数学北师大版七年级上册5.3应用一元一次方程——水箱变高了

北师大版七年级上册5.3应用一元一次方程——水箱变高了课程设计一、教学目标1.知识目标1.了解一元一次方程的基本概念；2.能掌握应用一元一次方程解决实际问题的方法；3.能够理解水箱变高的原理，掌握相关计算方法。

2.能力目标1.能够运用所学知识解决实际问题；2.能够培养分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点1.一元一次方程的基本概念；2.应用一元一次方程解决实际问题的方法。

三、教学难点1.能够理解水箱变高的原理；2.掌握相关计算方法。

四、课前准备1.教师准备讲义、钢尺、铅笔等教学用品；2.学生准备好课本及学习笔记。

五、教学方法1.讲授法；2.解题法。

六、教学过程Step 1 教师引入1.教师通过举例解释一元一次方程的基本概念；2.通过讲解水箱的变化，引出应用一元一次方程解决实际问题。

Step 2 教师讲解1.教师介绍水箱变高的原理，并引导学生用题目中提供的数据建立数学模型；2.教师通过讲解应用一元一次方程的方法帮助学生求解。

Step 3 学生练习1.学生独立完成练习题；2.学生根据自己的思路和答案，对照教师提供的参考答案。

Step 4 教师提高1.教师解释练习题的解题过程，帮助学生理解其中的数学方法和思想；2.教师指导学生在实际生活中运用所学知识解决问题。

七、作业布置1.学生独立完成书本上“应用一元一次方程解决实际问题”一节中的习题；2.要求学生在作业本上注明题号，并写出解题过程和答案。

八、教学反思本堂课通过引出实际问题的方式，较好地激发了学生学习的兴趣，让学生能够比较轻松、简单地掌握一元一次方程的基本概念和应用方法。

需要注意的是，在练习时可以引导学生先思考、后问问题、后解答，这样能够更好地培养学生分析问题和解决问题的能力。

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3.一只长方体水箱，其底面是边长为5米的正方形，箱内盛
水，水深4米，现把一个棱长为3米的正方体沉入箱底(xiāngdǐ)，
水的深
度将是( )
A.5.4米Leabharlann B.7米C.5.08米
D.6.67米
【解析】选C.设水的深度为x米，根据题意得：
5×5x=5×5×4+3×3×3.解得：x=5.08.
(duànyā)
(duànyā)
_______的体积=_______的体积.
前
后
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二、常见的体积、面积公式
V正方体=a3，V长方体=abh.
V圆柱=πr2h，V圆锥1(yru2há.nzhuī)= 3
S正方形=a2，S长方形=ab，S梯(a形=b)h .
S三角形1= ah ,S圆=πr2.
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8.用两根长为24cm的铁丝分别围成一个(yī ɡè)长与宽之比为2∶1的 长 方形和一个(yī ɡè)正方形,求长方形和正方形的面积. 【解析】设长方形的长为2xcm,宽为xcm, 则2(x+2x)=24,解得x=4,所以长方形的面积为32cm2.正方形的 边长为6cm,则面积为36cm2.
答案：4×3×2=π·1.52·x
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7.把一块棱长是0.5米的正方体钢坯(gāngpī)锻压成橫截面面积是0.1平 方米的长方体钢材,锻压成的钢材有多长? 【解析】设锻压成的钢材长x米, 由题意得:0.1x=0.5×0.5×0.5, 解方程得:x=1.25. 答:锻压成的钢材有1.25米长.
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9.将内径为12厘米的圆柱形杯子装满水后倒入内径为30厘米、

课题：5.3 水箱变高了教学目标：1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题.2.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.3.通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.教学重点与难点：重点:列出一元一次方程解有关形积变化问题．难点:依据题意准确把握问题中的相等关系．课前准备：教师准备：多媒体课件投影橡皮泥圣诞老人.学生准备：预习本课知识橡皮泥.教学过程：一、创设情境,引入新课：活动内容：情境1：事先准备一块橡皮泥捏出的“瘦长”形圣诞老人，然后再让这个“瘦长”的圣诞老人“变矮”，变成一个又矮又胖的圣诞老人，观察变化后思考下列几个问题：1.在这个操作的过程中，你发现什么改变了？2.在这个变化过程中，什么没变？情境2：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱，请思考下列几个问题：1.在你操作的过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？2.在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？处理方式：师从圣诞节快到了，引起学生注意，以圣诞老人的变化入手，让他们找变化，学生兴趣很高，有很多的答案；这时，引导他们从高矮、胖瘦去分析，别离题太远.找不变化的量是重点，要明确指出橡皮泥的体积没有变.不研究颜色等等.（橡皮泥圣诞老人可作为本节课表现最好的同学的奖品）情境2以圆柱为例，找变化的量和不变化的量，为下面的学习做好了铺垫.设计意图:情境1旨在激发学生的学习兴趣，让他们体会到数学离我们如此之近，并从中感悟到不变的东西；情境2过渡到数学图形，同学们很容易就能找到不变的量.二、师生互动，探究新知：活动内容：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m 的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m 减少为3.2m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m 增高为多少米？处理方式：在这个环节中安排两组同桌分别上黑板合作完成.并把思路分析给大家.给每个四人小组发一张表格，让学生试着通过填写表格寻找等量关系. 将上述环节中体会到的形之间的变与不变的关系，量之间的等量关系抽象成数学问题，利用前几节的解方程方法解决实际问题.师要写出完整的解题过程.表格：等量关系： 旧水箱的容积=新水箱的容积解：设水箱的高为 x m ，由题意知：π×224）（×4＝π×222.3）（×x, 解得：x=6.25.注意：（1） 此类题目中的π值由等式的基本性质就可以约去，无须带具体值；（2） 若题目中的π值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定π值取到什么精确程度.（3） 解方程不是主要步骤，可以简化不写.设计意图: 学生解答过程布列方程很顺利，很多学生使用了表格来帮助分析.三、精讲例题，知识应用：活动内容1：学生用预先准备好的40厘米长的铁丝，以小组作出不同形状的长方形，通过测量边长，近似求出长方形的面积，比较小组内四个同学的计算结果，你发现了什么？处理方式：学生自己亲手经历操作后的感受会更深刻.所以设置此环节，让学生手、眼、脑几个感官并用，在操作中体会，在计算中验证，在变化中发现.这样能培养学生经过观察、分析、归纳、总结等数学学习活动中发现数学思想与数学方法，也同时让学生感悟复杂的问题中的道理就在我们玩的过程中，就在我们的生活中. 旧水箱新水箱底面半径高体积由操作过程，同学们作出的长方形形状有“胖”有“瘦”，反映数据为：当长方形的周长一定，它的长逐渐变短，宽随之逐渐变长，面积在逐渐变大.当长与宽一样长时面积最大. 活动内容2：课本例题例1：一根长为10米的铁丝围成一个长方形.1.若该长方形的长比宽多1.4米.此时长方形的长和宽各为多少米？2.若该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米?它围成的长方形的面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？3.若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少?它围成的长方形的面积与（2）中相比，又有什么变化？4.如果把这根长为10米的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少？面积是多少？请思考：解此例题的关键是什么？通过此题你有哪些收获和体验？你能试着设计表格解决这个问题吗？处理方法：学生分别根据上述条件找相等关系列方程，解决问题.师展示完整的解题过程.不要怕完不成进度，这个过程进行完成后，学生对课本设置相关内容就基本掌握了.（此处教师可用几何画板来完成）设计意图:因为有了环节三的铺垫，有效地分解难点，学生掌握很好.完整的解题过程留成课后作业.四、巩固训练，提高技能：1.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？处理方式：学生在练习本上完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．设计意图:通过练习引导学生加深对所学知识的理解,并能做到触类旁通, 不仅提高了解决问题的能力而且发展了学生的发散思维的能力，让学生体会到数学在生活中的广泛应用，进一步感受生活的数学化.五、课堂小结，反思提高：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么?1.审---通过审题找出相等关系.2.设---设出合理的未知数（直接或间接）3.列---依据等量关系，列出方程.4.解---求出方程的解.5.验---检验求出的值是否为方程的解.6.答---注意单位名称.设计意图:鼓励学生结合本节课的学习，谈谈自己的收获和感想，培养学生语言表达归纳总结的能力和反思意识，总结研究数学问题的一般方法,形成完整的知识体系．六、当堂检测，及时反馈：1.小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？2.若小明用10米铁线在墙边围成一个长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在宽的一边有一扇1米宽的门，那么，请问小明围成的鸡棚的长和宽又是多少呢？拓展延伸：(选做)3.一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为33米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，且尽可能使鸡场面积最大，请你帮他设计.处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．布置作业，落实目标：必做题：课本P144 知识技能 1．2．选做题：课本P144 问题解决第3题．板书设计：。

5.3 应用一元一次方程——水箱变高了一.学生起点分析本节课涉及到图形问题，关键是让学生抓住形变过程中不变量，对于基本图形体积. 面积. 周长等公式，学生已在小学系统学习，如果遗忘或混淆，可做适当复习.二.教学任务分析本节学习列方程解应用题，其关键还是寻找实际问题中等量关系. 在实际生活中经常会遇到类似本节情境问题，最关键是抓住变化中不变量，从而设出未知数，根据等量关系列出方程. 教学时，应鼓励学生独立思考，发现等量关系. 特别是对例1，应让学生根据生活经验和原有基础分组独立完成，然后请各小组汇报: 四个小问题解答情况，最后组织学生展开讨论：解这道题关键是什么？从解这道题中你有哪些收获和体验？因此，本节教材处理策略是：展现问题情境——提出问题——分析数量关系和等量关系——列出方程，解方程——检验解得合理性.三.教学目标1. 借助立体及平面图形学会分析复杂问题中数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数解题思路，从而建立方程，解决实际问题.2. 通过分析图形问题中数量关系体会方程模型作用，进一步提高学生分析问题.解决问题.敢于提出问题能力.3. 通过对实际问题探讨，使学生在动手独立思考. 方程意识过程中，进一步体会数学应用价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生好奇心和主动学习欲望.四.教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：运用情境，解决问题；第三环节：操作实践，发现规律；第四环节：体验数学模型第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.环节一：创设情境，引入新课活动内容：情境1成语“朝三暮四”故事（附内容：从前有个叫狙公人养了一群猴子.每一天他都拿足够栗子给猴子吃，猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子话，等不到下一个栗子收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个办法，并且把这个办法说给猴子听，当猴子听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子时候很是生气，呲牙咧嘴.没办法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子一听高兴得直打筋斗.）问题1猴子为什么高兴了？这其中有什么数学奥秘吗？情境2：教师从讲台下拿出了两瓶矿泉水（容量一样，A短而宽，B长而窄）.问题2:请问大家哪瓶矿泉水多？为什么？教师拿出两个相同量杯，让学生把两瓶矿泉水分别倒进两个量杯中，结果全体同学都说一样多，没有说对同学，不好意思笑了.教师：不要紧张，现在还有一个机会证明自己.情境3：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”圆柱体，然后再让这个“瘦长”圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖圆柱，请思考下列几个问题：在你操作过程中，圆柱由“高”变“低”，圆柱底面直径变了没有? 圆柱高呢？在这个变化过程中，是否有不变量？是什么没变？活动目让学生在愉快地玩过程中体会等体积变化现象中蕴涵不变量.同时分析出不变量与变量间等量关系活动实际效果：学生能够感受到：两瓶形状不一样矿泉水体积是一样，手里橡皮泥在手压前和手压后发生了变化，变胖了，变矮了.即高度和底面半径发生了改变，但手压前后体积不变，重量不变.环节二：运用情景，解决问题活动内容：张师傅将一个底面直径为20厘米.高为9厘米“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为10厘米“瘦长”形圆柱.假设在张师傅锻压过程中圆柱体积保持不变，那么圆柱高变成了多少？（在这个环节中可安排两组同桌分别上黑板合作完成.并把思路分析给大家.可给每个四人小组发一张表格，让学生试着通过填写表格寻找等量关系.）活动目的：将上述环节中体会到形之间变与不变关系，量之间等量关系抽象成数学问题，利用前几节解方程方法解决实际问题.活动实际效果：学生解答过程布列方程很顺利，很多学生使用了下面表格来帮助分析.由实验操作环节知“锻压前体积=锻压后体积”，从而得出方程.解：设锻压后圆柱高为xcm,由题意nX （20）2X 9=nX （10）2X x, 2 2解之，得x=36.黑板上两组学生中有一组学生将n值取3.14 ,带入方程，教师应在此给予指导，不要早说，现在恰到好处！（1）此类题目中n值由等式基本性质就可以约去，无须带具体值；（2）若题目中n值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定n值取到什么精确程度.环节三：操作实践，发现规律活动内容：学生用预先准备好40厘米长铁丝，以小组作出不同形状长方形，通过测量边长，近似求出长方形面积，比较小组内四个同学计算结果，你发现了什么？活动目的：我们知道：学生自己亲手经历操作后感受会更深刻.所以设置此环节，让学生手.眼.脑几个感官并用，在操作中体会，在计算中验证，在变化中发现.这样能培养学生经过观察.分析.归纳.总结等数学学习活动中发现数学思想与数学方法，也同时让学生感悟复杂问题中道理就在我们玩过程中，就在我们生活中.活动实际效果：由学生实际操作得到近似值已反映出来一个很好规律.学生：由操作过程，同学们作出长方形形状有“胖”有“瘦”，反映到表中数据为：当长方形周长一定，它长逐渐变短，宽随之逐渐变长，面积在逐渐变大•当长与宽一样长时面积最大.过程感悟：不要怕完不成进度，这个过程进行完成后，学生对课本设置相关内容就剩下规范解题过程了，学生理解远比直接先讲教材例题效果要好多•（此处教师可用几何画板来完成）环节四：练一练，体验数学模型活动内容：课本例题例1：一根长为10米铁丝围成一个长方形.1. 若该长方形长比宽多1.4米.此时长方形长和宽各为多少米？2. 若该长方形长比宽多0.8米，此时长方形长和宽各为多少米？它围成长方形面积与（1）中所围成长方形相比，面积有什么变化？3. 若该长方形长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形边长是多少？它围成长方形面积与（2）中相比，又有什么变化？4. 如果把这根长为10米铁丝围成一个圆，这个圆半径是多少？面积是多少？请思考：解此例题关键是什么？通过此题你有哪些收获和体验？你能试着设计表格解决这个问题吗？活动实际效果：因为有了环节三铺垫，有效地分解难点，学生掌握很好. 完整解题过程留成课后作业.环节五：课堂小结1. 通过对“我变高了” 了解，我们知道“锻压前体积=锻压后体积”，“变形前周长等于变形后周长”是解决此类问题关键，其中也蕴涵了许多变与不变辩证思想. 2. 遇到较为复杂实际问题时，我们可以借助表格分析问题中等量关系，借此列出方程，并进行方程解检验.3. 学习中要善于将复杂问题简单化.生活化，再由实际背景抽象出数学模型，从而解决实际问题.环节六：布置作业1. P184随堂练习习题5.7 】2•思考：地面上钉着用一根彩绳围成直角三角形.如果将直角三& * 角形锐角顶点一个钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，C L_L 6 则所钉长方形长，宽各是多少？面积是多少？五.教学反思1. 创造性地使用教材.本节课引入新颖自然，通过两个实验（情景2为液态物体变化，情景3为固态物体变化），使学生对课题有了初步认识，并通过学生对实验观察，发现了在物体形状变化时不变量，从而为列方程找等量关系作了铺垫.环节2中表格发给每个小组，为增强小组讨论结果展示起到了较好作用.环节3中通过让学生自己设计表格为讨论得出起到辅助作用2. 相信学生并为学生提供充分展示自己机会本节课设计中，通过学生多次动手操作活动，引导学生进行探索，使学生确实是在旧知识基础上探求新内容，探索过程是没有难度任何学生都会动手操作，每个学生都有体会过程，都有感悟可能，这种形式让学生切身去体验问题情景，从而进一步帮助学生理解比较复杂问题，再把实际问题抽象成数学问题.3. 注意改进方面本节课由于构题新颖有趣，所以一开始就抓住了学生求知欲望，课堂气氛活跃，讨论问题积极主动.但由于学生发表自己想法较多，使得教学时间不能很好把握，导致课堂练习时间紧张，今后予以改进.。