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2.3.2双曲线的简单几何性质

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第1页
2.3.2双曲线的简单几何性质
【知识目标】

1.完成下表
标准方程
图形

性
质

焦点
焦距
范围
对称性 关于两坐标轴和坐标原点对称
顶点
长短轴
渐近线 (求解方法)
离心率
准线 第二定义及其运用

2.直线与双曲线的位置关系断定（与椭圆的区别）:

3.直线与椭圆相交的弦长公式。
【能力目标】
题型一：双曲线的几何性质研究运用

例1.求
144169
22
xy
双曲线的半实轴和半虚轴长、焦点坐标、离心率，渐近线方程、

准线方程。
例2根据下列条件求出双曲线的标准方程

（1）已知双曲线的渐近线的方程
xy
2

1

，焦距为10；

（2）已知双曲线的渐近线的方程
xy
3

2，且过点,1,29



M
;

(3)与椭圆14922yx有公共焦点，且离心率
2

5
e
。

例3．（课本）双曲线型冷却塔外形是双曲线的一部分绕虚轴旋转成的曲面，他的最小半径
为12m,上口半径为13m.下口半径25m,高为55m，建立适当坐标系，求出此双曲线的的方
程。

2010福建理7．若点O和点F（-2，0）分别为双曲线)0(1222ayax的中心和左焦点，
点P为双曲线右支上的任意一点，则FPOP的取值范围为( )
第2页

A．),323[ B．),323[C．
),
47[D．),4

7
[

题型二：第二定义及其双曲线的离心率求解（jianjingxian）
例1.双曲线1366422yx上的一点到它的右焦点距离为8，那么它到左准线的距离为（ ）

A.10 B. 7732 C.212 D.532
例2.求适合下列条件的双曲线离心率
（1）双曲线的渐近线的方程
xy
2

1

；

（2）过焦点求垂直于实轴的弦与另一焦点的连线所成角为直角。

（3）双曲线
)0(1
222

2
babyax
的半焦距为c，直线l过两点),0(),0,(ba，且原点到

直线的距离为
.
4

3
c

2011全国新理（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交
于A ,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

（A）2 （B）3 （C）2 （D）3
例3（综合）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为
12

ll，
，经过右焦

点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点．已知OAABOB、、成等差数列，且
BF


与FA同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

练习:已知点A(3,2)、F(2,0)，在双曲线1322yx上点P________，使得PFPA21的
值最小
第3页

题型三：渐近线与共轭双曲线（求解方法）
例1.求116922yx的渐近线方程和共轭双曲线方程。

例2：与116922yx有相同渐近线，且经过（-3，32）的双曲线方程为_________________.
练习：已知双曲线的渐近线方程是034yx，焦距是10，求双曲线的标准方程
题型四：直线与双曲线综合问题
直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？

涉及直线与椭圆的弦长、中点弦问题时，经常采用的方法是什么？回忆实施过程与适用条
件？
2010全国新理（12）已知双曲线E的中心为原点，F（3,0）是E的焦点，过F的直线l与E
相交于A，B两点，且AB的中点为N（-12,-15）,则E的方程为

（A）
22136xy （B） 22145xy （C） 22163xy （D）22
154xy

结合直线与椭圆的位置关系，利用类比的思想尝试完成下列问题？
问题1：直线与双曲线的有几种位置关系，分别是哪几种？
问题2：直线与双曲线相交的弦长AB的计算公式？
【知识点一】直线与双曲线的位置关系

例1-1：直线0lAxByC：，双曲线方程C：12222byax，联立l与C消去某一变量
(x或y)得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，那么：
（★）请写出消去y后的方程：
l
与C相离的充要条件是 ；

l
与C相切的充要条件是 ；

l
与C相交于不同两点的充要条件是 。

思考：
（1）直线与双曲线有一个公共点，直线一定与双曲线相切吗？你能作图说明吗？
（2）0是直线与双曲线相切的什么条件?
（3）只有一个公共点是直线与双曲线相切的条件?

例1-2：直线)1(xky与双曲线
4
22
yx
没有公共点，求k的取值范围？
第4页

例1-3：直线
62
22
yxkxy与双曲线
交于两个不同的点，求实数k的取值范围？

例1-4：直线
62
22
yxkxy与双曲线
只有一个公共点，求实数k的取值范围？

例1-5：直线
62
22
yxkxy与双曲线
的右支交于两个不同的点，求实数k的取值

范围？

【知识点二】直线与双曲线相交的弦长计算公式
例2-1：直线l：与双曲线bkxyC12222byax相交于A、B两点，
则弦长||AB

例2-2：经过双曲线

30131222作倾斜角为的右焦点Fyx

的直线与双曲线交于A、B两

点，求：（1）AB；（2）弦AB的中点；（3）
2

ABF
的周长（1F是双曲线的左焦点）

例2-3：已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F（7，0），直线y = x  1 与其相交于M，
N两点，MN
中点的横坐标为

,

3

2

求此双曲线的方程。

（22）（本小题满分12分）已知斜率为1的直线l与双曲线
)0,0(1:
222

2
babyaxC
相

交于B，D两点，且BD的中点为M（1，3）.
（I）求C的离心率；
（II）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|〃|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆
与x 轴相切.

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2.3.2-双曲线的简单几何性质-(1-3)

2.3.2-双曲线的简单几何性质-(1-3)


y
图形
. .B2
F1 A1O A2 F2
x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c)
x
F1(0,-c)
方程
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
范围 x ≥ a 或 x ≤ a，y R y ≥ a 或 y ≤ a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
关于x轴、y轴、原点对称
顶点
离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
ybx a
第20页，共59页。
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ya x b
课外思考:
1.双曲线 x2 y2 1 的两条渐近线的夹角的正切
A1
动画演示
y N(x,y’)
Q
b B2
M(x,y)
A2
o a
x
它与yyb x的x位置的变化趋势 :
a
（3）利画用 出慢渐 双慢近 曲靠线 线近可 的以 草较图准确的
B1
ybx a
ybx a
第5页，共59页。
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比e c ,叫做 a
双曲线的 离心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
x2 y 2 m(m 0)
第4页，共59页。
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4、渐近线
双曲线在第一象限内部分的方程为
2.3.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标2

2.3.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标2


②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三 双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a>0，b>0)的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 a， sinPF2F1 c
【解题探究】1.题(1)条件 sinPF1F2 a 如何转化？
sinPF2F1 c
2.题(2)几何条件OP⊥OQ如何转化为代数条件？
【探究提示】1.利用正弦定理，可将 sinPF1F2 转化为边之间
sinPF2F1
的比值.
2.条件OP⊥OQ，一般转化为
即若设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，则
【自主解答】(1)设l的方程为y=kx+b，
由
x2
y2
1，消去y得：(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.
2
y kx b
因为l与双曲线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故Δ=8b2+8-16k2>0 ①，1-2k2≠0，
由根与系数的关系知：x1+x2=
4kb ， 1 2k2
线的左支.
2.由直线l1与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.
【自主解答】(1)由
x2 9
y2 16
1，所以a2=9，b2=16，所以c2=25，c=5，
由双曲线的定义，双曲线上任意一点P满足||PF2|-|PF1||=6<10.
当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时，说明直线与双曲线的
2.3.2双曲线的简单几何性质

2.3.2双曲线的简单几何性质

2.3.2双曲线的简单几何性质【知识目标】 1.完成下表2.直线与双曲线的位置关系断定（与椭圆的区别）:3.直线与椭圆相交的弦长公式。

【能力目标】题型一：双曲线的几何性质研究运用例1.求14416922=-x y 双曲线的半实轴和半虚轴长、焦点坐标、离心率，渐近线方程、准线方程。

例2根据下列条件求出双曲线的标准方程 （1）已知双曲线的渐近线的方程x y 21±=，焦距为10；（2）已知双曲线的渐近线的方程x y 32±=，且过点,1,29⎪⎭⎫⎝⎛-M ;(3)与椭圆14922=+yx有公共焦点，且离心率25=e 。

例3．（课本）双曲线型冷却塔外形是双曲线的一部分绕虚轴旋转成的曲面，他的最小半径为12m,上口半径为13m.下口半径25m,高为55m ，建立适当坐标系，求出此双曲线的的方程。

2010福建理7．若点O 和点F （-2，0）分别为双曲线)0(1222>=-a ya x的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为( )A ．),323[+∞-B ．),323[∞++C ．),47[+∞-D ．),47[+∞题型二：第二定义及其双曲线的离心率求解（jianjingxian ） 例1.双曲线1366422=-yx上的一点到它的右焦点距离为8，那么它到左准线的距离为（ ） A.10 B.7732 C.212 D.532例2.求适合下列条件的双曲线离心率 （1）双曲线的渐近线的方程x y 21±=；（2）过焦点求垂直于实轴的弦与另一焦点的连线所成角为直角。

（3）双曲线)0(12222b a by ax <<=-的半焦距为c ，直线l 过两点),0(),0,(b a ，且原点到直线的距离为.43c2011全国新理（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，A B 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A）（B）（C ）2 （D ）3例3（综合）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知O A AB O B 、、成等差数列，且BF与FA同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设A B 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．练习：双曲线)1,0(12222a b by ax <<=-的焦距为2c,直线l 过点（a,0），（0,b ）,且点（1,0）到直线l 的距离与点（-1,0）到直线l 的距离之和c s 54≥，求双曲线的离心率e 。

2.3.的2-双曲线的简单几何性质-(1-3)

2.3.的2-双曲线的简单几何性质-(1-3)


A1（- a，0），A2（a，0） B1（0，-b），B2（0，b）
e c (0 e 1) a
无
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
y b x a
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
a
e c a
原点
(其中
ya
或
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
y a
b
例3 :求下列双曲线的标准方程：
（1）与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) 16 4
（ 2 ） 与 双 曲 线 x2 y2 1 有 共 同 渐 近 线 ， 且 过 点 9 16
1(a b 0) a2 b2
a xa b yb
y
x
. .B2
F1 A1O A2 F2 x
F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 x a 或 x a，y R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐进线
（3） ∆<0
∆=0
相交 ∆>0
1) 位置关系种类
Y
O
X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点)
2)位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k 的取值范围,使直线与双曲线相交？相切？相离？