北师大版初三数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》

5 一元二次方程的根与系数的关系

勉县第四中学 王勇

一、教学目标

1．知识与技能目标：

（1）掌握一元二次方程根与系数的关系；

（2）会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题．

2．过程与方法目标：

（1）经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力；

（2）在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想．

3．情感、态度与价值观目标：

通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神．

二、教学重点、难点

1．重点：

根与系数关系及应用．

2．难点：

定理的发现及应用．

3．关键：

根与系数关系的应用．

4．突破方法：

在归纳出根与系数的关系后，对学生进行反馈训练，反复练习，通过练习，加深学生对根与系数关系的本质理解，掌握其应用．

三、教法与学法导航

1．教学方法：

观察、归纳、证明是研究事物的科学方法.此节课在研究方程的根与系数关系时，先引导学生观察、归纳其规律，然后再让学生通过证明，印证自己的发现，让学生从探究发现中，寻找快乐．最后再运用发现的规律，让学生不断强化应用，获得解决问题的能力．

2．学习方法：

观察、归纳，在此基础上，证明观察归纳的结果，最后通过反复应用，掌握知识点，形成能力与技巧．

四、教学准备

1．教师准备：

制作课件，布置预习，精选习题．

2．学生准备：

复习公式法解一元二次方程的方法，预习新课．

五、教学过程

1．创设情境，引发兴趣

我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如物理学中，牛顿由苹果落地重到了万有引力定律；欧姆发现电路中的电流、电压、电阻存在一定关系，于是总结出了欧姆定律．而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如，直角三角形的三边a、b、c满足关系222cba．那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢？今天共同去探究，体会一次当科学家的艰辛与幸福．

【设计意图】让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望．

2．研究规律，探索新知

先填空，再找规律：

一元二次方程 1x 2x 21xx 21xx

0122xx

01322xx

01322xx

01452xx 思考：观察表中21xx与21xx的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

学生填表后，让学生分组探究，共同寻找规律．

小组推选代表，交流成果．

教师对学生的发现要给予及时的鼓励与表扬．

【设计意图】通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法．

3．证明规律，掌握新知

课件出示思考题：

你能证明自己的发现么？

生小组讨论证明思路．讨论结束后，以小组为单位举行比赛，看哪一小组证明得又快又好．证明完成后，投影展示证明过程．

证明过程：

由公式法知，一元二次方程)0(02acbxax，在判别式042acb时，方程的一个根aacbbx2421，另一个根aacbbx2422．于是，

两根之和aacbbxx24221aacbb242abab22；

两根之积aacbbxx24221aacbb2422224)4()(aacbb244aacac．

教师对每一组的证明过程进行评价后，要求学生概括根与系数的关系，注意概括的准确与完整．

投影展示根与系数的关系：

如果一元二次方程)0(02acbxax有两个根1x、2x，那么

21xxab，21xxac．

【设计意图】让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程．

4．反馈训练，应用提高 课件出示例1:

求下列方程的两根之和与两根之积：

（1）0672xx； (2) 02322xx；

（3）2415xx； （4）xx322．

分析：和公式法一样，要求方程的两根之和与两根之积，关键是准确确定一元二次方程中a、b、c的值．

解：（1）这里1a，7b，6c．

0256147422acb，

方程有两个不相等的实数根．

设方程的两个实数根是1x、2x，那么

21xx717ab，21xx616ac．

（2）这里2a，3b，2c．

0252243422）（）（acb，

方程有两个不相等的实数根．

设方程的两个实数根是1x、2x，那么

21xx2323ab，21xx122ac．

（3）将方程变成一般式，得01542xx．

这里4a，5b，1c．

09144)5(422acb，

方程有两个不相等的实数根．

设方程的两个实数根是1x、2x，那么

21xx4545ab，21xx41ac．

（4）将方程变成一般式，得0322xx．

这里2a，3b，0c．

09024)3(422acb， 方程有两个不相等的实数根．

设方程的两个实数根是1x、2x，那么

21xx2323ab，21xx0ac．

教师让学生自己尝试练习，在学生练习的基础之上，强调解题步骤的完整与规范．启发学生思考：为什么在求两根之和与两根之积之前，一定要先判定方程根的情况？

【设计意图】让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，通过练习，加深学生对根与系数关系的本质理解．

课件出示例2:

若一元二次方程0242xx的两根是1x、2x，求下列各式的值：

（1）2111xx；（2）2221xx．

分析：由于21212111xxxxxx，2122122212)(xxxxxx，因此，只要根据根与系数的关系，得到21xx与21xx的值，问题就能迎刃而解．

解：这里1a，4b，2c，根据根与系数的关系，可得

21xx414ab，21221acxx．

22411212121xxxxxx；

122242)(2212212221xxxxxx．

教师在讲解中，务必告诉学生，在以后解决一元二次方程的问题时，常会用到根与系数的关系公式，运用这个公式，可以让许多看似复杂的问题简单化．同时让学生思考：在这题的解题过程中，为什么不用再去判别根的情况？

【设计意图】进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，让学生体会到根与系数的关系可以让不少看似复杂的问题变得很简单．

课件出示例3:

若一元二次方程022Axx的两根满足122221xx，求A的值． 分析：本题实际上是例2的变式题，只要从例2的解题思路入手，就能很容易求出a的值．

解：这里1a，Ab，2c，根据根与系数的关系，可得

21xxAAab1，21221acxx．

12222)(2212212221A）（xxxxxx，

即1242A．

解这个方程，得4A．

本题教师放手让学生自己来解决．解题完成后，可以在例3基础上进一步变式，让学生思考：（1）如果一元二次方程022Axx的两根互为相反数，求A的值；（2）如果一元二次方程022Axx的两根之差为22，求A的值；

【设计意图】它是例2的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性．

5．小结教学，总结反思

让学生谈谈本节课的收获与体会：（1）得到了哪些知识？（2）掌握了哪种方法？（3）学会了什么数学思想？……

教师在学生总结的基础上适当引导和点拨．

六、板书展示

5 一元二次方程的根与系数的关系

旧知温习 新知探究 总结反思

根与系数的关系：

公式法 如果一元二次方程)0(02acbxax 知识

根的判别式 有两个根1x、2x，那么 方法

21xxab，21xxac． 整体思想

七、课堂作业 1．若1x、2x是方程0752xx的两根，那么2221xx= ，221)(xx= ．

2．关于x的方程02qpxx的根为211x，2x=21，则p=______，q=__ __．

3．方程0252xx与方程0622xx的所有实数根的和为___________．

4．设方程0532mxx的两根分别为1x、2x，且0621xx，那么m的值等于（ ）．

A．32 B．—2 C．92 D．—92

5．已知1x、2x是一元二次方程031222mxx的两个实数根，且1x、2x满足不等式0)(22121xxxx，求实数m的取值范围．

6．已知关于x的方程0141)1(22kxkx的两根是一个矩形两邻边的长．当矩形的对角线长为5时，求k的值.

八、教学反思

在探究一元二次方程根与系数关系问题时，采用了填表探究的方式，这种方法的优点是；引入自然，有已学内容到未知内容，由浅入深逐步深入，好学易懂．其实，教者也可以在学生初步掌握根与系数的关系时，让学生考虑二次项系数为1的情况，这样，可以加深学生对公式的理解．

教学过程中，教者反复强调：运用公式，必须建立在方程有解的前提下．这样的好处很明显，可以使其学生思路清晰，因果明确．但不足点也很突出，那就是：运算目标不明确，层层深入难度加大，对课堂上学生的理解造成困难，学生在解题，往往不知道什么时候该判别根的情况，什么时候不需要．