当前位置：文档之家 › 第十六章 不定积分

第十六章 不定积分

  • 格式：doc
  • 大小：789.00 KB
  • 文档页数：18

1 第十六章 不定积分

知识结构图：

分部积分法第二换元积分法第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质几何意义定义不定积分原函数

教学目的要求：

1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。

2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。

3．了解不定积分在经济问题中的应用。

教学重点：

1．原函数与不定积分的概念

2．不定积分的性质与基本积分公式

3．直接积分法

4．换元积分法

5．分部积分法

教学难点：

1．不定积分的几何意义

2．凑微分法、分部积分法求不定积分

第一节 不定积分的概念与基本公式

【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。

【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。

【教学重点】1．原函的概念；2.不定积分的概念；3.不定积分的几何意义；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。

【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。 2 【教学时数】2学时

【教学进程】

一、原函数与不定积分的概念

(一)原函数的概念

前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题，

如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为xk2,求此曲线的方程。

②已知某产品的边际成本MC，要求该产品总成本的变化规律()CCq．

１．原函数定义

定义4．1 设)(xf是定义在区间I内的已知函数．如果存在可导函数)(xF，使对于任意的Ix，都有

)()(xfxF或dxxfxdF)()(

则称函数)(xF是函数)(xf的一个原函数。

例1 指出下列函数的原函数:

①xxfcos)( ②23)(xxf ③xaxf)( ④xxf1)(

教师将举例分析：如(cos)sinxx，则cosx是sinx在R上的一个原函数。

2()2xx，则 2x是2x的一个原函数。

教师再问：（1）是否所有的函数都有原函数？什么样的函数才有原函数存在呢？在此，我们不作讨论．我们只给出一个重要的结论．

结论：如果函数()fx在某区间上连续，则其原函数一定存在

（2）25x是不是2x在R上的一个原函数呢？学生回答：是

（3）提出一个函数若存在原函数，则有几个呢？引入

2.原函数个数

定理4．1 如果函数()Fx是()fx的一个原函数，则()FxC也是()fx的原函数，且()fx的所有原函数都具有()FxC的形式（C为任意常数）．

(二)不定积分的概念

教师指出：在以上的分析中我们看到一个函数()fx有原函数存在，则有无数多个，它们都可以表示为()FxC的形式，我们把它叫做()fx的不定积分。

１．不定积分定义

定义4．2 如果函数()Fx是()fx的一个原函数，则称()fx的全体原函数()FxC 3 （C为任意常数）为()fx的不定积分，记作

CxFdxxf)()(

其中称为积分号，()fx称为被积函数，()fxdx称为积分表达式，x称为积分变量，C称为积分常数．

例2 求下列函数的不定积分:

①xxf2)( ②xexf)( ③xxf1)(

2．不定积分几何意义

提问：不定积分是否像导数那样具有某种几何意义呢？

观察图4-1，根据不定积分的定义，具有这样的性质：

结论：()FxC表示的是一族曲线，其中任意一条曲线都可以由曲线()yFx沿y轴上、下平移得到．这积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线的切线都是互相平行的（如图4-1所示）。

例3 已知某曲线上一点（－1，2），且过曲线上任意一点的

切线斜率等于该点横坐标的两倍，求此曲线的方程

课堂练习(一)：

求下列函数的一个原函数与不定积分:

①3()4fxx ②2()cscfxx ③xxf2)(

3．不定积分的性质

提问：若对于任意的xI,()()fxgx，那么()?fxdx，[()]?fxdx

性质1（积分运算与微分运算互为逆运算）

[()]()fxdxfx 或 [()]()dfxdxfxdx

()()fxdxfxC 或 ()()dfxfxC

性质2 （不定积分的运算法则）

两个函数代数和的不定积分，等于这两个函数不定积分的代数和，即

dxxgdxxfdxxgxf)()()()(

推广：有限个函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即

dxxfdxxfdxxfdxxfxfxfnn)()()()()()(2121 4 性质3 （不定积分的运算法则）

被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

()()kfxdxkfxdx (0k)

4．不定积分的基本公式

设想：导数运算与积分运算是互为逆运算，那么我们是否可以通过导数基本公式得到相应的不定积分公式？结论是肯定的，

师生配合，根据导数基本公式，以及例1、2和课堂练习（一）得如下不定积分公式：

1.0dxC 2. 111xdxxC (1)

3. 1lndxxCx 4. 1lnxxadxaCa xxedxeC

5. sincosxdxxC 6. cossinxdxxC

7. 2sectanxdxxC 8. 2csccotxdxxC

9.

2arcsin1dxxCx 10. 2arctan1dxxCx

11. sectansecxxdxxC 12. csccotcscxxdxxC

利用基本积分表和不定积分的性质，可以直接计算一些简单的不定积分,或将被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分的基本性质和基本积分公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法．

例4 求221(35)1xxedxx

解 221(35)1xxedxx221351xxdxedxdxx

35arctanxxexC

例5 求 (35sin)xxexdx

解 (35sin)35sinxxxxexdxedxxdx

(3)5sinxedxxdx(3)5cosln(3)xexCe

例6 求2(1)xdxx

解 2(1)21xxxdxdxxx112dxdxdxxx 5 4lnxxxC

例7 求2211xdxx

解 2222212(1)12111xxdxdxdxdxxxx

2arctanxxC

例8 求2tanxdx

解 222tan(sec1)secxdxxdxxdxdxtanxxC

例9 求2cos2xdx

解 21cos11coscos2222xxdxdxdxxdx11sin22xxC

例10 求221sincosdxxx

解 221sincosdxxx2222sincossincosxxdxxx2211cossindxxx

tancotxxC

课堂练习（二）：求下列不定积分

①dxxx ②dxxxx21

③dxxxxx)1(2222 ④dxxx292

本堂课小结：

主要内容：原函数、不定积分的概念；不定积分的性质与运算法则；直接积分法。

重点：不定积分性质与基本公式，直接积分法。

难点：经恒等变形后使用直接积分法计算不定积分。

6 第二节 换元积分法

【教学内容】第一类换元积分法、第二类换元积分法求函数的不定积分。

【教学目的】理解第一类换元、第二类换元积分法的思想方法，熟练掌握第一换元积分法（凑微分法），知道常用第二换元积分计算不定积分的被积函数类型，掌握第二换元积分法步骤。

【教学重点】1.第一类换元积分法；2.第二类换元积分法。

【教学难点】1.积分方法的合理选取；2.凑微分法

【教学时数】3学时

【教学进程】

导入新课：

1. 不定积分与导数运算是互逆运算；

2. 不定积分基本公式及其性质只能解决一些较简单函数的不定积分；

3. 复习复合函数的导数法则，引入新课。

一、第一类换元积分法

教师举例分析不定积分：xdx2cos 的计算过程，导入第一类换元积分法。

（一）第一类换元积分公式

如果)()(),(xxuf和都是连续函数，并且容易求得)(uf的一个原函数)(uF，则有如下公式：

)()]([)()]([xdxfdxxxf凑微分

C)]([F)()()(＋回代令xCuFduufxu

利用复合函数的求导法则，可以验证上式的正确性．

用这种方法的计算程序是先“凑”微分式，再作变量置换，因此我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微分法．

例1 求下列不定积分（第一小题写出中间变量，以后逐步脱离中间变量的设置）

（1）1xdx （2）dxx4)12(

（3）dxx211 （4）dxex12

常见类型一：

通常形如：)0()()(1)(abaxdbaxfadxbaxf令ubax进行换元积分。

课堂练习（一） ① 求xdx2sin；除了用上述方法以外还可以怎样做呢？

合集下载

2024年最新人教版高中数学教材目录

2024年最新人教版高中数学教材目录

2024年最新人教版高中数学教材目录

本目录为人教版高中数学教材的2024年最新版，内容涵盖了高中数学的全部知识点，适用于我国高中阶段的学生。教材编写严谨，结构清晰，内容由浅入深，旨在帮助学生掌握数学的基本概念、原理和方法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

第一册

第一章 集合与函数概念

1.1 集合

1.2 函数概念

1.3 函数的性质

第二章 实数与函数

2.1 实数

2.2 函数的单调性

2.3 函数的奇偶性 2.4 函数的周期性

第三章 幂函数、指数函数与对数函数

3.1 幂函数

3.2 指数函数

3.3 对数函数

第四章 三角函数

4.1 三角函数的概念

4.2 三角函数的性质

4.3 三角函数的图像

第五章 数列

5.1 数列的概念

5.2 等差数列

5.3 等比数列

5.4 数列的极限

第二册

第六章 解析几何

6.1 坐标系与直线

6.2 圆

6.3 椭圆

6.4 双曲线

6.5 抛物线

第七章 三角恒等变换

7.1 三角函数的恒等变换

7.2 三角函数的图像与性质

7.3 三角方程与三角不等式

第八章 概率与统计

8.1 随机事件 8.2 概率的计算

8.3 统计量

8.4 概率分布

第九章 函数的导数

9.1 导数的概念

9.2 导数的计算

9.3 导数的应用

第十章 函数的积分

10.1 不定积分

10.2 定积分

10.3 积分的应用

第三册

第十一章 立体几何

11.1 空间点、线、面的位置关系

11.2 空间几何体

11.3 立体几何的度量

第十二章 解析几何（续）

12.1 坐标系与直线（续）

12.2 圆（续）

12.3 椭圆（续）

12.4 双曲线（续）

12.5 抛物线（续）

第十三章 数列（续）

13.1 数列的概念（续）

13.2 等差数列（续）

13.3 等比数列（续）

13.4 数列的极限（续）

第十四章 概率与统计（续）

14.1 随机事件（续）

不定积分例题理工类吴赣昌[]

不定积分例题理工类吴赣昌[]

第4章 不定积分

内容概要

名称 主要内容

不

定

积

分

不

定

积

分

的

概

念 设()fx，xI，若存在函数()Fx，使得对任意xI均有

()()Fxfx

或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx的一个原函数。

()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记为

()()fxdxFxC

注：<1）若()fx连续，则必可积；<2）若(),()FxGx均为()fx的原函数，则()()FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。

性

质 性质1：()()dfxdxfxdx或()()dfxdxfxdx；

性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC；

性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx，,为非零常数。

计

算

方

法

第一换元

积分法

(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC

第二类

换元积

分法 设()xt单调、可导且导数不为零，[()]()ftt有原函数()Ft，则

1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC

分部积分法 ()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux

有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。

本章

的地

位与

作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！

不定积分常用的16个基本公式

不定积分常用的16个基本公式

不定积分常用的16个基本公式

不定积分是微积分中的一个重要概念，指的是对函数进行求导的逆过程。基本公式在求不定积分时十分有用，可以极大地简化计算。以下是16个常用的不定积分基本公式及其推导过程：

1. $\int{x^n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，其中$n$为常数，$C$为常数。

这是幂函数求积分的基本公式。通过对$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)$求导即可推导得到。

2. $\int{\frac{1}{x}}dx = ln，x， + C$。

这是倒数函数求积分的基本公式。通过对$\frac{d}{dx}(ln，x，)$求导即可推导得到。

3. $\int{e^xdx} = e^x + C$。

这是指数函数$e^x$求积分的基本公式。直接对$e^x$求导即可推导得到。

4. $\int{a^xdx} = \frac{a^x}{ln(a)} + C$，其中$a$为常数且$a>0$。

这是指数函数$a^x$求积分的基本公式。通过对$\frac{d}{dx}(\frac{a^x}{ln(a)})$求导即可推导得到。

5. $\int{sinxdx} = -cosx + C$。

这是正弦函数求积分的基本公式。对$-cosx$求导即可推导得到。

6. $\int{cosxdx} = sinx + C$。 这是余弦函数求积分的基本公式。对$sinx$求导即可推导得到。

7. $\int{tanxdx} = -ln，cosx， + C$。

这是正切函数求积分的基本公式。通过对$ln，cosx，$求导即可推导得到。

8. $\int{cotxdx} = ln，sinx， + C$。

这是余切函数求积分的基本公式。通过对$ln，sinx，$求导即可推导得到。

9. $\int{secxdx} = ln，secx + tanx， + C$。

不定积分

不定积分

1 第4章 不定积分

内容概要

名称 主要内容

不

定

积

分

不

定

积

分

的

概

念 设()fx， xI，若存在函数()Fx，使得对任意xI均有 ()()Fxfx

或()()dFxfxdx，则称()Fx为()fx的一个原函数。

()fx的全部原函数称为()fx在区间I上的不定积分，记为

()()fxdxFxC

注：（1）若()fx连续，则必可积；（2）若(),()FxGx均为()fx的原函数，则()()FxGxC。故不定积分的表达式不唯一。

性

质 性质1：()()dfxdxfxdx或()()dfxdxfxdx；

性质2：()()FxdxFxC或()()dFxFxC；

性质3：[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx，,为非零常数。

计

算

方

法

第一换元

积分法

（凑微分法） 设()fu的 原函数为()Fu，()ux可导，则有换元公式：

(())()(())()(())fxxdxfxdxFxC

第二类

换元积

分法 设()xt单调、可导且导数不为零，[()]()ftt有原函数()Ft，则 1()(())()()(())fxdxfttdtFtCFxC

分部积分法 ()()()()()()()()uxvxdxuxdvxuxvxvxdux

有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。

本章

的地

位与

作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！