知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算距离是立体几何中一个重要的概念，用来描述两个点、线或平面之间的远近关系。
在立体几何中，可以使用空间向量的知识来计算距离。
本篇文章将介绍三种常见的空间向量在立体几何中计算距离的方法。
第一种方法是点到点距离的计算。
设立体空间中有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离可以通过空间向量表示为：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)例如，如果点A的坐标是(1,2,3)，点B的坐标是(4,5,6)，则点A到点B的距离为：AB=√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)=√(3²+3²+3²)=√(27)≈5.196第二种方法是点到直线距离的计算。
设立体空间中有一条直线L和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到直线L的距离，可以通过先计算点P到直线上的一点Q的距离，再计算点Q到直线上的两个点A和B的距离，其计算公式为：d(P,L)=AB=，PP_A×PP_B，/，A-B其中，×表示两个向量的叉乘运算，，表示向量的模，P_A和P_B分别是点P到直线上的两个垂足点。
第三种方法是点到平面距离的计算。
设立体空间中有一个平面平面α和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到平面α的距离，可以通过计算点P到平面上的一点Q的距离，其计算公式为：d(P,α)=PQ·n/，n其中，·表示两个向量的点乘运算，n表示平面的法向量。
需要注意的是，当计算点到直线或点到平面的距离时，我们需要先确定直线或平面上的一个点，然后再计算该点到目标点的距离。
综上所述，空间向量在立体几何中的应用可以帮助我们计算点到点、点到直线和点到平面的距离。
这些计算方法在实际问题中非常有用，例如计算物体的尺寸、相机的视距等等。
§5.3 空间向量在立体几何中的应用【基础知识梳理】1. 直线的方向向量与直线的向量方程⑴ 用向量表示直线或点在直线上的位置① 给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ， 以A 为起点作向量AP =_________（Ⅰ），这时点P 的位置被完全确定.向量方程通常称作直线l 的____________，向量a 称为该直线的____________.② 对空间任一个确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在惟一的实数t ，满足等式O =_________（Ⅱ），如果在l 上取=，则（Ⅱ）式可化为 )OA OB (t OA AB t OA OP -+=+=，即O =_________（Ⅲ）.（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同.③ 设点M 是线段AB 的中点，则O =_________.⑵ 用向量方法证明直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行① 设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1∥l 2或l 1和l 2重合⇔__________.② 已知两个非零向量1v ，2v 与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x ，y ，使v =__________.⑶ 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角设直线l 1和l 2成的角为θ（锐角），方向向量分别为1v 和2v ，则有l 1⊥l 2⇔__________， cos θ=__________.2. 平面的法向量与平面的向量表示⑴ 已知平面α，如果向量n 的基线与平面α垂直，则向量n 叫做平面α的________或说向量n 与平面α________.⑵ 设A 是空间任一点，n 为空间任一非零向量，适合条件0n AM =⋅---- ①的点M 的集合构成的图形是________.如果任取两点M 1、M 2（M 1、M 2和A 三点不共线），且0AM 1=⋅，0AM 2=⋅，则n ⊥平面AM 1M 2.在平面AM 1M 2内的任一点M 都满足条件①式.满足条件①的所有NO.28点M 都在平面AM 1M 2内. ①式称为一个平面的_____________.⑶ 共面向量定理的推论：如果A 、B 、C 三点_____________，则点M 在平面ABC 内的充要条件是，存在一对实数x ，y ，使向量表达式=_________.⑷ 设1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α，β重合⇔_____，α⊥β⇔_____⇔_________⑸ 三垂线定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和____________垂直.三垂线定理的逆定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和____________垂直.【基础知识检测】1. 两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为1v =（1，0，-1），2v =（-2，0，2），则l 1与l 2的位置关系是 （ ）A. 平行B. 相交C. 垂直D. 不确定2. 在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是 （ ）A B C D3. 已知l ∥α，且l 的方向向量为（2，m ，1），平面α的法向量为（1，-21m ，2），则m=______. 4. 已知平面α和β的法向量分别为1u =（-1，x ，4）和2u =（y ，1，-2），若α∥β，则x+y=______.5. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则直线AC 1与直线BC 所成的角为_______.【典型例题探究】题型1.（异面直线所成的角）在棱长均为a 的正四面体ABCD 中，M 、N 分别为边AB 、CD 的中点，求异面直线AN 、CM 所成的角的余弦值.AB CD变式训练：已知直三棱柱ABD-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1和A 1A 的中点,（1）求异面直线BA 1和CB 1所成的角； （2）求证：A 1B ⊥C 1M.题型2.（利用空间向量证明平行、垂直问题）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 、N分别是对角线A 1B 与面对角线A 1C 1的中点.求证：MN ∥侧面AD 1.变式训练：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M=AN=3a 2，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是 （ ） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定题型3 （空间中点共线、点共面问题）已知平行四边形ABCD ，从平面ABCD 外一点O 引射线OA ，OB ，OC ，OD ，在其上分别取E ，F ，G ，H ，并且使k ODOH OC OG OB OF OA OE ====（k 为常数）.求证：E ，F ，G ，H 四点共面.变式训练：求证：四点A （3，0，5），B （2，3，0），C （0，5，0），D （1，2，5）共面.【限时过关检测】 班级 学号 姓名 分数选择、填空题每小题10分1. 对空间任意一点O ，若818143++=，则A 、B 、C 、P 四点 （ ） A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.无法判断2. 设P 是△ABC 所在平面外一点，且PA ⊥BC,PB ⊥AC,则 P 在该平面内的射影是△ABC 的（ ）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心3. 设l 1的方向向量为=（1，2，-2），l 2的方向向量为=（-2，3，m ），若l 1⊥l 2，则m= ____.4. 已知=（2，2，1），=（4，5，3），则平面ABC 的单位法向量是_________.5. （20分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB=90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1， M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角.6. （20分）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC=2a ，BB 1=3a ，D 为A 1C 1的中点，E 为B 1C 的中点，⑴ 求直线BE 与A 1C 所成的角；⑵ 在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，若存在，求出AF ；若不存在，说明理由.【体验高考】( 每小题10分 )1．（2007全国Ⅰ）正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为（ ）A ．51B ．52C ．53 D ．54 2.（2007四川）ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 （ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60°。
空间向量在立体几何中的应用教学目标1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件；(2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法；2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。
3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感，从而激发学数学、用数学的热情。
教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。
教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。
教学方法启发式教学、讲练结合教学媒体ppt课件学法指导交流指导，渗透指导.课型新授课教学过程一、知识的复习与引人自主学习1.若=x i+y j+z k，那么（x，y，z）叫做向量的坐标，也叫点P的坐标.2. 如图，已知长方体的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点为坐标原点，射线分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， ⊥⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为BC 的中点，N 为AB 的中点，P 为BB 1的中点．(Ⅰ)求证：BD 1⊥B 1C ；(Ⅱ)求证：BD 1⊥平面MNP ．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。
