高考数学 基本不等式培优专题(可编辑)

专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】 高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9高频考点二 利用基本不等式解决实际问题【例2】【2019·北京卷】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．，，，，，，，，【方法技巧】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点 (1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．【变式探究】（2020·山西省大同模拟）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？专题7.3 基本不等式【核心素养分析】1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 【知识梳理】知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 【典例剖析】高频考点一 利用基本不等式求最值【例1】【2020·江苏卷】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ． 【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y-+=+=≥⋅=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45. 【举一反三】（2020·江苏省南京模拟）函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________【答案】23＋2【解析】∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立．【方法技巧】利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路： (1)对条件使用基本不等式直接求解．(直接法)(2)针对待求最值的式子，通过拆项(添项)、分离常数、变系数、凑因子等方法配凑出和或积为常数的两项，然后用基本不等式求解．(配凑法)(3)已知条件中有值为1的式子，把待求最值的式子和值为1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常数代换法)【变式探究】(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 ．【答案】92【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ，∵x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4， ∴4＝x ＋2y ≥22xy ，∴xy ≤2，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.【变式探究】（2020·辽宁省葫芦岛模拟）已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 6 B ．8 2 C ．5 D ．9【答案】A【答案】∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号．∴a ＋2b 的最小值为5＋26，故选A 。

高考数学专题--基本不等式求最值的常用方法(解析版)直线ab经过点M可得1+a*log(m)=b，化简得a*log(m)=b-1将a*log(m)代入第一个式子得到11/b+log(m)的最小值令t=log(m)，则有11/b+t的最小值，根据部分“1”代换可得11/b+t=(1+1/b)*b+(t-1)的最小值，当且仅当b=2时取“=”，此时a=log(2)即为最小值。

已知$x>0$，$y>0$，且$x+y=1$，求$\frac{y^4}{x^2y^2}$的最小值。

解析：$\frac{y^4}{x^2y^2}=y^2+\frac{y^4}{x^2}\geq2\sqrt{y^2\cdot\frac{y^4}{x^2}}=2y^2$，所以最小值为$2$，当且仅当$x=y=\frac{1}{2}$时取等号。

已知正数$x$，$y$，且$x+y=4$，求$\frac{4}{x+2y+1}$的最小值。

解析：令$m=x+2$，$n=y+1$，则$x+2+y+1=m+n=5$，$\frac{4}{x+2y+1}=\frac{4}{m+n-2}\geq\frac{4}{4}=1$，所以最小值为$1$，当且仅当$x=2$，$y=1$时取等号。

已知$x>y>0$，且$x+y\leq 3$，求$\frac{3x+y}{2x+by+1}$的最小值。

解析：令$m=2x+y$，$n=y+1$，则$x=\frac{m-2n}{3}$，$y=n-1$，$x>y$可得$\frac{m-2n}{3}>n-1$，即$m>5n-3$。

所以$\frac{3x+y}{2x+by+1}=\frac{3m-6n+n}{2m+bn+1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{m}{m+\frac{bn+1}{2}-n}\geq\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{3}=2.5$，所以最小值为$2.5$，当且仅当$m=5n-3$时取等号，即$x=2$，$y=1$。

不等式专题
基本不等式（一）
常规配凑法与基本不等式
1. （2018 届温州 9 月模拟 15）已知 2a + 4b = 2(a,b R) ，则 a + 2b 的最大值
为
．
2. 3.．（2018 春•湖州期末）已知不等式 (x + my)(1 + 1 ) 9 对任意正实数 x ， y 恒成
xy
立，则正实数 m 的最小值是 ( )
28．（2017 秋•诸暨市校级期中）已知实数 x ，y 满足 x + 4 y = 1 − 2 ，则 2xy
y x xy
x + 2y −1
的最大值为 ( )
A ．2 3 3
B． 3 2
C ． 2 3 +1 3
D ． 3 +1 2
29．（2018•台州一模）若非负实数 x ，y 满足 x2 + 4y2 + 4xy + 4x2 y2 = 32，则 x + 2y
为
.
56.(2016 杭二最后卷 14)正实数 x, y 满足： 1 + 1 =1 ，则 x2 + y2 −10xy 的最小值 xy
为
.
57.（2016 宁波二模）已知正数 x, y 满足 xy 1, 则 M = 1 + 1 的最小值为 1+ x 1+ 2y
58．（2016•浙江模拟）已知实数 a ，b ，c 满足 1 a2 + 1 b2 + c2 = 1 ，则 ab + 2bc + 2ca 44
若 4x2 − xy + y2 = 25, 则 3x2 + y2 的取值范围为
54.（2016 新高考研究联盟二模 14）实数 x,y 满足 x2 − 2xy + 2y2 = 2 ，则 x2 + 2 y2 的最小

【专题训练】高考数学 基本不等式的应用【知识梳理】1．基本不等式 如果a>0，b>0，那么ab ≤a ＋b 2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．2．基本不等式的推广与变形∀a ，b ∈R ＋，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22；∀a ，b ∈R ，ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤a 2＋b 22.3．极值定理已知x 、y ∈R ＋，x ＋y ＝P ，xy ＝S .有下列命题：(1)如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2S ；(2)如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值P 24；(3)应用此结论求最值时要注意三个条件： ①各项均为正；②积或和为定值；③各项都能取得相等的值，简单地说“一正，二定，三相等”． 【题型归纳】题型1.用极值定理求最值例1 已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是_______．【解析】 方法一：由log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3，得(m －2)(n －1)＝4，则m ＝4n －1＋2，所以m ＋n ＝4n －1＋2＋n ＝4n －1＋(n －1)＋3≥24＋3＝7(当且仅当“n ＝3”时，取等号)，故m ＋n 的最小值为7.方法二：由log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3，得(m －2)(n －1)＝4， 又4)1)(2(2)1()2(=--≥-+-n m n m (当且仅当“m ＝4,n ＝3”时，取等号)，即m＋n ≥7.【点评】 二元最值问题可根据条件反映的二者之间的关系，然后代入消元后，转化为一元最值如y ＝ax ＋b x类型的问题进行研究，也可以直接用基本不等式求最小值，应该注意“积”定的两个变量,这类问题主要是利用极值定理来求解．【迁移训练】不等式a 2＋3b 2≥λb (a ＋b )对任意a 、b ∈R 恒成立，则实数λ的最大值为____．【解析】因为要求λ的最大值，所以只需要考查b (a ＋b )>0的情况． 假设b (a ＋b )>0，所以由a 2＋3b 2≥λb (a ＋b )⇒λ≤a 2＋3b 2ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b 2＋3ab＋1，设ab +1＝t >0，设h (t )＝2243)1(2≥-+=+-t t t t (当t ＝2时取等号)． ∴h (t )的最小值为2，故λ的最大值为2. 题型2.用基本不等式将等式转化为不等式求最值例2已知x >0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 .【解析】解法一：2228)2(82⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥⋅-=+y x y x y x ，整理得()()0322422≥-+++y x y x即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x . 解法二：同例1，转化为一元最值问题.【点评】 用基本不等式将等式转化为不等式求最值主要指用放缩的思想将条件里的等式转化为题目要研究的量的不等式，然后通过求不等式的解集来解决问题.【迁移训练】设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．【解析】 ∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1， ∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y ) 2≤85，即2x ＋y ≤2105. 题型3.用基本不等式推广形式求最值例3.,,0,0的最小值求恒成立若a y x a y x y x +≤+>> 【解析】由基本不等式推广形式知.2,222≥≤+++≤+a yx y x y x yx 故即 【点评】需要将y x y x ++向转化时应考虑到基本不等式推广形式a ＋b 2≤a 2＋b 22.【迁移训练】.22,8,0,022的最大值求已知++=+>>y x xyy x y x【解析】由条件知.222222224)(222=-+≤-+=++=-+y x y x y x xy xy y x 即题型4.多元最值问题例4若实数x ，y ，z ，t 满足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤10000，则x y＋zt的最小值为________．【解析】 欲使x y ＋zt值越小，必须使分子x 最小，分母t，t＝10000，得x y ＋z t＝1y ＋z10000≥2z 10000y＝150z y ≥50，所以最小值为150. 【点评】 本题含有四个变量，只有通过极端原理，将其中两个变量确定后，再由基本不等式求最小值．对未知数的认识，可以是一个字母，也可以是一个整式．多元问题在处理时方法有三种：一是消元；二是整体思想；三是运用极端假设法去掉某些元素，最终实现减少变元的目的．【迁移训练】已知正实数x ，y ，z 满足2x (x ＋1y ＋1z )＝yz ，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1z 的最小值为_____．【解析】 由题知2x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1y ＋1z ＝yz ，即x 2＋x y ＋x z ＝yz 2， 于是可将给定代数式化简得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1y ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1z ＝x 2＋x y ＋x z ＋1yz ＝yz 2＋1yz ≥2yz 2·1yz＝2，当且仅当yz ＝2时取等号．题型5.基本不等式在其他数学问题中的应用例5如图，圆心角为120o 的扇形AOB 的半径为1，C 为AB 的中点，点D 、E 分别在半径OA 、OB 上,若222269CD CE DE ++=,则OD OE +的最大值是 . 【解析】（解法一）由余弦定理得221CDx x =+-，BA221CE y y =+-，xy y x DE ++=222，由926222=++DE CE CD 得： 98)()(222=++-+xy y x y x ， ∴22)2(398398)()(2y x xy y x y x ++≤+=+-+，解得340≤+≤y x ， 所以32==y x 时，y x +的最大值为34. （解法二）22226()()()9OD OC OE OC OE OD -+-+-=，2282()(||||)||||9OD OE OD OE OD OE +-++=， 98)()(222=++-+xy y x y x , 以下同解法一.【点评】基本不等式作为求最值的一种重要的工具，可以结合很多数学知识来考察，解决问题的关键是根据掌握的数学知识将问题转化为前面4种题型里的一种来处理.【迁移训练】设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>恒过定点(1,2)A ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 .【解析】由题设知222221441,1a b a b a +=∴=-，∴椭圆的中心到准线的距离2a d c =，由4442222222222(1)251a a a a a d a c a ba a a -====----， 令25(0)a t t -=>得2(5)(4)2099t t d t t t++==++≥+（当且仅当t =取等号）∴2d≥2题型6.与基本不等式有关的实际问题例6按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm＋a；若他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为an＋a，如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.现假设甲生产A，B两种产品的单价成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单价成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为m A元和m B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．(1)求h甲和h乙关于m A，m B的表达式；当m A＝35m B时，求证：h甲＝h乙；(2)设m A＝35m B，当m A，m B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)设(2)中的最大综合满意度为h0，试问能否适当选取m A，m B的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【解析】设m A＝x，m B＝y.(1)证明：甲买进产品A的满意度：h1甲＝12x＋12；甲卖出产品B的满意度：h2甲＝y y＋5.甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：h甲＝12x＋12·yy＋5；同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：h乙＝xx＋3·20y＋20.当x＝35y时，h甲＝12x＋12·yy＋5＝1235y＋12·yy＋5＝20yy＋20y＋5，h乙＝xx＋3·20y＋20＝35y35y＋3·20y＋20＝20yy＋20y＋5，故h甲＝h乙．(2)当x ＝35y时，由(1)知h 甲＝h乙＝20yy＋20y＋5，因为20yy＋20y＋5＝20y＋100y＋25≤49，且等号成立当且仅当y＝10.当y＝10时，x＝6，因此，当m A＝6，m B＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为2 3 .(3)由(2)知h0＝2 3，因为h甲·h乙＝12x＋12·yy＋5·xx＋3·20y＋20＝12x ＋36x ＋15·20y ＋100y＋25≤49，所以，当h 甲≥23，h 乙≥23时，有h 甲＝h 乙＝23.因此，不能取到m A ，m B 的值，使得h 甲≥h 0和h 乙≥h 0同时成立，但等号不同时成立．【点评】 本题中的关键是对题干中的“满意度”和“综合满意度”的理解，建立好对应的函数模型后，对于形如y ＝dx ax 2＋bx ＋c(a ，d ≠0)这样的函数，可以用基本不等式求解值域．【迁移训练】心理学家研究某位学生的学习情况后发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x 天后的存留量y 1＝4x ＋4；若在t (t >0)天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y 2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为a t ＋42(a <0)，存留量随时间变化的曲线如图18－1所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”．(1)若a ＝－1，t ＝5，求“二次复习最佳时机点”； (2)若出现了“二次复习最佳时机点”，求a 的取值范围．【解析】 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y ，由题意知，y 2＝a t ＋42(x －t )＋8t ＋4(t >4)，所以y ＝y 2－y 1＝a t ＋42(x －t )＋8t ＋4－4x ＋4(t >4)．(1)当a ＝－1，t ＝5时，y ＝－15＋42(x －5)＋85＋4－4x ＋4＝x ＋481－4x ＋4＋1≤－2481＋1＝59，当且仅当x ＝14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天． 3）y ＝a t ＋42(x －t )＋8t ＋4－4x ＋4＝－－a x ＋4t ＋42－4x ＋4＋8t ＋4－a t ＋4t ＋42≤－2－4at ＋42＋8－a t ＋4，当且仅当－a x ＋4t ＋42＝4x ＋4即x ＝2－a(t ＋4)－4时取等号，由题意2－a(t ＋4)－4>t ，所以－4<a <0.【方法与技巧】1．不等式的应用主要有两类：(1)一类是不等式在其他数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．(2)一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用基本不等式的有关知识加以解决．2．对于函数y ＝a x＋bx (a >0，b >0)的值域，主要依据基本不等式及函数的单调性．应用基本不等式求最值，有两个注意点，一是等号不成立时，要研究函数的单调性；二是基本不等式只能求最大值或最小值，不能求出完整值域． 【强化训练】1.设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．【解析】 由x －2y ＋3z ＝0得y ＝x ＋3z 2，代入y 2xz得x 2＋9z 2＋6xz 4xz≥6xz ＋6xz4xz＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．2.设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a a －b的最小值是________．【解析】()211a ab a a b ++-＝211()a ab ab ab a a b -+++- ＝11()()ab a a b ab a a b ++-+-≥2＋2＝4当且仅当ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立如取a ,b ＝2满足条件. 3.若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________．【解析】 由题意，(a ＋b )(a ＋c )＝4，(a ＋b )＋(a ＋c )≥2a ＋b a ＋c 4.的最小值为则若))((,1)(,,,z y y x z y x xyz R z y x ++=++∈+________．5.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．【解析】 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(x ＋y )2－xy ＝1，即(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋y 22≤1， ∴(x ＋y )2≤43，x ＋y ≤233. 4.若正实数x ，y 满足2x +y +6=xy ，则xy 的最小值是 .【解析】185.已知关于x 的实系数一元二次不等式20 ()ax bx c a b ++<≥的解集为R ，则24a b c M b a++=-的最小值是 ______． 【解析】由题意得240 0b ac a ->≤，， 所以2222242()a ab ac a ab b M a b a ab a ++++=--≥()2121b ba ab a+⋅+=-， 令 (1)b t t a =>，，则()22+14142811t t M t t t +=-++=--≥≥（当且仅当3 3t b a ==，即时等号成立）．8.定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b =+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是______．【解析】易得22211444ab h a b a b b a ==++≤，所以12h ≤（当且仅当4a b b a =时取等号）1.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z =ax +by （a >0，b >0）的最大值为12，则23a b+的最小值为 . 【解析】:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而23a b+=2323131325()()26666a b b a a b a b ++=++≥+= 10.在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为v (米/单位时间),单位时间内用氧量为2cv (c 为正常数);②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为2v (米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为y .(1)将y 表示为v 的函数;(2)设0<v ≤5,试确定下潜速度v ,使总的用氧量最少.。