向量法解立体几何PPT

第三章 3.2 第1课时

A级 基础巩固

一、选择题

1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则导学号 21324937( B )

A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交

[解析] ∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α.

2．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：

①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；

②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；

③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；

④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．

其中正确的个数为导学号 21324938( C )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

[解析] DD1∥AA1，AA1→＝(0,0,1)；BC1∥AD1，AD1→＝(0,1,1)，直线AD⊥平面ABB1A1，AD→＝(0,1,0)；C1点坐标为(1,1,1)，AC1→与平面B1CD不垂直，∴④错．

3．(2017·菏泽高二检测)已知A(1，－3,5)，B(－1，－1,4)是直线l上两点，则下列可作为直线l的方向向量的是导学号 21324939( B )

A．(1,1,0) B．(4，－4,2) C．(－3，－3,0) D．(4,4,2)

4．(2017·福州高二检测)已知向量n＝(2,3，－1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是导学号 21324940( D )

A．(0,3，－1) B．(2,0，－1) C．(－2,3，－1) D．(－2，－3,1)

5．已知向量a＝(2,4,5)、b＝(5，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则导学号 21324941( D ) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝152 C．x＝10，y＝15 D．x＝10，y＝252

[解析] ∵l1∥l2，∴a∥b，

第7讲 立体几何中的向量方法

1．直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量

直线l上的向量e或与e01共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有02无数个．

(2)平面的法向量

如果表示向量n的有向线段所在直线03垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．

显然一个平面的法向量也有04无数个，且它们是05共线向量．

(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则

l∥m⇔06a∥b⇔07a＝kb，k∈R；

l⊥m⇔08a⊥b⇔09a·b＝0；

l∥α⇔10a⊥u⇔11a·u＝0；

l⊥α⇔12a∥u⇔13a＝ku，k∈R；

α∥β⇔14u∥v⇔15u＝kv，k∈R；

α⊥β⇔16u⊥v⇔17u·v＝0.

2．空间向量与空间角的关系

(1)两条异面直线所成角的求法

设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝18|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是(0°，90°])． (2)直线与平面所成角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝19|e·n||e||n|，φ的取值范围是[0°，90°]．

(3)求二面角的大小

如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝20〈AB→，CD→〉.

如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉，取值范围是[0°，180°]．

确定平面法向量的方法

(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量．

(2)待定系数法：取平面内的两个相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由 n·a＝0，n·b＝0，解方程组求得．

专题07 立体几何中的向量方法

【要点提炼】

1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)，则

(1)线面平行

l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(2)线面垂直

l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.

(3)面面平行

α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.

(4)面面垂直

α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.

2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).

(1)线线夹角

设l，m的夹角为θ0≤θ≤π2，则

cos θ＝|a·b||a||b|＝|a1a2＋b1b2＋c1c2|a21＋b21＋c21a22＋b22＋c22.

(2)线面夹角

设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤π2，则

sin θ＝|cosa，μ|＝|a·μ||a||μ|.

(3)面面夹角

设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)，

则|cos θ|＝|cosμ，v|＝|μ·v||μ||v|.

考点

考向一 利用空间向量证明平行、垂直

【典例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：

(1)BE⊥DC；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面PCD⊥平面PAD.

证明 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E为棱PC的中点，得E(1，1，1).

用空间向量解立体几何问题方法归纳(总16页)

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平行垂直问题基础知识

直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)

(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0

(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3

(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4

(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0

例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.

(1)求证：EF∥平面PAB；

(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.

[证明] 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E12，1，12，F0，1，12，EF＝－12，0，0，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．

(1)因为EF＝－12AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.

又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB.

(2)因为AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，

所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.

又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC⊂平面PDC，