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湖北省部分重点中学2019-2020学年度上学期新高三起点考试
数学（理科）试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合，
,则
=( )
A.
B.
C. D.
2．已知复数满足
，则
（ ）
A. B. C. D.
3．设等差数列的前项和为.若，，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
4．已知命题：
，
，那么命题
为（ ）
，
，
，
，
5．已知函数，若，则（ ）
A. B.
C. D.
6．执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的=( )
A.
B.
C. 4
D.
第11题图
7．有4位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为( ）
1S S k k
=-+
A. B. C. D.
8．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数
的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）
A. 关于点对称
B. 关于点对称
C. 关于直线对称
D. 关于直线对称
9．已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为( )
A. B. C. D. 10．已知两点
，若圆
上存在点，使得
，则正
实数的取值范围为（ ） A.
B.
C.
D.
11．已知,,A B C 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，
若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）
A.
53 D. 9
4
12．己知函数，若关于的方程 恰有3个不同的实数解，则实数的
取值范围是( ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．的展开式中项的系数为_______．
14．函数的最小正周期为___________．
15
．如图所示，圆
及其内接正八边形．已知
，
，点
为正八边形边上任意一点，，、，则的最大值为_____________________．
B
第15题图第16题图
16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为__________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．已知数列的前项和为，，且满足；．
（1）求数列的通项；
（2）求数列
的前项和．
18．如图，四棱锥P ABCD
-的底面ABCD为平行四边形，DA DP
=，
BA BP
=.
（1）求证：PA BD
⊥；
（2）若DA DP ⊥， 060ABP ∠=， 2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.
19．为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标)、推理能力(指标)、建模能力(指标)的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若
，
则数学核心素养为一级；若
，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，
(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率； (2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为，求随机变量的分布列及其数学期望.
20．已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若为的重心．
（1）如果直线AB 、OC 的斜率都存在，求证AB OC k k 为定值； （2）试判断的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由.
21．设函数f (x)=a x 2
–a –ln x ，g (x)=11e
1
x x --，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数. （Ⅰ）讨论f (x) 的单调性；
（Ⅱ）证明：当x ＞1时，g (x)＞0；
（Ⅲ）如果f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
(Ⅰ）若求不等式的解集；
(Ⅱ）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.
湖北省部分重点中学2019-2020学年度上学期新高三起点考试
数学（理科）试题参考答案
ABDC DCDB BBBC
13.40 14.π 15． 16．100 3
π
17．解：（1）；
当时，，当时，
