上册第二章第1-3节定义;命题;公理与定理

【本讲教育信息】一. 教学内容：§2.1 定义§2.2 命题§2.3 公理与定理［教学目标］知识与技能：1. 了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的条件和结论，奠定推理论证的基础。

2. 了解公理与定理的含义以及二者的区别。

过程与方法：3. 初步体会命题真假判断的过程，体会公理化思想。

情感、态度与价值观：4. 探索命题真假的过程，体会学数学的乐趣。

5. 通过欧几里得的原本，感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。

二. 重点、难点：（一）教学重点：1. 了解定义的概念、命题的构成，会区分真命题和假命题。

2. 公理与定理是作为判断命题真假过程中的依据。

一般来说，命题真假的判断不能凭直觉和想当然，每一步推理必须有理有据，而定义、公理、定理就是我们推理过程的主要依据。

（二）教学难点：1. 能举反例说明一个命题是假命题。

2. 判定逆定理的存在性。

［方法指导］1. 会判定一个语句是否为命题，注意两条：（1）命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句）。

（2）必须对某件事情作出肯定或者否定的判断。

2. 要能找出命题的条件和结论，一般情况下，命题也可写成“如果……，那么……”或“若……，则……”等形式。

其中“如果”或“若”引出的部分是条件，有时这些字样前面还有前提条件。

这个前提条件也属于条件，“那么”或“则”引出的部分是结论。

对于条件和结论不明显的命题，要经过分析，先把它改写成“如果……，那么……”的形式，然后再确定条件和结论。

3. 要会判定一个命题是真命题还是假命题。

真命题需要依据公理、定理等推理证明，假命题需要举出反例加以说明。

4. 公理是人们在长期的实践中总结出来的公认的正确的命题，是判定其他命题真假的根据；定理是经过推理论证为真命题的命题。

［主要内容］（一）定义1. 定义是对于一个概念的特征性质的描述。

（1）定义必须是严密的，要避免使用含糊不清的术语，比如：“一些”，“大概”，“差不多”等不能在定义中出现。

（2）定义是几何推理的依据，教材中列举的定义要正确理解、熟练识记，为以后的推理做好知识准备。

比如：若AB⊥CD于O，则∠AOC＝90°（垂直定义）反过来，若∠AOC＝90°，则AB⊥CD（垂直定义）定义既可当性质用，也可当判定用，是我们思考问题的出发点和目标。

（二）命题的定义及结构、形式（1）判断一件事情的句子，叫做命题。

不是所有的句子都称为命题，只有那些能判断是非，辨别真假的句子才是命题，各种形式的句子，只有构成为“是”或“不是”的形式，才能称为命题。

例如：“我很喜欢老师”，“今天的天气多么好啊！”“这个道理你明白吗？”等都不是命题。

要想使之成为命题，都需改为“是”或“不是”的形式。

（2）每个命题都是由条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。

一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。

（3）真命题和假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题。

如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。

要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。

（4）互逆命题。

如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆的命题，其中一个作为另一个的逆命题。

例如：命题“相等的角是对顶角”与命题“对顶角相等”是互逆的命题。

一个命题为真，但不一定能保证它的逆命题为真。

（三）公理与定理1. 公理就是公认的真命题，是人们在长期实践中总结出来的认定的真命题，它作为证明的原始依据。

我们湘教版教材到目前为止选择的十条公理：（1）等量加等量，和相等。

（2）等量减等量，差相等。

（3）等量代换（即：如果a＝b，且b＝c，那么a＝c）。

（4）整体大于部分。

（5）通过两点有且只有一条直线。

（6）连结两点的所有连线中，线段最短。

（7）经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

（8）平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向。

（9）轴反射不改变图形的形状和大小。

（10）旋转不改变图形的形状和大小。

2. 定理是经过证明的真命题。

定理可以作为判断其他命题的真假的依据。

如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆的定理。

要求同学们熟记教材中列举的定理和逆定理，为后面的几何推理、论证奠定基础。

【典型例题】知识点1：定义和命题例1. 在下列空格上填写适当的概念。

（1）能够完全重合的两个图形叫做_____________。

（2）两组对边分别平行的四边形叫做_____________。

（3）连结三角形一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的_____________。

（4）_____________是有公共端点的两条射线组成的几何图形。

请同学们去熟悉书本上的一些定义，并能说出来。

例2. 下列语句中不是命题的有（ ） （1）两点之间，直线最短。

（2）不许大声讲话。

（3）连结A 、B 两点。

（4）花儿在春天开放。

（5）不相交的两条直线叫做平行线。

（）无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？6n n n 211-+ A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个知识点2：命题的结构和种类划分例3. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出其条件和结论。

（1）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（2）菱形的四条边都相等。

（3）全等的两个三角形的面积相等。

（4）对顶角相等。

（5）等角的余角相等。

（6）两点确定一条直线。

解： 条件： 结论： （1）如果两个三角形的两角和其 中一角的对边对应相等 那么这两个三角形全等 （2）如果一个四边形是菱形 那么这个四边形的四条边相等 （3）如果两个三角形全等 那么这两个三角形的面积相等 （4）如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 （5）如果两个角相等 那么它们的余角也相等 （6）如果过两已知点画直线 那么能够画而且只能画一条 说明：有些命题条件和结论不明显，这时一般先添上省略去的词语，改写成“如果……，那么……”的形式，有时需要适当增减词语，保证句子叙述通顺而不改变原意。

例4. 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例。

（1）画线段AB ＝3cm 。

（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（3）两条直线相交，有几个交点？ （4）相等的角都是直角。

（）如果，那么。

5a 2==b a b 2（6）直角都相等。

解：（1）、（3）不是命题，因为句子中没有作出任何判断。

（2）、（6）是真命题。

（4）、（5）是假命题。

对于（4），比如：∠A ＝30°，∠B ＝30°，∠A ＝∠B ，但∠A 、∠B 都不是直角。

对于（），如：当，时，，＝，满足＝，但5a 5b 5a 25b 25a b 2222=-==a≠b 结论不成立。

知识点3：公理与定理例5. 如图，∠B ＝∠C ，B 、A 、D 在同一直线上，∠DAC ＝∠B ＋∠C ，AE 是∠DAC 的平分线。

求证：AE ∥BCDEB CA 12证明：∵∠B ＋∠C ＝∠DAC且∠B ＝∠C （ ） ∴∠∠（）B DAC =12∵AE 是∠DAC 的平分线（ ） ∴∠∠（）112=DAC ∴∠B ＝∠1（ ） ∴AE ∥BC （ ）请同学们阅读上述证法，并填写推理根据。

知识点4：逆定理与互逆定理例6. 下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来；如果没有，说明理由。

（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。

（2）对顶角相等。

解：（1）有逆定理到一个角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。

利用三角形全等可以证明。

（2）没有逆定理 比如：相等的角可能是平行线内错角、同位角或全等图形的对应角，但它们不是对顶角。

创新题：根据命题推理例7. 小王、小张和小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士，现在知道：小李比战士年龄大，小王和农民不同岁，农民比小张年龄小，那么谁是工人，谁是农民、战士？ 分析推理：“小李比战士年龄大”说明小李不是战士；小李年龄大于战士年龄。

“农民比小张年龄小”说明小张不是农民，小张年龄大于农民年龄。

“小王与农民不同岁”说明小王不是农民。

既然小王和小张都不是农民，那么小李是农民。

根据上面结论知道他们年龄从大到小顺序是：小张、农民、战士。

因此，小王是战士，小张是工人。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 填空题。

1. 梯形的定义是：_____________________。

2. 把命题“等边三角形的每一个内角都为60°”改成“如果……，那么……”的形式为_________________________________。

3. 定理“等角对等边”的逆定理是：_________________________________。

4. “两负数之积为正数”的条件是___________________，结论是__________________。

5. 下列语句是命题的，请将序号填在横线上：___________。

①延长线段AB 到C ，使BC ＝AB ②若x >2，则-<50x ③画角∠AOB 的平分线OC④角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ⑤开发大西北 ⑥你好，小燕子！⑦快走！不然就迟到了。

⑧“WTO ”所指的是什么？6. 写出一条平行线的性质定理：_________________________________。

二. 选择题。

1. 命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的条件是（ ） A. 90° B. 两个角C. 度数之和为90°D. 度数之和为90°的两个角 2. 下列命题中假命题有（ ）（1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形。

（2）一组对边平行，一个对角相等的四边形是平行四边形。

（3）正比例函数一定是一次函数。

（4）速度一定，路程和时间成正比例关系。

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题错误的是（ ） A. 设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45° B. 设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60° C. 设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60° D. 设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°4. “两直线相交只有一个交点”这个命题的条件是（ ） A. 两条直线 B. 相交 C. 只有一个交点 D. 两条直线相交5. 若m 、n 、p 为三个正实数，如果m n p -=，那么m p >之成立的依据是（ ） A. 等量加等量和相等 B. 等量减等量差相等 C. 不等式的基本性质 D. 整体大于部分6. 下列定理存在逆定理的有（ ） （1）等腰梯形的两条对角线相等。