第十一讲 容斥原理
『方法总结』：
一、二元容斥原理：||||||||A B A B A B =+-。
二、三元容斥原理：||||||||||||||||A B C A B C A B A C B C A B C =++---+
三、学会画出图形来表示两个或者三个对象之间的关系，利用田字格方块图来表示两个对象
的容斥原理，掌握对应数在图形中的特定位置，利用三圆环交叉画来理解三个对象的容斥原理。
例题:
1、六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 人.
[分析与解答]
所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数)=46-(17+14-4)=19(人)
2、在1至10000中不能被5或7整除的数共有 个.
[分析与解答]
在1到10000中,能被5整除的有2000510000
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个),能被7整除的有1428710000=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),能被35整除的有2857310000=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⨯(个).因此能被5或7整除的共有2000+1428-285=3143(个).
从而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(个).
3、在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有 个.
[分析与解答
]
1~10000中完全平方数有100个(因为1002=10000),完全立方数有21个(因为213<10000<223),完全六次方数有4个(因为46<10000<56).
故1~10000中是完全平方数或完全立方数的数共有
100+21-4=117(个);
从而既不是完全平方数,又不是完全立方数的数有
10000-117=9883(个).
4、某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没有一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有 人.
[分析与解答]
如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x ,则依容斥原理,有20+12+10-6-2-x =30,解得x =4.
5、分母是1001的最简真分数有 个.
[分析与解答]
1~1001中,有7的倍数14371001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个);有11的倍数91111001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个),有13的倍数77131001=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡(个);有7⨯11=77的倍数13771001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个),有7⨯13=91的倍数11911001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),有11⨯13=143的倍数71431001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个).有1001的倍数1个. 由容斥原理知:在1~1001中,能被7或11或13整除的数有(43+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个. 10 12 20 6 2 x 排球队 足球队 蓝球队
6、在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有 人,最多有 人.
[分析与解答]
如图,当100人都是或者音乐爱好者,或者体育爱好者时,这两者都爱好的人数为最小值即56+75-100=31(个).
当所有的音乐爱好者都是音乐爱好者时,这两者都爱好的人数最大可为56人.
7、某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数?
[分析与解答]
如图,选甲乙而不选丙的有a =29-24=5(人),选甲丙而不选乙的b =28-
24=4(人),选乙丙而不选甲的有c =26-24=2(人), 仅选了丁的人有d =35-24-a -c =4(人),仅选了丙的人有e =31-24-b -c =1(人),故少选了一科的人数是:甲+d +c +e =45(人),故三门均未选的人数为50-45=5(人).
8、求小于1001且与1001互质的所有自然数的和.
[分析与解答]
由第5题的结论知分母是1001的最简分数的个数是720.又真分数1001
a 和真分数1001
1001a - (a 与1001互质)是成对出现的,故上述720个真分数可以分成360对,每一对=数之和为1,故上述720个分母是1001的真分数之和为360.
所以所有小于1001且与1001互质的数之和为360⨯1001=360360.
音乐 爱好者 体育 爱好者
甲 乙 丙 24 a b c d e
9、如图所示,A 、B 、C 分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A 与B ,B 与C ,C 与A
C
三个图形公共部分(阴影部分)的面积. [分析与解答]
设阴影部分的面积是x ,由容斥原理知
28-(5+3+4)+x =18,
故x =2.
10、分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和.
[分析与解答]
因为385=5⨯7⨯11,故在1~385这385个自然数中,5的倍数有 765385=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),7的倍数有557385=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),11的倍数有355385=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个), 5⨯7=35的倍数有1135385=⎥⎦⎤⎢⎣⎡(个),5⨯11=55的倍数有755385=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡(个),7⨯11=77的倍数有⎥⎦
⎤⎢⎣⎡77385=5(个),385的倍数有1个. 由容斥原理知,在1~385中能被5、7或11整除的数有77+55+35-(11+7+5)+1=145(个),而5、7、11互质的数有385-145=240(个).即分母为385的真分数有240(个).
如果有一个真分数为385a ,则必还有另一个真分数385
385a -,即以385为分母的最简真分数是成对出现的,而每一对之和恰为1.故以385为分母的240最简分数可以分成120时,它们的和为1⨯120=120.
11、64人订A 、B 、C 三种杂志.订A 种杂志的28人,订B 种杂志的有41人,订C 种杂志的有20人, 订A 、B 两种杂志的有10人,订B 、C 两种杂志的有12人,订A 、C 两种杂志的有12人,问三种杂志都订的有多少人?
[分析与解答]
设三种杂志均订的人数为x ,则有28+41+20-10-12-12+x =64,解得x =9,即三种杂志都订的有9人.
