华中师大一附中2024—2025学年度十一月月度检测高三数学试题时限：120分钟 满分：150分 命题人：潘天群 付靖宜 审题人：钟涛一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合22{|9200},{|log (3)1}A x x x B x x =−+≤=−<，则A B = （ ）A. (,5)−∞B. [4,5)C. (,5]−∞D. (3,5]【答案】B【详解】解：由29200x x −+≤，可得45x ≤≤，所以{|45}A x x =≤≤； 由2log (3)1x −<，可得032x <−<，解得35x <<，所以{|35}Bx x =<<； 所以{|45}{|35}{|45}A Bx x x x x x ∩=≤≤∩<<=≤<. 故选：B. 2. 若12iiz =−+−，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【详解】由题可得()()()2i 2112i i 12i 12i 55512i 12i i i i z −++=====−+−+−−−+，所以21i 55=−−z ，所以z 在复平面内对应的点坐标为21,55−−， 所以z 在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C.3. 已知a为单位向量，向量b 在向量a 上的投影向量是2a ，且()4a b a λ+⊥ ，则λ的值为（ ）A. 2B. 0C. 2−D. 1−【答案】C【详解】由题意得，1,2a b a a⋅== ，则2a b ⋅= .∵()4a b a λ+⊥，∴()40a b a λ+⋅= ，即240aa b λ+⋅=，∴420λ+=，解得2λ=−.故选：C.4. 已知6(1)(1ax −+展开式各项系数之和为64，则展开式中3x 的系数为（ ）A. 31B. 30C. 29D. 28【答案】C【详解】6(1)(1ax −+中令1x =得64(1)(16a −=，解得2a =，(61+展开式通项公式为1216C r rr Tx +=，06,N r r ≤≤∈，当4r =时，42256C 15T xx ==，当6r =时，37T x =， 故展开式中3x 的系数为152129×−=. 故选：C5. 在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出 A. 30 B. 36 C. 60 D. 72【答案】C【详解】记事件:A 2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素，所以，事件A的排法种数为()242448n A A A ==， 记事件:B 女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件B 的排法种数为()4424n B A ==， 事件:A B ∩女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与其他2个女生形成三个元素，所以，事件A B ∩的排法种数为232312A A =种，因此，出场顺序的排法种数()()()()5555A n A B A n A n B n A B −∪=−+−∩()12048241260=−+−=种，故选C ．6. 函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移π12个单位长度得到函数()g x 的图象.若对任意的x ∈R 都有()()0g x g x +−=，则图中a 的值为（ ）A. 1−B.C.D. 【答案】A【详解】解：由()max 2f x =，得2A =.()f x 的图象上的所有点向左平移π12个单位长度后得()g x 的图象， 由题意知()g x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数()f x 的图象过点π,012. 设()f x 的最小正周期为Tπ122T =，所以2ππT ω==，故2ω=. 又π2π12k ωϕ+=，k ∈Z ，且π2ϕ<，可得π6ϕ=−，所以()π2sin 26f x x=− ，()π02sin 16a f ==−=−. 故选：A.7. 已知数列{}n a 的通项公式21n n a =−，在其相邻两项k a ，1k a +之间插入2k 个()*3k ∈N ，得到新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，则使100n S ≥成立的n 的最小值为（ ） A 28 B. 29 C. 30 D. 31【答案】B【详解】由题意，{}n b 数列元素依次为1231234222,3,3,,3,,3,,3,,3,a a a a， ，在1a 到5a 之间3的个数为1234222230+++=，故到5a 处{}n b 共有35个元素，.所以前30项中含1a ，…，4a 及26个3，故23429124253222275248164751014T a a a =++++×=++++=+++−−+= ， 而28283980T T ==−<， 故100n S ≥成立的最小的n 为29. 故选：B8. 已知点1F 、2F 是椭圆()2222:10x y B a b a b+=>>的左、右焦点，点M 为椭圆B 上一点，点1F 关于12F MF ∠的角平分线的对称点N 也在椭圆B 上，若127cos 9F MF ∠=，则椭圆B 的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B【详解】由题意可作图如下：由图可知：12122MF MF NF NF a +=+=，由MP 平分12F MF ∠，则11212F MP F MF ∠=∠，所以1sin F MP ∠，由127cos 9F MF ∠=，则解得11sin 3F MP ∠=， 由N 是1F 关于直线MP 的对称点，则2,,N F M 共线，1112F P NF =，1MP F N ⊥，1MF MN =， 所以114MF MN NF a ++=，在1Rt MF P 中，11111sin 3F P MF F MP MF =⋅∠=， 可得1111122243MF MF F P MF MF a ++=+=，解得132MF a =，212MF a =， 在12F MF △中，由余弦定理，可得222121212122cos F F MF MF MF MF F MF =+−∠，代入可得：222913174244229c a a a a +−×××，化简可得：22443c a =，所以其离心率c e a==故选：B.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 已知直线:20l mx y m −++=和圆22:(1)(2)9C x y −+−=相交于M ，N 两点，则下列说法正确是（ ）A. 直线l 过定点(1,2)−B. ||MN 的最小值为3C. CM CN ⋅的最小值为9− D. 圆C 上到直线l 的距离为32的点恰好有三个，则m =【答案】AC【详解】对于A ，直线:20l mx y m −++=，即()120m x y +−+=， 由1020x y +=−+=解得1,2x y =−=，所以定点坐标为()1,2−，A 正确， 对于B ，圆22:(1)(2)9C x y −+−=圆心为()1,2，半径为3， 点()1,2−与圆心()1,2的距离为2，所以|MMMM |的最小值为，B 错误，对于C ，设()1,2D −，则cos ,9cos ,CM CN CM CN CM CN CM CN ⋅⋅⋅，的的当,πCM CN =，即直线方程为2y =时，CM CN ⋅取得最小值为9−，所以C 正确，对于D ，若圆C 上到直线l 的距离为32的点恰好有三个， 则圆心到直线l 的距离为32，32，整理得2221699,79,m m m m =+=，所以D 错误. 故选：AC10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1B ，2B ，3B ，…，n B 均在x 轴正半轴上，点1C ，2C ，3C ，…，n C 均在y 轴正半轴上.已知11OB =，122B B =，233B B =，…，1(2)n n B B n n −=≥，11OC =，122312(2)3n nC C C C C C n −====≥ ，四边形111OBD C ，222OB D C ，333OB D C ，…，n n n OB D C 均为长方形.当2n ≥时，记11n n n n n B B D C C −−为第1n −个倒“L ”形，则（ ）A. 点n D 的纵坐标为213n + B. 点1D ，2D ，3D ，…，n D 均在曲线28199yx =+上 C. 长方形n n n OB D C 的面积为(1)(21)6n n n ++D. 第10个倒“L ”形的面积为100 【答案】ABC【详解】由题意()()1221123,11233nn D D n n n x n y n ++=++++==+−=，A 正确， 所以()2281441999n nD D n n x y +++==，所以B正确.()()()112121236n n n OB D C n n n n n n S ++++=⋅=，所以C 正确. 第10个倒“L ”形的面积为1111111010101112231011211216OB D C OB D C S S ××−××−==，所以D 错误. 故选：ABC11. 如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱AAAA ，BC 的中点.G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）A. 三棱锥E AFC −B. 线段+CG GFC. 当G 落在直线BBAA 上时，异面直线EF 与AGD. 垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1 【答案】BCD【详解】对于A ，如图，作CO ⊥平面ABD ，垂足为O ，因为四面体ABCD 为正四面体，则O 为三角形ABD 的中心，则23BO BE ==CO ，即正四面体ABCD 的高为h =点E 到平面ACF 的距离为点D 平面ACF ，所以11132E ACF V −=××=，故A 错误；对于B ，如图，作点C 关于平面ABD 的对称点C ′，连接C F ′交平面ABD 于点G ，过点F 作平面ABD 的垂线FH 交平面ABD 于点M ，作C H FH ′⊥，因为,CC FH ′⊂平面BCE ，所以点,G M BE ∈，则12FMCO ==，MH C O ′==12C H OM OB ′===，所以CG GF C G GF C F ′′+=+≥=，故B 正确；对于C ，当G 落在直线BD 上时，由最小角定理可知，EF 与AG 所成的最小角即EF 与平面ABD 所成角，即FEM ∠，所以tan FM FEM EM ∠=cos FEM ∠，即异面直线EF 与AG 所成角余弦最大，故C 正确； 对于D ，如图，连接,EC EB ，因为F 是BC 的中点，所以EF BC ⊥，同理EF AD ⊥，设平面α交正四面体ABCD 的棱CD 于点P ，棱AC 于点Q ，棱AB 于点S ，棱BD 于点R ， 所以EF PQ ⊥，EF QS ⊥，EF RS ⊥，EF PR ⊥，所以////PQ AD RS ，////QS BC PR ，又AD EC ⊥，AD EB ⊥，,EC EB 是平面EBC 内的相交直线，则AD ⊥平面EBC ， 所以AD BC ⊥，则PQ QS ⊥，即四边形PQSR 为矩形， 即平面α截正四面体ABCD 的截面为矩形. 设CPm CD=，即2CP m PQ ==，222AQ QS m AC BC −==，即22QS m =−，01m <<，所以()()2122241412PQSR m m S m m m m +−=−=−≤×=，当且仅当1m m =−，即12m =时等号成立，所以平面α截该四面体截得的截面面积最大为1，故D 正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感..某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为__________. 【答案】0.7##710【详解】设第一天入住无人酒店为事件1A ，第一天入住常规酒店为事件2A ，第二天入住无人酒店为事件B ，则由题意可得()()()()1122|0.50.80.4,|0.50.60.3P A P B A P A P B A =×==×=， 所以由全概率公式可得该游客第二天入住无人酒店的概率为()()()()()1122||0.40.30.7P B P A P B A P A P B A =+=+=.故答案为：0.7.13. 在ABC 中，3AB =，2AD DB =，π3ACD ∠=，则BC 的最大值为__________.+【详解】由题可得2,1AD DB ==， 如图，以AD 所在直线为x 轴，AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B ，因为22πsin sin 3ACD ==∠ADC △的外接圆半径为R =，所以点C 是以G 为圆心，半径为R =的圆上的点，所以BC 的最大值为BG R R +=+=+14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n 均有[()1][()1]()1f m f n f m n +⋅+=++，若(1)1f =，且0x <时，()0f x <，则关于x 的不等式()(2)3f x f x +−>的解集为__________.【答案】()(),02,−∞+∞【详解】因为[()1][()1]()1f m f n f m n +⋅+=++，所以对任意实数x ，2()1[()1][()1][()1]0222xx x f x f f f +=+⋅+=+≥，则()1f x ≥−， 假设存在R p ∈使得()1f p =−，则对任意实数x 有()()()()11110f x f x p p f x p f p +=−++=−++= ，此时()1f x =−为常数函数，与(1)1f =矛盾，故不存在R p ∈使得()1f p =−， 所以()1f x >−即()10f x +>恒成立.令1,0==m n ，则[(1)1][(0)1](1)1f f f +⋅+=+，因为(1)1f =，所以(0)11f +=即(0)0f =. 又由[()1][()1]()1f m f n f m n +⋅+=++可得()()()()()f mn f m f n f m f n +=++， 任取12x x <，则120x x −<，所以由题意()120f x x −<，所以()()()()()()()()()1212221221222f x f x f x x x f x f x x f x f x x f x f x −=−+−=−+−+−()()()()()1221212210f x x f x f x x f x x f x =−+−=−+< ，所以()()12f x f x <，所以()f x 为R 上的增函数， 因为()2(2)11(1)2(1)3f f f f =+=+=，所以[][]()(2)1()1214f x f x f −++=+=，所以4(2)1()1f x f x −=−+，所以()(2)3f x f x +−>等价于44()1()123()1()1f x f x f x f x +−=++−>++，令()10t f x =+>，则有423t t+−>即2540t t −+>， 所以()()140t t −−>，解得01t <<或4t >，即1()0f x −<<或()3f x >， 又()f x 为R 上的增函数，(2)3f =，(0)0f =， 所以0x <或2x >.所以关于x 的不等式()(2)3f x f x +−>的解集为()(),02,−∞+∞ . 故答案为：()(),02,−∞+∞ .四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 如图，在三棱柱111ABC A B C −中，平面11AA C C ⊥平面1,1ABC AB AC BC AA ====，1A B D =为AC 的中点.（1）证明：AC ⊥平面1A DB ；（2）求平面1A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】 【小问1详解】证明：因为D 为AC 的中点，且1AB AC BC ===，所以在ABC 中，有BD AC ⊥，且BD =， 又平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC AC =， 所以BD ⊥平面11ACC A ，又1A D ⊂平面11ACC A ，则1BD A D ⊥，由1A B BD =，得1A D ，因为111,1,2ADAA A D ===， 所以由勾股定理，得1AD A D ⊥，又11,,,AC BD A D BD D A D BD ⊥∩=⊂平面1A DB ， 所以AC ⊥平面1A DB . 【小问2详解】如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系D xyz −，可得11,0,0,,2A A B， 所以111,22AA AB =−=−，设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z = ，由1102102n AA x z n AB x y ⋅=−+=⋅=−=，令x =1,1y z ==，所以)n = .由（1）知，BD ⊥平面11ACC A ，所以平面1ACC A的一个法向量为0,BD =，记平面1A AB 与平面11ACC A 的夹角为α则cos n BD n BDα⋅==⋅所以平面1A AB 与平面11ACC A16. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y （个）和平均温度x （℃）有关.现收集了某地关于红蜘蛛的平均产卵数y 和平均温度x 的7组数据，得到如下散点图.（1）根据散点图，判断模型y bx a =+与e dx y c =（其中e 为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y 与平均温度x 的回归分析模型；（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果，求出y 关于x 的经验回归方程；（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22C °以下的年数占60%，对柚子的产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22C °至28C °的年数占30%，柚子的产量会下降20%；平均气温在28C °以上的年数占10%，柚子的产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出多种防害措施供果农选择.在每年价格不变且无虫害的情况下，某果园的年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益=年产值一防害费用）为目标，请为果农从以下3个方案中选择最佳防害方案，并说明理由.方案1：选择防害措施A ，可以防治各种气温的红蜘蛛虫害且不减产，费用是18万元；方案2：选择防害措施B ，可以防治22C °至28C °的红蜘蛛虫害，但无法防治28C °以上的红蜘蛛虫害，费用是10万元；方案3：不采取防虫害措施.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线 ˆybx a =+ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ni ii ni i x y nx yb x nx==−=−∑∑，.ˆây bx=−【答案】（1）e dx y c =更适合 （2） 0.3 4.5e x y −= （3）所以方案1为最佳防害方案，理由见解析 【解析】【小问1详解】e dx y c =e dx y c =，由散点图可以判断，更适合作为平均产卵数y 与平均温度x 的回归分析模型. 【小问2详解】对两边同时取对数，可得lnln y c dx =+， 令，则ln z c dx =+， 由题可得717714727 3.633.6i i i x z xz =−=−××=∑，7222175215727112i i x x =−=−×=∑， 所以171722733.60.31127i i i ii x z xzd x x ==−===−∑∑， 则 ln 3.60.327 4.5c z d x =−=−×=− ，所以 ln 0.3 4.5y x =−，则0.3 4.5e x y −=， 所以y 关于x 的经验回归方程为 0.3 4.5e x y −=. 【小问3详解】分别用1X ，2X ，3X 表示3种方案的收益，若采用方案1，无论气温如何，产值不受影响，则收益120018182X =−=万元； 若采用方案2，当不发生28C °以上的红蜘蛛虫害时，收益为20010190−=万元； 当发生28C °以上的红蜘蛛虫害时，收益为1001090−=万元， 所以；2190,28C ,90,28C X =不发生以上的红蜘蛛虫害发生以上的红蜘蛛虫害 同理，若采用方案3，3200,160,2228C ,100,28C X =−不发生虫害只发生以上虫害发生以上虫害 所以()1182E X =，()()()2221901909090E X P X P X =×=+×=1900.9900.11719180=×+×=+=，()()()()3333200200160160100100E X P X P X P X =×=+×=+×=2000.61600.31000.1178=×+×+×=，则()()()123E X E X E X >>， 所以方案1为最佳防害方案.17. 在数列{aa nn }中，已知11a =，121nn n a a +=+−.（1）求数列{aa nn }的通项公式n a ； （2）记()1n n b a n λ=+−，且数列{bb nn }的前n 项和为n S ，若2S 为数列{}n S 中的最小项，求λ的取值范围.【答案】（1）2nna n =−；（2）82,3. 【详解】解：(1)121nn n a a +=+− ，()11212n n n a a n −−∴=+−≥，21221n n n a a −−−=+−，……12121a a =+−，上式累加可得:()()12212nn a a n n −−−−≥，2(2)n n a n n ∴=−≥， 又11a =，∴2n na n =−; (2)由(1)可得()12nn n b a n n λλ=+−=−，∴()11222n n n n S λ++=−−， 因为2S 为数列{}n S 中的最小项，所以263n S S λ≥=−， 即()112832n n n λ++−≥−，当1n =时，得42λ−≥−，∴2λ≥; 当2n =时，R λ∈;当3n ≥时，得()1302n n +−>，∴222166n n n λ+−≤+−， 令()222166n n f n n +−=+−， 则()()()()322221621661116n n n n n f n n f n ++−−=−+−+++−+−()()()2222823232346n n n n n n n n +−−⋅++=+−+−， 当4n ≥时，280n n −−>，22340,60n n n n +−>+−>， ∴()()1f n f n +>，又可验证当3n =时，()()430f f −>也成立， ∴当3n ≥时，数列(){}f n 递增数列，∴()()min833f n f ==，即83λ≤. 综上所述，λ的取值范围为82,3.18. 已知抛物线24y x =，顶点为O ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点. （1）若||8AB =，求线段AB 中点到y 轴的距离；（2）设点G 是线段AB 上的动点，顶点O 关于点G 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值； （3）设D 为抛物线上的一点，过点D 作直线DM ，DN 分别交抛物线于M ，N 两点，作直线DP ，DQ 分别交抛物线于P ，Q 两点，且DM DN ⊥，DP DQ ⊥，设线段MN 与线段PQ 的交点为T ，求直线OT 斜率的取值范围.【答案】（1）3； （2）4； （3）11,22−. 【解析】 【小问1详解】因为过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，且8AB =，为设AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2)，则由抛物线的性质可得128x x p ++=， 又由题2p =，所以126x x +=， 所以线段AB 中点的横坐标即为线段AB 中点到y 轴的距离为1232x x +=. 【小问2详解】因为顶点O 关于点G 的对称点为C ，所以O 和C 到直线l 的距离相等， 所以21211=2=22AOB OACB S S OF y y OF y y ×−=− 四边形， 由题意可知直线l 斜率存在时不为0，焦点FF (1,0)，所以可设直线l 方程为1x my =+， 联立2214404x my y my y x =+⇒−−= =，则12124,4y y y y m =−+=， 所以2121=OACB S OF y y y y −=−===四边形所以当0m =时，四边形OACB 面积取得最小值为4.【小问3详解】由题可设()2,2D a a ，()(),,,M M N N M x y N x y ，且直线,DM DN 的斜率存在且不为0，所以可设直线DM 的方程为()22y a k x a−−，联立()2222248404y a k x aa y y a k k y x−− ⇒−+−= = ，所以42M y a k +=，所以42M y a k=−， 设直线DN 的方程为()212y a x a k−=−−， 联立()22221248404y a x a y ky ak a ky x−=−−⇒+−−= = ，所以24N y a k +=−， 所以42N y k a =−−，若242421a k a k k −=−−⇒=−， 所以4242a k a k−≠−−即M N y y ≠，所以直线MN 斜率不为0，当直线MN 斜率存在时，直线MN 的方程为()()()()2244N N N NM N M N M NM N M N x x x x y y x x y y x x y y y y y y −−−−===−−−−+，所以()224444N M N NN M N N M N M N M Ny x y y y x x x y y yy y y y y y y −++ −+ +==+++ ()2224424242241242x a k a kx k a ak a k k ak k a k a k+−−− −−++ =−−−−− ()()222224214211kx k a k a k ak k x a a ak k ak k−−−−−−−==−+−−−−， 所以直线MN 恒过定点()24,2a a +−，即()24,2T a a +−，所以直线OT 的斜率为224OT ak a=−+， 所以当0a =时0OT k =；当0a >时，21042OT k a a>=−≥=−+，当且仅当4a a =即2a =时等号成立； 当0a <时，21042OT k a a <=≤−−，当且仅当4a a −=−即2a =−时等号成立. 综上，当直线MN 斜率存在时，直线OT 斜率的取值范围为11,22−.当直线MN 斜率不存在时，设()2,2M t t ，则()2,2N t t −，所以()()()()222222222,22,2240DM DN ta t a t a t a tat a ⋅−−⋅−−−−−− ，解得224t a =+，所以直线MN 的方程为24x a 所以直线MN 恒过定点()24,2a a +−. 综上所述，直线OT 斜率的取值范围为11,22−. 19. 函数()1ln f x x x=−，()g x ax b =+．（1）若函数()()()h x f x g x =−在(0,+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若直线()g x ax b =+是函数()1ln f x x x=−图象的切线，求a b +的最小值； （3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点()11,A x y ，()22B x y ，，试比较21x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.7为1.4）【答案】（1）(],0−∞；（2）1−；（3）2122x x e >. 【详解】解：（1）：()()()1ln h x f x x x ax b x=−=−−−， 则()211h x a x x′=+−，()()()h x f x g x =− 在(0,+∞)上单调递增，∴对0x ∀>，都有()2110h x a x x ′=+−≥， 即对0x ∀>，都有211a x x ≤+， 2110x x+> ，0a ∴≤， 故实数a 的取值范围是(],0−∞；（2）()211f x x x ′=+， 设切点0001,ln x x x −，则切线方程为()002000111ln y x x x x x x −−=+−，即00220000011111ln y x x x x x x x x =+−++−， 即02000112ln 1y x x x x x ++−− ， 令01t x =，由题意得2a t t =+，ln 21b t t =−−−， 令()2ln 1a b t t t t ϕ+==−+−−，则()()()211121t t x t t tϕ+−′=−+−=， 当()0,1t ∈时，()0t ϕ′<，()t ϕ在()0,1上单调递减； 当()1,t ∈+∞时，()0t ϕ′>，()t ϕ在()1,+∞上单调递增， ()()11a b t ϕϕ∴+=≥=−，故a b +的最小值为1−； （3）由题意知1111ln x x x α−=，2221ln x ax x −=， 两式相加得()12121212ln x x x x a x x x x +−=+， 两式相减得()21221112ln x x x a x x x x x −−=−，即212112ln 1x x a x x x x +=− ()21211212122112ln 1ln x x x x x x x x x x x x x x + ∴−=++− ， 即121221212211ln 2ln x x x x x x x x x x x x ++−×=−， 不妨令120x x <<，记211x t x =>， 令()()()21ln 11t F t t t t −=−>+，则()()()2101t F t t t ′−=>+， ()()21ln 1t F t t t −∴=−+在()1,+∞上单调递增，则()()10F t F >=，()21ln 1t t t −∴>+，则()2121122ln x x x x x x −>+， 121221212211ln 2ln 2x x x x x x x x x x x x ++∴−×=>−，12121212ln 2ln x x x x x x x x +∴−×<−，2∴>，即ln 1>， 令()2ln G x x x=−，则0x >时，()2120G x x x ′=+>， ()G x ∴在(0,+∞)上单调递增，又1ln 210.8512+≈<，1G ∴>>−e >，即2122x x e >．。
