2.1.1.2分数指数幂学案

2.1.1 指数与指数幂的运算(二)学习目标 1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义．知识点一分数指数幂思考根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？①5a10＝5a25＝a2＝105a(a>0)；②a8＝a42＝a4＝82a(a>0)；③4a12＝4a34＝a3＝124a(a>0)．答案当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数．梳理分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：1mnmnaa-=(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．知识点二有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．知识点三无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．6342(2)(2).-=-( ×)2．111222[(2)(3)](2)(3).-⨯-=--( × ) 3．当a >0时，(a r )s＝(a s )r.( √ ) 4．22.∈R ( √ )类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化 命题角度1 分数指数幂化根式例1 用根式的形式表示下列各式(x >0)．25(1);x 53(2).x -考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 解 (1)25x ＝5x 2.(2)53x-＝13x 5.反思与感悟 实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握． 跟踪训练1 用根式表示2132xy -(x >0，y >0)．考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 解 22123332121.xy y y xx-=⋅=⋅ 命题角度2 根式化分数指数幂例2 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a >0，b >0. (1)5a 6； (2)13a 2；(3)4b 3a 2； (4)－a6.考点 根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂解(1)6 565.a a=(2)23232311.aa a-==(3)4b3a2132133444242.bb a a aa--⎛⎫===⎪⎝⎭(4)66632 ().a a a a -===反思与感悟指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a≤0时，mna有时有意义，有时无意义．如133(1)11,-=-=-但12(1)-就不是实数了．为了保证在mn取任何实数时，mna都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．跟踪训练2 把下列根式化成分数指数幂：(1) 682；(2) a a(a>0)；(3)b3·3b2；(4)13x5x22.考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂解117766362212 8222(2)2;=⋅==1331322224();a a a a a a a=⋅===(3)211332333;b b b b b=⋅=359132495223333535255511.()()()xx x x xx x x x x-======⋅⋅类型二运用指数幂运算公式化简求值例3 计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)10.5233177 (0.027)2;1259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的加减运算解10.5233177 (0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝(30.027)2＋312527－259＝0.09＋53－53＝0.09.(2)211511336622(2)(6)(3);a b a b a b-÷-考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算解原式＝211115326236[2(6)(3)]44.a b ab a+-+-⨯÷－－＝＝(3)111222. m mm m--+++考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算解1111 122222 111122222(). m m m mm m m m m m-----+++==+ ++反思与感悟一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．跟踪训练3 (1)化简：130.256 178; 86-⎛⎫⎛⎫⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的四则混合运算解原式＝1111131(1)()36623 334424481(2)2(2)(3)2223112.-⨯-+⨯+⨯+⨯=+++=(2)化简：213211113625;1546x yx y x y---⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算解2121111 32(1)()332261111362565(4)51546x yx yx y x y-⎛⎫-------⎪⎝⎭--⎛⎫=⨯-⨯-⨯⨯⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭110662424.x y y==(3)已知11225,x x-+=求x2＋1x的值．考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值解由11225,x x-+=两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理，得x＋x－1＝23，则有x2＋1x＝23. 类型三运用指数幂运算公式解方程例4 已知a>0，b>0，且a b＝b a，b＝9a，求a的值．考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值解方法一∵a>0，b>0，又a b＝b a，1119()()(9),ab ab b ba b a b a a∴=⇒=⇒=818249993 3.a a a∴=⇒=⇒=方法二∵a b＝b a，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝43.反思与感悟指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到代入、消元等目的．跟踪训练4 已知67x＝27,603y＝81，求3x－4y的值．考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值解由67x＝33，3673,x=得由603y＝81，46033,y=得433y x-∴＝60367＝9＝32，∴4y－3x＝2，故3x－4y＝－2.1．化简238的值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 答案 B 2．1225-等于( )A ．25B.125C ．5D.15考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 答案 D3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝12()(0)x x -> B.6y 2＝13(0)y y <C ．33441(0)xx x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭D ．133(0)xx x -=-≠考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 C4．(36a 9)4＝________.考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 a 25．计算2122242+-⨯的结果是________．考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 答案 161．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．2．指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．一、选择题1．化简式子122[(3)]-的结果是( ) A.3B ．－3C.33D ．－33考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 C 解析 112223[(3)]333---=== 2．化简3－a ·6a 的结果为( ) A ．－a B ．－－a C.－aD.a考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 A解析 显然a ≥0.111113636362·.a a a a aa a +-g =－＝－=-＝－3.3a 2·a 等于( )57511681212A B C D a a a a ．．．．考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 B 解析2111323412.a a aa +==4．34(32)x --中x 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 答案 C 解析34341(32)(32)x x --==-要使该式有意义，需3－2x >0，即x <32.5．1113622,3,6这三个数的大小关系为( ) A ．111632632<< B ．111632623<< C ．111362236<<D ．111362326<<考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的互化 答案 B 解析3121163662228,339,6=======∵66<68<69，111632263.<∴<6．如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1B.x ＋1x C.x －1x ＋1D.xx －1考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 D解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b＝1＋1x －1＝x x －1. 7．设1122.a a m --=则a 2＋1a等于( )A ．m 2－2 B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2题点 附加条件的幂的求值 答案 C 解析 将1122a am --=两边平方，得211222,a a m -⎛⎫-= ⎪⎝⎭即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2， 即a ＋1a ＝m 2＋2，所以a 2＋1a＝m 2＋2.8若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( ) A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 D解析 设a b －a －b＝t .∵a >1，b >0， ∴a b >1，a －b<1， ∴t ＝a b －a －b>0，则t 2＝(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴t ＝2. 二、填空题9．计算33＝________.考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 答案116解析 原式＝33＝47－9＝4－2＝116. 10．若a >0，且a x ＝3，a y＝5，则22y x a +=________.考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 答案 9 5解析 11222222()()35y x x y aa a +=⋅=⋅=11．(3＋2)2015×(3－2)2016＝________.题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 答案3－ 2解析 (3＋2)2015×(3－2)2016＝[(3＋2)(3－2)]2015×(3－2)＝12015×(3－2)＝3－ 2.12．化简2312a ---⎛÷的值为________． 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的乘除运算 答案 1566a b-解析 原式＝221131322111322a ba bb a a b ----⎛⎫⋅ ⎪÷ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭2121132113221132211123332233227166711166()()()a b aba b aba b a b ab ab------+------⋅=÷⋅=÷=÷=＝1566a b-.三、解答题 13．计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)111201130.2534730.00813813100.027.88-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⨯⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算解(1)原式＝112112112133333333347333263(33)363323233---⨯-⨯⨯-⨯+⨯=-⨯+=⨯-⨯⨯113323230.=⨯-⨯= (2)原式=1141142113333(31)310(0.3)102-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⨯+-⨯⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1123112101100.330.1033333--⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 四、探究与拓展14．已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a －1)(d －1)＝(b －1)·(c －1)． 考点 有理数指数幂的运算性质 题点 附加条件的幂的求值 证明 ∵2a·3b＝6＝2×3，∴2a －1·3b －1＝1.∴(2a －1·3b －1)d －1＝1，即2(a －1)(d －1)·3(b －1)(d －1)＝1.①又2c ·3d＝6＝2×3，∴2c －1·3d －1＝1.∴(2c －1·3d －1)b －1＝1，即2(c －1)(b －1)·3(d －1)(b －1)＝1.②由①②知2(a －1)(d －1)＝2(c －1)(b －1)，∴(a －1)(d －1)＝(b －1)(c －1)．15．已知函数f (x )＝11335x x --，g (x )＝11335x x -+.(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(已知y ＝13x 在R 上是增函数)(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明． 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式与分数指数幂的四则混合运算 (1)证明 设x 1>x 2>0，∵y ＝13x 在R 上是增函数，113312.x x ∴>又∵()13120x x ->，∴f (x 1)－f (x 2)＝111111133333331122121211()()1()0.55x x x x x x x x ---⎡⎤--+=-+>⎢⎥⎣⎦∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解 经计算知f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)·g (3)＝0，由此猜想：f (x 2)－5f (x )g (x )＝0. 证明如下：f (x 2)－5f (x )g (x )221111222233333333331111()()()()()0.5555x x x x x x x x x x -----=--+-=---=。

一、[教学设计]
探究1：n次方根的概念
由初中所学知识及示例完成下面填空
示例：①(±2)2＝4，则称±2为4的；
②23=8，则称2为8的；
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的；25=32，则2叫做32的
xn=a，其中n＞1，且n∈N﹡
归纳总结：n次方根的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N﹡.
得x＜ .
3．化简 (a，b>0)的结果是()
A． B．abC． D．a2b
解析原式＝ ÷ ＝a(3＋ )× b(2＋ )× ÷ ＝a － ×b － ＝ .
4．2－ ＋ ＋ － ·8 ＝________.
解析原式＝ ＋ ＋ ＋1－22＝2 －3.
5．已知3a＝2,3b＝ ，则32a－b＝________.
解析由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，
解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
12．计算下列各式的值：
(1)(0.027) － ＋256 ＋(2 ) －3－1＋π0；
(2)7 －3 －6 ＋ ；
(3)(a ·b－ )－ · ÷ (a＞0，b＞0)．
当n为偶数时，
0的任何次方根都是0，记作 =0.
探究2：根式的概念
探究点2在方根的表示中，你知道式子叫什么吗？
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
探究3：根式的运算性质
=2
结论 =a
2、求下列各式的值
(1) =_____ =_________
结论:an开奇次方根,则有 =a

2
（1） (2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 ) ；
1
1
1
1
5
1
（2） (m 4 n 8 )

3 8
2
鸡西市第十九中学高一数学组
例 4、计算下列各式 （1） ( 3 25 125) 4 25 ； （2）
a2 a 3 a2
(a 0) .
【常用的变换方法】 ①小数化分数，根式化分式指数幂 ②指数是负数，变分式化简 ③部分看作整体，借助有理式的乘法及因式分解变形整理 ④分式能约分的要约分 补充例 5、已知 a a
）.
m n m n D. a a a
n n n C. ( ) a b
a b
2.用分数指数幂表示下列各式.
3
x 2 ( x 0)
4
(a b)3 (a b 0)
3
( m n) 2 ( m n)
( m n) 4 ( m n)
p 6 q5 (q 0)
m3 m
1 2 1 2
1 2 2 2 ，求： （1） a a ； （2） a a .
(a 0)
【小结】解这类题，要注意运用下列公式：
1 1 1 1 2 2 2 2 a b a b a b,
1 1 1 1 2 2 2 2 a b a 2 a b b,
2
例 1、求值： 8 3 ；
25 2 ；

1
1 ( ) 5 ； 2
16 3 ( ) 4 81
2
练习：① 27 3 ；
② 16

1 2
；
2 ③( ) ；

§指数与指数幂的运算（2）1.理解分数指数幂的概念；2.掌握根式与分数指数幂的互化；3.掌握有理数指数幂的运算.一、课前准备：（预习教材P 50~P 53，找出疑惑之处） 复习1：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的，其中1n >,n *∈N .简记为：.的式子就叫做，具有如下运算性质：n =；=. 复习2：整数指数幂的运算性质：（1）=⋅n m a a ；（2）()m n a = ；（3）()n ab =.二、新课导学 ※学习探究：引例：a >01025a a ===；23a =，= .新知：规定分数指数幂如下：*(0,,,1)m na a m n N n =>∈>；*1(0,,,1)mnm naa m n N n a-==>∈>.试试：（1）将下列根式写成分数指数幂形式：=；=；=(0,)a m N *>∈.（2）将下列分数指数幂写成根式形式：322=；255=；436-=；32-a= )0(≠a .反思：①0的正分数指数幂为 ； 0的负分数指数幂 .②分数指数幂有什么运算性质？小结：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：（0,0,,a b r s Q >>∈）s r s r a a a +=；rs s r a a =)(；rr r b a ab =)(．※典型例题 例1求值：=328；=-2125；=-5)21(；=-43)8116(.例2用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b >： （1）=•a a 3；（2）a 2•√a 23=；（3）=•3a a；例3计算（式中字母均正）：（1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-（2）88341)(-nm例4计算：（1）4325)12525(÷- （2）)0(322>•a aa a小结：在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则.反思：①结论：无理指数幂.（结合教材P 53利用逼近的思想理解无理指数幂意义）②无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质如何？三、总结提升 ※学习小结①分数指数幂的意义；②分数指数幂与根式的互化；③有理指数幂的运算性质.1. 用分数指数幂表示下列各式：=32x)0(>x ；=+44)(b a；=-32)(n m)(n m >；=-4)(n m)(n m >.=56q p)0(>p ；=mm 3.2.计算下列各式=23)4936(；=-814121aa a ；=⨯⨯63125.132；=---)221(2323131x x x课后作业1.化简下列各式：=623b a a b；=a aa2121；=•••415643)(mm m m m2.计算下列各式（式中字母均正）：=1274331aa a ；=÷654332a a a；=-124331)(yx；(16s 2t −625r 4)−32= ； =-÷---)32(431313132a a ba；=----)4)(3)(2(324132213141y x y xyx；=-+--)32)(32(41214121yx y x；=-÷----)6()3(43221314141yxy x x；。