计算几何-多边形重心公式

§4立体图形的体积、外表积、侧面积几何重心与转动惯量计算公式一、立体图形的体积、外表积、侧面积、几何重心与转动惯量计算公式图形体积V、外表积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量*Ja为棱长，d为对角线a,b,h分别为长,宽,高,d为对角线体积3aV=外表积26aS=侧面积24aM=对角线ad3=重心G在对角线交点上2aGQ=体积abhV=外表积)(2bhahabS++=侧面积)(2bahM+=对角线222hbad++=重心G在对角线交点上2hGQ=转动惯量取长方体中心为坐标原点,坐标轴分别平行三个棱边mhbJx)(12122+=mhaJy)(12122+=mbaJz)(12122+=mhbaJo)(121222++=(当hba==时,即为正方体的情况)*表中m为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章，§3，五.图形体积V、外表积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量Ja,b,c为边长,h为高a为底边长,h为高,d为对角线n为棱数,a为底边长,h为高,g为斜高体积FhV=外表积MFS+=2侧面积hcbaM)(++=式中F为底面积重心2hGQ=(P、Q分别为上下底重心)转动惯量对于正三棱柱(a=b=c)取G为坐标原点,z轴与棱平行mahaJz1248324==体积hahaV225981.2233≈=外表积ahaahaS61962.563322+≈+=侧面积ahM6=对角线224ahd+=重心2hGQ=(P、Q分别为上下底重心)转动惯量取G为坐标原点,z轴与棱平行mahaJz12583524==体积FhV31=外表积FMS+=侧面积agnnFM2'==式中F为底面积,'F为一侧三角形面积重 心 4hGQ =(Q 为底面的重心)图形体积V 、外表积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量Ja,b,c,p,q,r 为棱长h 为高体积011111010101028812222222222222c b a c p qb p r a q r V = 重心 PQ GQ 41=(P 为顶点,Q 为底面的重心)体积 )''(3FF F F hV ++=式中F F ,'分别为上下底面积重心 '''3'24FF F F F FF F PQ GQ ++++=(P ,Q 分别为上下底重心)a’,a 分别为上下底边长,n 为棱数,h 为高,g 为斜高体 积 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2''13a a a a hF V 外表积 F F M S ++='侧面积 g a a nM )'(2+= 式中F F ,'分别为上下底面积 重 心 2222'''3'24a a a a a a a a h GQ ++++=(P 、Q 分别为上下底重心)图形体积V 、外表积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量J两底为矩形,a’,b’,a,b 分别为上下底边长,h 为高,1a 为截头棱长体积]'')')('([6b a b b a a ab hV ++++='''1b b ab b a a --=重心 ''2''2''3''2b a b a ab ab b a b a ab ab PQ GQ ++++++=(P ,Q 分别为上下底重心)hb底为矩形,a,b为其边长,h为高,a’为上棱长r为半径重心'2'2aaaaPQGQ++=(P为上棱中点,Q为下底面重心) 体积33352360.0634ddrV≈==ππ外表积24rSπ=重心G与球心O重合转动惯量取球心O为坐标原点mrJJJzyx252===mrJo253=图形体积V、外表积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J[半球体]r为半径,O为球心r为球半径,a为弓形底圆半径,h为拱高,α为锥角(弧度)r为球半径,a为拱底圆半径,h为拱高体积331232drVππ==外表积23rSπ=侧面积22rMπ=重心rGO83=转动惯量取球心O为坐标原点,z轴与GO重合mrJJJzyx252===mrJo253=体积hrhrV220944.232≈=π外表积)2(ahrS+=π侧面积(锥面部分) rMπα=重心)2(83hrGO-=转动惯量z轴与GO重合⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=2sin2cos2cos1215225αααπrJz⎪⎭⎫⎝⎛+-=2cos2cos32533ααhmr体积)3(3)3(6222hrhhahV-=+=ππ外表积)2()2(222aharhS+=+=ππ侧面积(球面部分))(222harhM+==ππ重心)3()2(432hrhrGO--=图形体积V、外表积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J[球台]r为球半径,a',a分别为上下底圆的半径,h为高R为中心半径,D为中心直径,r为圆截面半径,d 为圆截面直径体积)'33(6222haahV++=π外表积)'2(22aarhS++=π侧面积rhMπ2=2222222'⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=hhaaar重心22244'33'23haaaahGO++-=222222'33'422haahaahGQ++++=(Q为下底圆心)体积222242DdRrVππ==外表积DdRrS224ππ==重心G在圆环的中心上转动惯量取圆环的中心为坐标原点,z轴垂直于圆环所在平面mRrJJyx⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==28522mRrJz⎪⎭⎫⎝⎛+=2243图形体积V、外表积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量J[圆柱体]r为底面半径,h为高R为外半径,r为内半径,h为高r为底圆半径,h,H分别为最小,最大高度,α为截角,D为截头椭圆轴体积hrV2π=外表积)(2hrrS+=π侧面积rhMπ2=重心2hGQ=(P,Q分别为上下底圆心)转动惯量取重心G为坐标原点,z轴垂直底面mhrJJyx⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==34122mrJz22=体积thRrRhVππ2)(22=-=外表积)(222rRMS-+=π侧面积RhrRhMππ4)(2=+=式中t为管壁厚,R为平均半径重心2hGQ=转动惯量取z轴与GQ重合mrRJz2)(22+=体积)(22hHrV+=π外表积⎪⎭⎫⎝⎛++=απcos112rMS⎪⎭⎫⎝⎛+++=2DhHrrπ侧面积)(hHrM+=π截头椭圆轴22)(4hHrD-+=重心)(4tan422hHrhHGQ+++=α)(2tan 2h H r GK +=α (GQ 为重心到底面距离,GK 为重心到轴线O O '的距离)图形体积V 、外表积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量Jh 为截段最大高度,b 为底面拱高,2a 为底面弦长,r 为底面半径,α2为弧所对圆心角(弧度)体 积])(3)3([3222a r b r a r a b hV -+-=⎪⎭⎫⎝⎛--=αααcos sin 31sin 33a b hr侧面积(柱面部分) ])[(2a r b brhM +-=α体 积 abc abc V 1888.434≈=π重 心 G 在椭球中心O 上 转动惯量取椭球中心为坐标原点,z 轴与c 轴重合m c b J x )(5122+=m a c J y )(5122+=m b a J z )(5122+=a,b,c 为半轴图形体积V 、外表积S 、侧面积M 、几何重心G 与转动惯量J 体 积 h r V 23π=外表积 )(l r r S +=π 侧面积 rl M π=母 线 22h r l +=重 心 4hGQ =(Q 为底圆中心,O 为圆锥顶r为底圆半径,h为高,l为母线r,R分别为上,下底圆半径,h为高,l为母线上下底平行,F',F分别为上,下底面积,F为中截面面积,h为高取圆锥顶点为坐标原点,z轴与GQ 重合mhrJJyx⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==22453mrJz2103=体积)(322RrrRhV++=π外表积)(22rRMS++=π侧面积)(rRlM+=π母线22)(hrRl+-=圆锥高(母线交点到底圆的距离)rRhrhH-+=重心2222324rRrRrRrRhGQ++++=(P,Q分别为上下底圆心)体积)4'(60FFFhV++≈[注] 棱台、圆台、球台、圆锥、棱柱、圆柱等都是拟棱台的特例图形体积V、外表积S、侧面积M、几何重心G与转动惯量Jd为上,下底圆直径,D 为中截面直径,h为高母线为圆弧时:体积)2(26180.0)2(122222dDhdDhV+≈+=π2)2(08727.0dDh+≈母线为抛物线时:体积⎪⎭⎫⎝⎛++=2243215dDdDhVπ)348(05236.022dDdDh++≈重心2hGQ=(P,Q分别为上下底圆心)二、多面体[正四面体] [正八面体] [正十二面体] [正二十面体] 图形面数f 4 8 12 20棱数k 6 12 30 30顶点数e 4 6 20 12 体积V31179.0a34714.0a36631.7a31817.2a外表积S27321.1a24641.3a26457.20a26603.8a 表中a为棱长.[欧拉公式] 一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e,它们之间满足2=+-fke。

《工程力学》
第三章 重心和形心
第十讲 重心和形心
《工程力学》
第十讲
重心和形心
目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。
教学重点：分割法和负面积法计算形心。 教学难点：对计算形心公式的理解。
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§3-4 重心和形心
一、重心的概念：
1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的， 必须要加以掌握。 2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为 物体的重心。 无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心 的位置保持不变。
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方法二(负面积法)：
用负面积法求形心。计算简图如图。 A1＝80mm×120mm＝9600mm2 x1＝40mm y1＝60mm A2=－108mm×68mm＝－7344mm2 x1＝12mm＋（80－12)mm/2=46mm y1＝12mm＋（120－12)mm/2=66mm
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式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体 的重心、质心和形心的位置重合。
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五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：
令式中的∑Ai.xi＝A.xc＝Sy；
∑Ai.yi＝A.yc＝Sx 则Sy、Sx分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一 次矩。

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六、物体重心位置的求法 ：
1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简 单形状的均质物体，其重心一定在它的对称 面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的 应用见下图。

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2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计
算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常 用的试验法有悬挂法和称重法。 （1）、悬挂法 利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次， 重心必定在两次绳延长线的交点上。 悬挂法 确定物体的重心方法见图

三维三角形的重心公式三维空间中的三角形是由三个非共线的点组成的，其中有一个特殊的点，被称为三维三角形的重心。

重心是三角形的一个重要特征，可以帮助我们计算出三角形的性质和进行相关的运算。

G=(P1+P2+P3)/3其中，G是三角形的重心的坐标，P1、P2、P3分别是三角形的三个顶点的坐标。

这个公式的推导过程如下：首先我们知道，任意三维空间中的点都可以表示为(x,y,z)的形式。

对于三角形的三个顶点P1(x1,y1,z1)、P2(x2,y2,z2)和P3(x3,y3,z3)，我们可以用向量的形式表示：P1=(x1,y1,z1)P2=(x2,y2,z2)P3=(x3,y3,z3)然后我们计算三角形的重心G(x,y,z)。

根据重心的定义，重心G是由三个顶点的坐标的平均值得出的，即：x=(x1+x2+x3)/3y=(y1+y2+y3)/3z=(z1+z2+z3)/3可以看出，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

重心不仅可以用于表示三维三角形的位置，还可以帮助我们计算三角形的面积、重心到各个顶点的距离以及重心到三条边的距离等。

下面我们来具体计算三维三角形的面积。

s=(a+b+c)/2其中，a、b、c分别是三角形的三条边的长度，s为三角形的半周长。

d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]通过对三个边的长度进行计算后，我们可以得到三角形的半周长s。

然后再用海伦公式来计算三维三角形的面积：area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]d=√[(x-x1)²+(y-y1)²+(z-z1)²]其中，(x,y,z)为重心的坐标，(x1,y1,z1)为顶点P1的坐标。

同样地，三维三角形的重心到三条边的距离也可以使用欧氏距离公式来计算。

需要注意的是，三维三角形的边不能为负数或者为0，且重心的坐标、顶点的坐标必须是实数。

总结起来，三维三角形的重心公式是一个简单而重要的公式，可以方便地计算三角形的重心坐标、面积以及重心到各个顶点和边的距离。

计算重心的公式重心是物体平衡的重要指标，它是物体各部分质量的平均位置。

计算重心的公式可以帮助我们确定物体的平衡点，从而更好地理解物体的运动和稳定性。

重心的计算公式是通过将物体的质量分布考虑在内，根据物体的几何形状和质量分布情况来确定的。

在不同的情况下，重心的计算公式也有所不同。

我们来看一下简单的情况。

假设我们有一个均匀密度的物体，比如一个均匀的正方形板。

我们希望计算这个正方形板的重心位置。

对于一个均匀的正方形板，我们可以将它看作是一个均匀分布的质量，质量均匀分布在整个板上。

在这种情况下，我们可以使用以下公式来计算重心位置：重心的横坐标 = （正方形板的左边界横坐标 + 正方形板的右边界横坐标）/ 2重心的纵坐标 = （正方形板的上边界纵坐标 + 正方形板的下边界纵坐标）/ 2这个公式的原理是将正方形板看作一个平面图形，通过计算图形的边界坐标的平均值来确定重心的位置。

这个公式适用于任何形状的均匀分布质量的物体。

如果我们有一个不规则形状的物体，比如一个三角形板，计算重心就需要使用到更复杂的公式。

对于一个不规则形状的物体，我们可以使用以下公式来计算重心位置：重心的横坐标 = （三角形板每个顶点的横坐标之和）/ 3重心的纵坐标 = （三角形板每个顶点的纵坐标之和）/ 3这个公式的原理是将不规则形状的物体看作是由若干个小的平面图形组成，通过计算每个小平面图形的顶点坐标之和的平均值来确定重心的位置。

这个公式同样适用于其他不规则形状的物体。

除了上述例子中的平面物体，我们还可以使用类似的公式来计算立体物体的重心。

对于一个立体物体，我们可以将它看作是由若干个小的体积元素组成，通过计算每个体积元素的质量和位置的乘积之和再除以总质量来确定重心的位置。

计算重心的公式是根据物体的几何形状和质量分布情况来确定的。

对于平面物体，我们可以使用边界坐标的平均值来计算重心的位置；对于立体物体，我们可以使用体积元素的质量和位置的乘积之和再除以总质量来计算重心的位置。