量子力学习题解答第章

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目录

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第1章波函数与Schrödinger方程1.1复习笔记

1.2课后习题详解

1.3名校考研真题详解

第2章一维势场中的粒子2.1复习笔记

2.2课后习题详解

2.3名校考研真题详解

第3章力学量用算符表达3.1复习笔记

3.2课后习题详解

3.3名校考研真题详解

第4章力学量随时间的演化与对称性4.1复习笔记

4.2课后习题详解

4.3名校考研真题详解第5章中心力场5.1复习笔记

5.2课后习题详解

5.3名校考研真题详解

第6章电磁场中粒子的运动6.1复习笔记

6.2课后习题详解

6.3名校考研真题详解

第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1复习笔记

7.2课后习题详解

7.3名校考研真题详解

第8章自旋8.1复习笔记

8.2课后习题详解

8.3名校考研真题详解

第9章力学量本征值问题的代数解法9.1复习笔记

9.2课后习题详解

9.3名校考研真题详解

第10章微扰论10.1复习笔记10.2课后习题详解

10.3名校考研真题详解

第11章量子跃迁11.1复习笔记

11.2课后习题详解

11.3名校考研真题详解

第12章其他近似方法12.1复习笔记

12.2课后习题详解

12.3名校考研真题详解

内容简介

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本书是曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的学习辅导书，主

要包括以下内容：

（1）梳理知识脉络，浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章

的重难点进行了整理，并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔

记。因此，本书的内容几乎浓缩了该教材的所有知识精华。

（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，

对曾谨言主编的《量子力学教程》（第3版）的课后思考题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。

（3）精编考研真题，培养解题思路。本书精选详析了部分名校近年

第一章 量子力学基础知识--要点

1.1 微观粒子的运动特征

光和微观实物粒子(电子、原子、分子、中子、质子等)都具有波动性和微粒性两重性质，即波粒二象性，其基本公式为：

E=h5ν P=h/λ

其中能量E和动量P反映光和微粒的粒性，而频率ν和波长λ反映光和微粒的波性，它们之间通过Plank常数h联系起来。h=6.626×10-34J.S。实物微粒运动时产生物质波波长λ可由粒子的质量m和运动度ν按如下公式计算。

λ=h/mν

量子化是指物质运动时，它的某些物理量数值的变化是不连续的，只能为某些特定的数值。如微观体系的能量和角动量等物理量就是量子化的，能量的改变为E=hν的整数倍。

测不准关系可表示为： ΔX·ΔPx≥h

ΔX是物质位置不确定度，ΔPx为动量不确定度。该关系是微观粒子波动性的必然结果，亦是宏观物体和微观物体的判别标准。对于可以把h看作O的体系，表示可同时具有确定的坐标和动量，是可用牛顿力学描述的宏观物体，对于h不能看作O的微观粒子，没有同时确定的坐标和动量，需要用量子力学来处理。

1.2 量子力学基本假设

假设1：对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数ψ(x，y，z)来描述，在原子体系中ψ称为原子轨道，在分子体系中ψ称为分子轨道，ψ2dτ为空间某点附近体积元dτ中出现电子的几率，波函数ψ在空间的值可正、可负或为零，这种正负值正反映了微观体系的波动性。ψ描述的是几率波，根据几率的性质ψ必须是单值、连续、平方可积的品优函数。

假设2. 对于微观体系的每一个可观测量,都有一个对应的线性自轭算符。其中最重要的是体系的总能量算符（哈密顿算符）Ｈ

假设3. 本征态、本征值和Schròdinger方程

体系的力学量A的算符与波函数ψ若满足如下关系

式中a为常数，则称该方程为本征方程，a为Ａ的本征值，ψ为Ａ的本征态。Schròdinger方程就是能量算符 的本征值E和波函数ψ构成的本征方程：

第四章习题解答

4.1.求在动量表象中角动量xL的矩阵元和2xL的矩阵元。

解：depzpyeLrpiyzrpippx)ˆˆ()21()(3

dezpyperpiyzrpi)()21(3

deppppierpizyyzrpi))(()21(3

deppppirppizyyz）（3)21)()((

)()(ppppppiyzzy

dLxLpxpppx2*2)()(

depzpyerpiyzrpi23)ˆˆ()21(

depzpypzpyerpiyzyzrpi)ˆˆ)(ˆˆ()21(3

deppppipzpyerpiyzzyyzrpi))()(ˆˆ()21(3

depzpyeppppirpiyzrpiyzzy)ˆˆ()21)()((3

depppprppiyzzy）（322)21()(

量子力学与统计物理习题解答

第一章

1. 一维运动粒子处于)0(0)0()(xxAxexx

的状态，式中>0，求

（1）归一化因子A；

（2）粒子的几率密度；

（3）粒子出现在何处的几率最大？

解：（1）0222)()(dxexAdxxxx

令 x2，则

323232023202224!28)3(88AAAdeAdxexAx

由归一化的定义

1)()(dxxx

得 2/32A

（2）粒子的几率密度

xexxxxP2234)()()(

（3）在极值点，由一阶导数

0)(dxxdP

可得方程

0)1(2xexx

而方程的根

0x；x；/1x

即为极值点。几率密度在极值点的值

0)0(P；0)(limxPx；24)/1(eP

由于P(x)在区间(0，1/)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/，)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为24e，出现在/1x处。

2. 一维线性谐振子处于状态

tixAetx212122),(

（1）求归一化因子A；

（2）求谐振子坐标小x的平均值；

（3）求谐振子势能的平均值。

解：（1）dxeAdxx222

02222dxeAx

0222deA