7分)CDPAEB已知平面内一点P 与两个定点1(0)F 和20)F 的距离的差的绝对值为2． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）设过(02)-，的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），求直线l 的方程．22．(本小题满分7分)已知椭圆的两个焦点1F (0)，2F 0)，过1F 且与坐标轴不平行的直线m 与椭圆相交于M ，N 两点，如果2MNF ∆的周长等于8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点(10)，的直线l 与椭圆交于不同两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (0)m ，，使PE QE ⋅恒为定值？若存在，求出E 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高二数学（理科） 参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.（一题两空的题目第一问1分，第二问2分.第16题答对一个给1分，但有多答或答错不给分.）三、解答题：本大题共6个小题，共40分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分6分)解：直线3470x y +-=的斜率为34-. 因为直线l 与直线3470x y +-=的倾斜角相等，所以3=4l k -. ……………1分 设直线l 的方程为3=+4y x b -，令=0y ，则4=3x b . ……………2分因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，所以14=||||=2423S b b ⋅，所以=6b ±. ……………4分所以直线l 的方程为3=64y x -±，即3+4+24=0x y 或3+424=0x y -． ……………6分18．(本小题满分6分)解：（Ⅰ）由2020x y x y +=⎧⎨+-=⎩，，得24x y =-⎧⎨=⎩，，所以直线1l 和直线2l 交点C 的坐标为()24-，． ……………2分 （Ⅱ）因为圆C 与直线3l 相切， 所以圆的半径351543516622==+++-=r ， ……………4分 所以圆C 的标准方程为()()94222=-++y x ． ……………6分19．(本小题满分6分) 证明：（Ⅰ）连结OE ．因为O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，所以OE ∥AP ， ……………2分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以PA ∥平面BDE ． ……………3分 （Ⅱ）因为PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BD ， ……………4分 又因为AC ⊥BD ，且AC PO =O ，所以BD ⊥平面PAC ． ……………5分 而BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………6分 20．(本小题满分8分)解：（Ⅰ）正方形ABCD 边长为1，1PA =，PB PD ==所以90PAB PAD ∠=∠=，即PA AB ⊥，PA AD ⊥， 因为ABAD A =，所以PA ⊥平面ABCD . ………………2分 （Ⅱ）如图，以A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(110)AC =，，，21(0)33AE =，，. 由（Ⅰ）知AP 为平面ACD(001)AP =，，，设平面ACE 的法向量为()n a b c =，，由n AC ⊥，n AE ⊥，得021033a b b c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 令6c =，则3b =-，3a =，所以(336)n =-，，， ………………4分所以6cos 3n APAP n n AP⋅<>==，， 即所求二面角的余弦值为3………………5分 （Ⅲ）设([01])PF PC λλ=∈，，则(111)()PF λλλλ=-=-，，，，， (11)BF BP PF λλλ=+=--，，，若//BF 平面ACE ，则BF n ⊥，即0BF n ⋅=，(11)(336)0λλλ--⋅-=，，，，， 解得12λ=， ………………7分 所以存在满足题意的点，当F 是棱PC 的中点时，//BF 平面ACE . ………………8分21．(本小题满分7分) 解：（Ⅰ）根据双曲线的定义，可知动点P 的轨迹为双曲线，其中1a =，c =b ==所以动点P 的轨迹方程C ：22=12y x -． ………………2分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =-，11()A x y ，，22()B x y ，， 由方程组22122y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，，得()222460k x kx -+-=． ………………3分 因为直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，所以22220=(4)4(2)(6)>0k k k ⎧-≠⎪⎨∆-⨯-⨯-⎪⎩，， 即k k ≠ ()*………………4分由根与系数关系得 12242k x x k -+=-，12262x x k -⋅=-， 因为112y kx =-，222y kx =-，所以21212122()4y y k x x k x x =⋅-++． ………………5分因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=， ………………6分所以 21212(1)2()40k x x k x x +-++=，所以()22264124022k kk k k --+⋅-⋅+=--， 即21k =，解得1k =±，由()*式知1k =±符合题意．所以直线l 的方程是2y x =-或2y x =--． ………………7分22．(本小题满分7分)解：（Ⅰ）由题意知c 4=8a ，所以=2a ，=1b ， 所以椭圆的方程为22+=14x y . ……………2分 （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为=(1)y k x -，因为点(1,0)在椭圆内，所以直线l 与椭圆有两个交点，k ∈R . 由22+=14=(1)x y y k x ⎧⎪⎨⎪-⎩，，消去y 得2222(4+1)8+44=0k x k x k --， ……………3分设P 11()x y ，，Q 22()x y ，， 则由根与系数关系得21228+=4+1k x x k ，212244=4+1k x x k -， 所以21212=(1)(1)y y k x x --， ……………4分则=PE 11()m x y --，，=QE 22()m x y --，， 所以PE QE ⋅＝1212()()+m x m x y y --＝2121212(+)++m m x x x x y y -＝22121212(+)++(1)(1)m m x x x x k x x --- ＝2222222222844448++(+1)4+14+14+14+1k m k k k m k k k k k ---- ＝2222(48+1)+44+1m m k m k --……………5分 要使上式为定值须2248+14=41m m m --，解得17=8m ， 所以PE QE ⋅为定值3364. ……………6分当直线l 的斜率不存在时P (1，Q (1，，由E 17(0)8，可得=PE 9(8，，=QE 9(8， 所以81333==64464PE QE ⋅-， 综上所述当E 17(0)8，时，PE QE ⋅为定值3364.……………7分(如有不同解法，请参考评分标准酌情给分)。

宿州市十三校2013-2014年度第一学期期中考试高二数学（理科）试卷卷Ⅰ一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。

把正确答案的代号填在答题卷上。

） 1. 与不共线的三个点距离都相等的点的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.无数多个 2.经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ )A.2x y +=B. 1x y +=C. 2x y +=或y x =D.1x =或1y = 3.在直角坐标系中,30y +-=的倾斜角是（ ）A ．6π B ．32π C ．3π D ．65π4．某几何体三视图及相关数据如右图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．16B ．163C ．64+163D ． 16+3345.点()21P ，为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为（ ） A ．10x y +-=B ．230x y +-=C ．03=-+y xD ．250x y --=6．已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．下面四个命题中不正确．．．的是（ ） A ． ,//,,n m m ααββ⊥⊆⇒⊥n B ．αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥； C ． ,α⊥m m n ⊥,βαβ⊥⇒⊥n D ．m n ∥，m n αα⇒∥∥；7.已知圆()()221211C x y ++-=,圆()()943222=-+-y x C ,N M ,分别是圆21,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PN PM +的最小值为（ ）俯视图侧视图A ．22-6B ．1-17C ．4-25D ．178. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD 所成的角为（ ）A. 90B. 60C. 45D.309.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）6B. 63210.已知点(,x y )在曲线2214x y +=上，则227224z x y x =+++的最小值是（ ） A. 1 B. 54 C. 52D. 0二、填空题（本大题共5小题，每题5分,满分25分。