2020届广西师范大学附属外国语学校高三第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．设集合(){}(),|1,?{,|M x y x y Q x y y =+===，则集合M Q =n （ ）A ．{}0,1B ．(){}0,1C ．(){}1,0D ．()(){}0,1,1,0【答案】D【解析】根据集合中元素特征解方程组即可得解. 【详解】 解方组2211x y x y +=⎧⎨+=⎩得0110x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或. 所以()(){}0,1,1,0M Q =n故选：D 【点睛】此题考查求集合的交集，关键在于准确求解方程组，注意集合中元素的表示方法. 2．设复数()2z a i a R =+∈的共轭复数为z ，且2z z +=，则复数2z ai-在复平面内对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】根据已知条件求出a =1，再根据复数的运算法则求解复数2z ai-，即可得到其在复平面内的点所在象限. 【详解】221z z a a +==⇒=，)212225i z i aii++==--=55+，所以对应点位于第一象限. 故选：A 【点睛】此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义，关键在于根据复数的运算法则准确求解.3．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解 【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题 4．已知α终边与单位圆的交点3,5P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin α⋅ tan 0α<，则）A ．15B ．15-C ．3D ．3-【答案】C【解析】根据三角函数的定义求解正余弦值，利用二倍角公式化简求值. 【详解】α为第二象限角，且3455sin cos αα==-，，原式=233sin cos cos sin cos ααααα-+=-=. 故选：C 【点睛】此题考查三角函数的定义，根据三角函数的定义求解三角函数值，根据二倍角公式进行三角恒等变换化简求值.5．在()52x -的展开式中，前3项的系数和为（ ） A ．16 B ．32C ．80D ．160【答案】B【解析】根据二项式定理展开可得前三项的系数之和. 【详解】由二项式定理的展开式可得，前三项的系数和为：05142355522232C C C -+=.故选：B 【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式定理展开式求指定项的系数，关键在于熟记展开式的通项.6．设ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos cos c B b A a B +=-，则∠B =（ ） A ．6πB ．3π C ．56π D ．23π 【答案】D【解析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得. 【详解】由正弦定理可得：2sinCcosB sinBcosA sinAcosB +=-n()2sin sinCcosB A B sinC =-+=-，1223cosB B π=-=n . 故选：D 【点睛】此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小. 7．已知函数()()2ln 1f x x ax =+-的导数为()f x '，且()10f '=，则函数()()cos x g x f e x '=图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据导函数求出1a =，讨论()211xg x cosx e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的函数图象，结合奇偶性和特殊值即可得解. 【详解】()21f x a x='-+，()110,1f a a ='=-=， ()211xg x cosx e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, ()()221111x x xe g x cos x cosx e e -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()2211co 1212s x x x e cosx x g x e e ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭+-⎝⎭所以()211xg x cosx e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭为奇函数，且当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，有g (x )<0. 结合选项，只有A 符合题意. 故选：A 【点睛】此题考查根据导数值求参数的取值，根据函数的性质确定函数图象，关键在于根据导函数准确求解.8．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 中点，过点1B ，且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为（ ）A ．5B ．C ．D ．6【答案】C【解析】分析：结合两个平行平面与第三个平面相交，交线平行的结论，找到平面截正方体所得的截面多边形，画好之后能够确定其为菱形，之后借助于菱形的面积公式等于两条对角线乘积的一半，从而求得结果.详解：取BC 中点M ，取11A D 中点N ，则四边形1B MDN 即为所求的截面，根据正方体的性质，可以求得1MN B D == 根据各边长，可以断定四边形1B MDN 为菱形，所以其面积12S =⨯= C. 点睛：该题考查的是有关平面截正方体所得截面图形的面积问题，这就要求首先得确定截面图形的位置，之后根据正方体的性质，确定出截面多边形是一个四个边都相等的四边形，即为菱形，接着求其两条对角线的长度，之后应用面积公式求得结果. 9．执行下面的程序框图，若输入,S a 的值分别为1,2,输出的n 值为4,则m 的取值范围为（ ）A ．37m <≤B ．715m <≤C ．1531m <≤D ．3163m <≤【答案】B【解析】分析：首先分析框图，明确程序框图所解决的问题是什么，确定为对数列求和之后，看看是什么样的数列，还有就是再看看对应的和都是多少，再去分析循环的次数，必须保证循环几次就不能往后走了，同时得需要保证能运行到此处，从而就能够确定出对应参数的取值范围.详解：根据题中所给的程序框图，可以判断出121222n S =+++⋯+，根据判断框里的条件， 就要求2231221222m ++<≤+++， 从而求得715m <≤，故选B.点睛：该题考查的是有关程序框图中有关参数范围的问题，在求解的过程中，要时刻关注着循环的次数，要做到不多不少，再结合对应数列的和的问题求得结果.10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,?F F ，点P 在双曲线C 上，满足12F F u u u u r ⋅20PF =u u u u r ，倾斜角为锐角的渐近线与线段1PF 交于点Q ，且13F P QP =u u u r u u u r ，则12PF PF 的值等于（ ）A ．43B ．33C ．7D ．8【答案】C【解析】根据F 1F 2⊥PF 2，可设P 2b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求得2233c b Q a ⎛⎫⎪⎝⎭，，结合双曲线的定义即可求解. 【详解】F 1F 2⊥PF 2，可设P 2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，，则由13F P QP =u u u r u u u r 设(),Q x y ，222,3,b bc c x y a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得2233c b Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点Q 在直线b y x a =上，所以22233b b cc b a a =⨯=n ，所以2224b a b a =+=n所以1212227PF PF PF PF a PF ==+==，. 故选：C 【点睛】此题考查根据双曲线的几何特征求线段的比例关系，关键在于熟练掌握双曲线的性质. 11．已知函数()1y f x =+是偶函数，且函数()y f x =在区间[)1,∞+上是增函数，则下列大小关系中正确的是（ ） A ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】根据函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称，则()y f x =的图象关于直线x =1对称，结合单调性比较大小. 【详解】函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称()y f x =的图象关于直线x =1对称，且在区间[)1,∞+上是增函数，则在(0，1)上为减函数，1123>，2211322303327log log --=>()22119230228log log --=>， 所以()2211112332323log f f log f ⎛⎫⎛⎫>-><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n . 故选：D 【点睛】此题考查函数奇偶性的辨析，根据对称性和单调性比较函数值的大小关系，关键在于准确识别函数的单调区间.12．函数()21sin 6f x x ax bx π=-++的最大值为32，且对任意实数x ，都有()()1f x f x -=，则有（ ）A ．43a =-，43b =-B ．43a =，43b =C ．23a =-，23b = D ．2a =，2b =【答案】B【解析】根据()()1f x f x -=，可得函数关于12x =对称，结合三角函数和二次函数的对称性与最值即可得解. 【详解】由()()1f x f x -=，可得函数关于12x =对称，sin y x π=关于12x =对称， 所以必有216y ax bx =-++关于12x =对称， 依题意有122413322b a a b f ⎧=⎪⎪==⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩n . 故选：B 【点睛】此题考查根据函数的最值和对称性求参数的取值，关键在于熟练掌握常见基本初等函数的基本性质.二、填空题13．已知,a b r r 为两个单位向量，且向量a b -r r 与b r 垂直，则23a b +r r =_________【答案】5【解析】根据向量垂直求出1a b ⋅=r r ，()22323a b a b+=+r r r r即可得解.【详解】由题：向量a b -r r与b r垂直，()0a b b -⋅=r r r ，解得1a b ⋅=r r所以()222232341295a b a ba ab b +=+=+⋅+=r r rr rr r r故答案为：5 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，根据向量的垂直关系求数量积，根据数量积求向量的模长，考查基础知识.14．实数,x y 满足不等式组213x y y x y +≥⎧⎪≥+⎨⎪≤⎩，则22x y +的最大值是_______【答案】13【解析】作出可行域，则22x y +即可行域内的点（x ，y ）到原点的距离的平方，根据几何意义求解. 【详解】（x ，y ）的平面区域如图所示的ΔABC 平面区域（包括边界），22x y +表示该平面区域内一点到原点的距离的平方，由几何意义和图形可知，当(x ，y )取点B 时最大，所以最大值为22+32=13 故答案为：13 【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决非线性目标函数的最值问题，关键在于准确进行转化，转化为距离的平方求解.15．点P (4，4)为曲线C ：22x py =上一点，过P 作直线PQ 交曲线C 于点Q (异于P 点)，P 与曲线C 的焦点F 的连线与Q 点处的切线l 垂直，直线l 与曲线C 的准线交于点M ，则FM u u u u r ⋅PQ =u u u r ____________【答案】253【解析】根据抛物线上点的坐标求出抛物线方程，根据斜率求出切线l 的斜率，求出点Q 的坐标，即可得解. 【详解】P =24224=⨯，即24x y =，即24x y =，导函数2x y '= 所以焦点F (0，1)，准线为y =-1；直线PF 的斜率k 1=413404-=-，Q (x 1，y 1)处切线l 的斜率k =12x ；依题意得kk 1=-1183x =-n ；所以81639Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 切线l 的方程为41639y x =--，与准线的交点M (7112--，).所以，()7202075252123993FM PQ ⎛⎫⎛⎫=-⨯-+-⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u n u u r故答案为：253【点睛】此题考查求抛物线的方程，根据导数的几何意义求曲线上在某点处切线方程，计算向量的数量积.16．在平面四边形ABCD 中，ΔBCD 是边长为2的等边三角形，ΔB AD 为等腰三角形，且∠BAD =90︒，以BD 为折痕，将四边形折成一个120︒的二面角A BD C --，并且这个二面角的顶点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则这个球的球面面积为________________ 【答案】529π【解析】作出折叠后的几何图形，结合几何关系求出半径即可得到球的表面积. 【详解】折成的立体图形如图所示，O 为球心，E 为BD 的中点，∠CEH =60︒， CE =3332CH HE ==，，，所以由222OC OF CF =+得： 2222233131229R R R ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n ，所以，球面积为25249S R ππ== 故答案为：529π【点睛】此题考查求几何体的外接球，以平面图形的折叠为背景，关键在于弄清折叠过程中不变的几何量.三、解答题17．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图5的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1mm 的茎为27,叶为1．(1)试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由)(2)将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;(3)为进一步检验甲种棉花的其它质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记ξ为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为15和325；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)由茎叶图中的数据分布情况可知,乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小；(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:513,25525==0.12；(3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为15,不是二级的概率为14155-=,依题意知ξ的可能取值为:0,1,2,3,4,求出每一个变量的概率,即可得分布列与期望. 解析：(1)乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大;乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小.(2)由所给的茎叶图知,甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9](即二级)比率分别为:525=13,525=0.12, 故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为1(5或0.2)和3(25或0.12). (3)由(2)知,从甲种棉花中任取1根,其纤维长度为二级的概率为15, 不是二级的概率为14155-=, 依题意知ξ的可能取值为:0,1,2,3,4.又()442560(5625P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭或0.4096), ()314142561C (55625P ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭或0.4096),()222414962C (55625P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或0.1536), ()33414163C ()(55625P ξ==⨯⨯=或0.0256), ()4P ξ==411()(5625=或0.0016).故ξ的分布列为:144(55E ξ=⨯=或0.8).18．已知数列{n a }中，121,3a a ==，点()1,n n a a +在直线210x y -+=上， （1）证明数列{}1n n a a +-为等比数列，并求其公比；（2）设()2log 1n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若()1m m S a λ≤+，求实数λ的最小值.【答案】（1）证明见解析，2q =；（2）34【解析】（1）根据点()1,n n a a +在直线210x y -+=上，得1121021n n n n a a a a ++-+==+n ，通过构造即可得证等比数列；（2）由（1）求出数列{n a }的通项公式，求出()12n n n S +=，根据不等关系求解最值.【详解】（1）依条件有1121021n n n n a a a a ++-+==+n ，当2n ≥时，有121n n a a -=+，两式相减有()112n n n n a a a a +--=-.因为2120a a -=≠，所以有112n nn n a a a a +--=-为定值， 所以数列{}1n n a a +-为等比数列，其公比q =2. （2）由（1）得()()()21112132112212222112n nn n n n n n n a a a a a a a a a a -+---==+-+-++-=++++==--n L L所以()21n n b log a n =+=，所以数列{}n b 为等差数列，()12n n n S +=由()()()1111222m m m m m m m m S a λλλ+++≤+≤≥nn令()112m m m m c ++=，则12122m m c m m c m++=≥≤n ，所以有1234561n n c c c c c c c c +=>>>>>>L L所以λ≥３４，所以λ的最小值为34【点睛】此题考查根据递推关系证明数列为等比数列，根据数列通项公式求和，解决不等式恒成立求参数的取值范围，涉及讨论数列的最值.19．三棱柱111ABC A B C -的主视图和俯视图如图所示（图中一格为单位正方形），D 、D 1分别为棱AC 和A 1C 1的中点.（1）求侧（左）视图的面积，并证明平面A 1ACC 1⊥平面B 1BDD 1 （2）求二面角11A BD B --的余弦值. 【答案】（1）8，证明见解析；（2）1517【解析】（1）根据三视图判定面面垂直关系并证明，然后计算侧视图的面积； （2）建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示求二面角的大小. 【详解】解：（1）由视图可知，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，BD ⊥AC 因为BD ⊂底面ABC ，AC =侧面A 1ACC 1I 底面ABC 所以BD ⊥侧面A 1ACC 1 因为BD ⊂平面B 1BDD 1 所以平面B 1BDD 1⊥侧面A 1ACC 1侧视图为矩形，长就是棱柱的高，宽为BD 的长，所以面积S =4×2=8 （2）由（1）可知，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz各点坐标为A (2，0，0)， D (0，0，0)， B (0，2，0)， C (-2，0，0)， A 1(1，0，4)， D 1(-1，0，4)， C 1(-3，0，4)B 1(-1，2，4)设平面A 1BD 的法向量为()a x y z =r，，，则有：10a DA a DB ⋅=⋅u u u u r u u ur r r ，=0404300x z x z y y +=-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 令1z =，可得()401a =-r，，设平面B 1BD 的法向量为()b x y z =r，，，则有： 10b DB b DB ⋅=⋅u u u r u u u u r r r ，=02404200x y z x zy y -++==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 令1z =，可得()401b =r，，，设二面角11A BD B --的大小为θ，则有1517a b cos cos a b a b θ⋅===⋅rr rr r r ，【点睛】此题考查根据三视图识别几何体的关系，求侧视图的面积，证明面面垂直，通过向量求二面角的大小.20．设函数()22cos f x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥，不等式()1f x kx ≥+恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）在区间(),0∞-上是减函数，在区间()0,∞+上是增函数；（2）(],0∞- 【解析】（1）利用导函数的正负讨论函数的单调性；（2）不等式()1f x kx ≥+化为2210x kx cos x --+≥，结合（1）的结论，分析函数单调性，讨论函数最值，根据不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】解：（1）()()()2222,2222120f x x cosxsinx x sin x f x cos x cos x =-=-=-=-'≥' 所以()f x '为增函数，又因为()00f '=所以，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>所以，函数()f x 在区间()0∞-，上是减函数，在区间()0∞+，上是增函数 （2）不等式()1f x kx ≥+化为2210x kx cos x --+≥ 设()221g x x kx cos x =--+，()022x g x x k sin x ≥=--'，由（1）可知()g x '是[)0∞+，上的增函数， 因为()0g k '=-，所以，当()000k g '≤≥时，，函数g (x )在区间[)0∞+，上的增函数 所以()()20100g x g cos ≥=-+=，所以当0k ≤时符合题意.当0k >时，()/00g k =-<，所以存在00x >，使得()/00g x =；并且当()000x x g x ≤'<<时，； 当()00x x g x >>'时，；所以函数()g x 在区间[)00x ，上是减函数，在区间()0x ，+∞上是增函数 最小值为()()000g x g <=，不等式不恒成立综上，使得命题成立的实数k 的取值范围是(]0，∞- 【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性，解决不等式恒成立求参数的取值范围，涉及分类讨论.21．如图，已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的上顶点为(0,1)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点A 作圆222:(1)M x y r ++=（圆M 在椭圆C 内）的两条切线分别与椭圆C 相交于B ，D 两点(B ，D 不同于点A )，当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）过定点，()0,3-【解析】（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程；（2）圆M 过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆，解出B ，D 坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率12k k ，的关系，表示出直线BD 的方程即可求得过定点. 【详解】解：（1）依题意可得：2222212211122b c x a b c C y a a b c =⎧⎪⎪====+=⎨⎪=+⎪⎩n n ，，椭圆：） （2）圆M 过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆C 的方程得：()222421212kx kx x k-++==+n ， 可得21122114121212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，；同理可得22222224121212k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 由圆M 与l ()2222112101k r r k k r k -+=--+-=+n由韦达定理得：12122211k k k k r +==-， 所以直线BD 的斜率()()()22212222212112122212121122221121212124424442111212k k y y k k k k k k k k k x x k k k k r k k ----++-====-+=-----+++…… 直线BD 的方程为：21122221124212112k k y x k r k ⎛⎫--=+ ⎪+-+⎝⎭化简为：2211122221111412223112121k k k y x x r k k k r +-=-⨯+=--++-，即2231y x r =--所以，当(01)r r <<变化时，直线BD 总过定点()03R -，【点睛】此题考查求椭圆的方程，根据直线与椭圆，直线与圆的位置关系讨论直线的定点问题，关键在于准确进行等价转化计算求解.22．曲线C 的参数方程为1m x mt ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数，0m >），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线θα=与直线sin 2ρθ=交于点P ，动点Q 在射线OP 上，且满足|OQ ||OP |=8.（1）求曲线C 的普通方程及动点Q 的轨迹E 的极坐标方程；（2）曲线E 与曲线C 的一条渐近线交于P 1，P 2两点，且|P 1P 2|=2，求m 的值.【答案】（1）C ：222144x y m -=，E ：4sin ,0ρθρ=>；（2【解析】（1）对曲线C 的参数方程中两个等式同时平方处理即可得到普通方程，根据|OQ ||OP |=8，所以18ρρ=n 结合直线的极坐标方程即可得解； （2）根据极坐标方程及几何关系|P 1P 2|224sin α==n 即可求解. 【详解】解：（1）由题：1m x mt t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以11x t m ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 两式平方得2224x y m-=曲线C 的普通方程为222144x y m -= 设()Q ρθ，，则()1P ρθ， 因为|OQ ||OP |=8，所以18ρρ=n又因为P 点是直线θα=和2sin ρθ=的交点，所以12sin ρθ= 所以28sin ρθ=n，即4sin ρθ= 所以动点Q 的轨迹E 的极坐标方程为4sin ,0ρθρ=>（2）双曲线C 的渐近线过极点，所以渐近线的极坐标方程为θα=； 它与曲线E 的两个交点P 1.P 2，其中一个为极点，所以|P 1P 2|12242sin sin tan ααα====n n n所以1m m ±=±=【点睛】此题考查根据直线的参数方程求普通方程，求曲线的极坐标方程，根据极坐标方程结合弦长求参数的取值.23．设()2f x x a =-,a R ∈.（1）当1a =时，解不等式()13f x <<；（2）若对任意实数x ，使不等式()13f x x ++≥恒成立的最小正数a ，有23m n r a ++≥，证明：()()22291114m n r +++-≥. 【答案】（1）()()0,12,3⋃；（2）证明见解析 【解析】（1）根据绝对值的意义即可求得解集；（2）根据不等式恒成立求出4a 的最小值，利用柯西不等式即可得证. 【详解】解：（1）当a =1时，由 1<f (x )<3可得：1<|2x -3|<33231x -<-<-n 或1233x <-<01x <<n 或23x <<.所以不等式的解集为()()0123⋃，，（2）对于任意实数x 及正数a ，()12111111222222a a a a a a f x x x a x x x x x x x x ++=-++=-+-++≥-++≥---=+=+当且仅当2a x =时取等号，所以只要1342aa +≥≥n ，所以4a 的最小值，所以()23421313m n r m n r ++≥+++-≥n 由柯西不等式得：()()()()()()()()()()()()22222222222192131123111121311414m n r m n r m n r m n r +++-≤+++++-+++-≥+++-≥n当且仅当1123n r m +-==时取等号 【点睛】此题考查解含绝对值的不等式，根据不等式恒成立求参数的取值范围，根据柯西不等式证明不等式，综合性比较强.。
2020年广西壮族自治区桂林市首都师范大学附属实验中学高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=log a x的图象是（）A． B．C．D．参考答案：C【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=log a x，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．2. 要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单C．向左平移个单位D．向右平移个单位参考答案：C略3. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E,、F，且,则下列结论中错误的是（）A.B.C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等参考答案：D略4. 函数，则f（log23）=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】由已知中函数，将x=log23代入可得答案．【解答】解：∵函数，将x=log23∈（1，2）则f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=f（log23+3）==，故选：A．5. 已知x＞0时，f（x）=x﹣2013，且知f（x）在定义域上是奇函数，则当x＜0时，f （x）的解析式是（）A．f（x）=x+2013 B．f（x）=﹣x+2013 C．f（x）=﹣x﹣2013 D．f（x）=x﹣2013参考答案：A【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】先将x＜0转化为﹣x＞0，再利用已知解析式和奇偶性来求解．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，因为x＞0时，f（x）=x﹣2013，所以f（﹣x）=﹣x﹣2013，因为函数是奇函数，所以f（﹣x）=﹣x﹣2013=﹣f（x），所以f（x）=x+2013，故选：A．6. 设a=20.2，b=ln2，c=log0.32，则a、b、c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.2＞1，0＜b=ln2＜1，c=log0.32＜0，则a、b、c的大小关系是a＞b＞c．故选：B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 表示的直线可能是（）参考答案：B由，整理得，当时，，此时排除A；又由，此时排除B；当时，，此时排除D，故选B．8. 已知数列{a n}，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则a n=A. B. C. D.参考答案：A分析：累加法求解。
2020年广西壮族自治区桂林市中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 三角形△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=sinBcosC，那么△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形参考答案：A【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由余弦定理易得A=，再由和差角公式可得B=，可判三角形形状．【解答】解：△ABC中，∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=，又∵sinA=sinBcosC，∴sin（B+C）=sinBcosC，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC，∴cosBsinC=0，∴cosB=0，B=，∴△ABC是直角三角形．故选：A．2. 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．12 B．14 C.16 D．18参考答案：A 3. 等差数列{a n}的前n项为S n，若公差d=﹣2，S3=21，则当S n取得最大值时，n的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意求出等差数列的首项，得到等差数列的通项公式，再由通项大于等于0求得n值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由d=﹣2，S3=21，得3a1+3d=21，∴a1+d=7．∴a1=7﹣d=9．则a n=9﹣2（n﹣1）=11﹣2n．由a n=11﹣2n≥0，得，∵n∈N*，∴n≤5．即数列{a n}的前5项大于0，自第6项起小于0．∴当S n取得最大值时，n的值为5．故选：D．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4. 设函数,则（）A． B． C． D．3参考答案：B5. 若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f()的定义域是( )A．[，1] B．[，]C．[4,16] D．[2,4]参考答案：B6. 函数的图象过定点（）A．（3，2） B．（2，1）C．（2，2）D．（2，0）参考答案：C略7. P为圆上任一点，则P与点的距离的最小值是（）A．1 B．4 C．5 D．6参考答案：B8. 已知函数f（x）=，则f（2）=（）A．3 B．2 C．1 D．0参考答案：C【考点】函数的值．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：由分段函数可知，f（2）=﹣2+3=1，故选：C．9. 已知则等于 ( )A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：C略10. 设集合,,则为（）A． B． C．D．R参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知全集，集合，则=.参考答案：12. 函数+的定义域是 .（要求用区间表示）参考答案：13. 函数f（x）=2|x|+ax为偶函数，则实数a的值为．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2|x|+ax为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即2|﹣x|﹣ax=2|x|+ax，则a=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，比较基础．14. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下：则该几何体的体积为.参考答案：54π15. 如图所示，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD ，则下列结论正确的是．（1）A′C⊥BD；（2）∠BA′C=90°；（3）CA′与平面A′BD所成的角为30°；（4）四面体A′﹣BCD的体积为．参考答案：（2）（4）考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，依次分析命题：对于（1），可利用反证法说明真假；对于（2），△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°；对于（3）由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知真假；对于（4），利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．解答：解：∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，平面A'BD⊥平面BCD，则由A′D与BD不垂直，BD⊥CD，故BD与平面A′CD不垂直，则BD仅于平面A′CD与CD平行的直线垂直，故（1）不正确；由题设知：△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是（2）正确；由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，CD⊥A′D，∵A′D=CD，∴△A′CD为等腰直角三角形，∴∠A′DC=45°，则CA′与平面A′BD所成的角为45°，知（3）不正确；V A′﹣BCD=V C﹣A′BD=，故（4）正确．故答案为：（2）（4）．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．16. 不等式的解集为____________参考答案：17. （5分）已知f（x）=在区间（m2﹣4m，2m﹣2）上能取得最大值，则实数m 的取值范围为．参考答案：（1，3]考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数f（x）=的图象，结合图象及指数函数与二次函数的性质可得，从而解得．解答：作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，；解得，1＜m≤3；故实数m的取值范围为（1，3]；故答案为：（1，3]．点评：本题考查了基本初等函数的图象的作法及数形结合的应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
