2019版高考数学大一轮复习人教B版全国通用文档：第六章 数列高考专题突破三 含答案 精品
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高考专题突破三 高考中的数列问题
【考点自测】
1．(2017·洛阳模拟)已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则a1＋a5＋a9a2＋a3等于( )
A．2 B．3 C．5 D．7
答案 B
解析 ∵在等差数列{an}中，a2，a4，a8成等比数列，∴a24＝a2a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴d2＝a1d，
∵d≠0，∴d＝a1，∴a1＋a5＋a9a2＋a3＝15a15a1＝3.故选B.
2．(2018·衡水调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为( )
A.100101 B.99101
C.99100 D.101100
答案 A
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，∴ a1＋4d＝5，5a1＋5×5－12d＝15，∴ a1＝1，d＝1，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
∴1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，
∴数列1anan＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.
3．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 D
解析 由题意知a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有：a，－2，b；b，－2，a. ∴ ab＝4，2b＝a－2或 ab＝4，2a＝b－2，解得 a＝4，b＝1或 a＝1，b＝4.
∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.
4．(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝33，b1＋b6＋b11＝7π，则tan b3＋b91－a4·a8的值是( )
A．1 B.22
C．－22 D．－3
答案 D
解析 {an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·a6·a11＝33，b1＋b6＋b11＝7π，∴a36＝(3)3,3b6＝7π，
∴a6＝3，b6＝7π3，
∴tanb3＋b91－a4·a8＝tan2b61－a26＝tan2×7π31－32
＝tan－7π3＝tan－2π－π3＝－tan π3＝－3.
5．(2018·保定模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N＋都有Sn＝23an－13，若1
(k∈N＋)，则k的值为________．
答案 4
解析 由题意，Sn＝23an－13，
当n≥2时，Sn－1＝23an－1－13，
两式相减，得an＝23an－23an－1，
∴an＝－2an－1，又a1＝－1，
∴{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列，
∴an＝－(－2)n－1，
∴Sk＝－2k－13，
由1
又k∈N＋，∴k＝4.
题型一 等差数列、等比数列的综合问题
例1 (2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n 项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N＋.
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
(2)设双曲线x2－y2a2n＝1的离心率为en，且e2＝2，求e21＋e22＋…＋e2n.
解 (1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，
故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，
从而an＝qn－1.
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，
所以a3＝2a2，故q＝2.
所以an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)由(1)可知，an＝qn－1，
所以双曲线x2－y2a2n＝1的离心率en＝1＋a2n＝1＋q2n－1.
由e2＝1＋q2＝2，解得q＝3，
所以e21＋e22＋…＋e2n
＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]
＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]
＝n＋q2n－1q2－1＝n＋12(3n－1)．
思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略
(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．
(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
跟踪训练1 (2018·沧州模拟)已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－1Sn(n∈N＋)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
于是q2＝a5a3＝14.
又{an}不是递减数列且a1＝32，所以q＝－12.
故等比数列{an}的通项公式为an＝32×－12n－1
＝(－1)n－1·32n.
(2)由(1)得Sn＝1－－12n＝ 1＋12n，n为奇数，1－12n，n为偶数.
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1
故0
当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，
所以34＝S2≤Sn<1，
故0>Sn－1Sn≥S2－1S2＝34－43＝－712.
综上，对于n∈N＋，总有－712≤Sn－1Sn≤56.
所以数列{Tn}的最大项的值为56，最小项的值为－712.
题型二 数列的通项与求和
例2 (2018·邢台模拟)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－14nanan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2×12×2＝2a1＋2，
S4＝4a1＋4×32×2＝4a1＋12， 由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，
解得a1＝1，所以an＝2n－1.
(2)bn＝(－1)n－14nanan＋1
＝(－1)n－14n2n－12n＋1
＝(－1)n－112n－1＋12n＋1.
当n为偶数时，
Tn＝1＋13－13＋15＋…＋12n－3＋12n－1－12n－1＋12n＋1
＝1－12n＋1＝2n2n＋1.
当n为奇数时，Tn＝1＋13－13＋15＋…－12n－3＋12n－1＋12n－1＋12n＋1
＝1＋12n＋1＝2n＋22n＋1.
所以Tn＝ 2n＋22n＋1，n为奇数，2n2n＋1，n为偶数.(或Tn＝2n＋1＋－1n－12n＋1)
思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息．
(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等．
跟踪训练2 (2018·大连模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝12，an＋1＝n＋12nan(n∈N＋)．
(1)证明：数列ann是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.
(1)证明 ∵a1＝12，an＋1＝n＋12nan，
当n∈N＋时，ann≠0，
又a11＝12，an＋1n＋1∶ann＝12(n∈N＋)为常数，
∴ann是以12为首项，12为公比的等比数列．
(2)解 由ann是以12为首项，12为公比的等比数列， 得ann＝12·12n－1，∴an＝n·12n.
∴Sn＝1·12＋2·122＋3·123＋…＋n·12n，
12Sn＝1·122＋2·123＋…＋(n－1)12n＋n·12n＋1，
∴两式相减得12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n·12n＋1＝12－12n＋11－12－n·12n＋1，
∴Sn＝2－12n－1－n·12n
＝2－(n＋2)·12n.
综上，an＝n·12n，Sn＝2－(n＋2)·12n.
题型三 数列与其他知识的交汇
命题点1 数列与函数的交汇
例3 (2018·长春模拟)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N＋)．
(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln 2，求数列anbn的前n项和Tn.
解 (1)由已知，得b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，
有2a8＝4×2a7＝2a7＋2，
解得d＝a8－a7＝2，
所以Sn＝na1＋nn－12d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.
(2)f′(x)＝2xln 2，f′(a2)＝2a2ln 2，
故函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝2a2ln 2(x－a2)，
它在x轴上的截距为a2－1ln 2.
由题意，得a2－1ln 2＝2－1ln 2，
解得a2＝2，
所以d＝a2－a1＝1.
从而an＝n，bn＝2n，anbn＝n2n.
所以Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，
