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自考04184线性代数(经管类)讲义

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自考高数线性代数课堂笔记

第一章 行列式

线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。

1.1 行列式的定义

（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义

（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如 ，且；

（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）

例如

（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为

例如 =0

三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆

方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：

（1）

=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0

（2）

（3）

（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1 a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问]

解 因为

所以8-3a=0，时

例2 当x取何值时，

[答疑编号10010102：针对该题提问]

解：

解得 0

所以当0

（二）n阶行列式

符号：

它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。n阶行列式通常也简记作。

n阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。

（1）在n阶行列式中，划去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素的余子式，记作

例如，在三阶行列式

中，的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以

相似地，的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。所以

例1 若，求：

（1）

[答疑编号10010103：针对该题提问]

（2）

[答疑编号10010104：针对该题提问]

（3）

[答疑编号10010105：针对该题提问]

（4）

[答疑编号10010106：针对该题提问]

解（1）

（2）

（3）

（4）

（2）符号叫元素的代数余子式

定义：（系数其实是个正负符号） 例2 求例1中的代数余子式

（1）

[答疑编号10010107：针对该题提问]

（2）

[答疑编号10010108：针对该题提问]

（3）

[答疑编号10010109：针对该题提问]

（4）

[答疑编号10010110：针对该题提问]

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）

例3 若

计算 （以上两组数相等）

[答疑编号10010111：针对该题提问]

解：

由于

与例3的结果比较，发现

这一结果说明：三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到n阶行列式作为定义。

定义：n阶行列式

即规定n阶行列式的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果中因为

所以有

特别情形

例4 计算下列行列式

（1）

[答疑编号10010112：针对该题提问]

由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

（2）

[答疑编号10010113：针对该题提问]

可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积

一般地可推得

即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积

同理有

1.2 行列式按行（列）展开

在1.1节讲n阶行列式的展开时，是把按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后，再求出其值。实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。

现在给出下面的重要定理，其证明从略。

定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

（i=1,2,…,n） （1.8）

或 （j=1,2,…,n） （1.9）

其中，是元素在D中的代数余子式。

定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

（i=1,2,…,n） （1.8）

或 （j=1,2,…,n） （1.9）

其中，是元素在D中的代数余子式。

（1.8）式称为D按第i行的展开式，（1.9）式称为D按第j列的展开式，这里i,j=1,2,…

上述展开定理也可以表示成

（i=1,2,…,n）

（j=1,2,…,n）

这两个展开式中的每一项都由三部分组成：元素和它前面的符号以及它后面的余子式，三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素（特别是）抄写下来。

根据定理1.2.1知道，凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。

特别情形

（1）

（2）

例5 计算

[答疑编号10010201：针对该题提问]

解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开（解题技巧）

可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

例5的结果可推广为

我们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值的元素在主对角线的下面）。

例6 计算

[答疑编号10010202：针对该题提问]

解：由于第2行含0最多，所以应按第二行展开

例7 计算

[答疑编号10010203：针对该题提问]

解：将按第6行展开得

例8 计算

（1）

[答疑编号10010204：针对该题提问]

解：按第4行展开

（2）

[答疑编号10010205：针对该题提问]

解：将D按第一行展开

（重新分组后得出）

1.3 行列式的性质与计算

因为n阶行列式是n!项求和，而且每一项都是n个数的乘积，当n比较大时，计算量会非常大，例如，10!=3628800。所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值，这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。下面我们来研究行列式的性质，并利用行列式的性质来简化行列式的计算。

1.3.1 行列式的性质

将行列式D的第一行改为第一列，第二行改为第二列……第n行改为第n列，仍得到一个n阶行列式，这个新的行列式称为D的转置行列式，记为或。即如果

则

性质1 行列式和它的转置行列式相等，即或

根据这个性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的。凡是对“行”成立的性质，对“列”也成立；反之，凡是对“列”成立的性质，对“行”也成立。所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的。

（运用最多）性质2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD。这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数：

证 将左边的行列式按其第i行展开以后，再提出公因数k，即得右边的值：

注意 如果行列式有多行或多列有公因数，必须按行或按列逐次提出公因数。

例1 计算行列式：

[答疑编号10010206：针对该题提问]

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2019年4月全国自考线性代数(经管类)04184真题试题

2019年4月全国自考线性代数(经管类)04184真题试题

2019年4月全国自考线性代数04184真题试题

一、 单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.(04184)设行列式122112212aaaabbbb，则1212aabb

A.-2 B.-1 C.1 D.2

2.设A为2阶矩阵，将A的第1行与第2行互换得到矩阵B，再将B的第2行加到第1行得到单位矩阵，则1A

A.1110 B.1101 C.0111 D.1011

3.设向量(2,1,)Tb可由向量组1(1,1,1)T,2(2,3,)Ta线性表出，则数,ab满足关系式

A.a-b=4 B.a+b=4 C.a-b=0 D.a+b=0

4.设齐次线性方程组1231231232000xxxkxxxxxx有非零解，则数k=

A.-2 B.-1 C.1 D.2

5.(04183) 设3阶实对称矩阵A的秩为2，则A的特征值=0的重数为

A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。

6.(04183)设某3阶行列式第2行元素分别为1,-2,3，对应的余子式为3,2,-2，则该行列式的值为 .

7.已知行列式2031111abc，则203111111abc .

8. 111213212223313233aaaaaaaaa100010201 .

自考线性代数(经管类)试题及答案解析2020年1月

自考线性代数(经管类)试题及答案解析2020年1月

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1

全国2018年1月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；秩（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为三阶方阵且,2A则AAT3（ ）

A.-108 B.-12

C.12 D.108

2.如果方程组0404033232321kxxxxxkxx有非零解,则 k=（ ）

A.-2 B.-1

C.1 D.2

3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ ）

A.AB=BA B.111BABA

C.BABA D.TTTBABA

4.设A为四阶矩阵，且,2A则*A（ ）

A.2 B.4

C.8 D.12

5.设可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是

A.（2，1，1） B.（-3，0，2）

C.（1，1，0） D.（0,-1,0）

6.向量组α1 ，α2 ，…，αs 的秩不为s(s2)的充分必要条件是（ ）

A. α1 ，α2 ，…，αs 全是非零向量 …………………………………………………………精品自学考试资料推荐………………………………………………

2 B. α1 ，α2， …，αs 全是零向量

C. α1 ，α2， …，αs中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D. α1 ，α2， …，αs 中至少有一个零向量

7.设A为mn矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ ）

自学考试-线性代数试卷及答案集合

自学考试-线性代数试卷及答案集合

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试

04184线性代数（经管类）试卷

本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。

说明：本试卷中，TA表示矩阵A的转置矩阵，*A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，A表示方阵A的行列式，Ar表示矩阵A的秩。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶行列式111232221131211aaaaaa=2，若元素ija的代数余子公式为ijA（i,j=1,2,3)，则333231AAA 【 】

A.1 B.0 C.1 D.2

2.设A为3阶矩阵，将A的第3行乘以21得到单位矩阵E，

则A=【 】

A.2 B.21 C.21 D.2

3.设向量组321,,的秩为2，则321,,中 【 】

A.必有一个零向量

B. B.任意两个向量都线性无关

C.存在一个向量可由其余向量线性表出

D.每个向量均可由其余向量线性表出

4.设3阶矩阵466353331A,则下列向量中是A的属于特征值2的特征向量为

【 】

A.011 B.101 C.201 D.211

5.二次型212322213214),,(xxxxxxxxf的正惯性指数为 【 】

2014年7月全国自考线性代数(经管类)试题答案

2014年7月全国自考线性代数(经管类)试题答案

全国2014年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．A 2．C 3．D 4．D 5．C 6．B 7． A 8． C 9． C 10．B

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11．2 12．－12 13．3nE 14．100010000 15．1 16．12121110,,01kkkk为任意实数

17．n 18．20 19．19 20．12a

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．解：1111111110110100=3331101001011100001原式

22．解：由于1122101100101100101100(,)0120100120100120101030010021010010AE

3122112210000101110010，则31221112201110A

23．解：1234113222(,,,002150TTTT

向量组的秩是3，一个极大线性无关组为123,,．

24．解：由于112111(,)10121301AAbaabbb，

则10,1baba即时，方程组一定有解．

25．解：易知()()trAtrBAB，即2122xyy，则01xy

26．解：令11221233xyyxyyxy，

则1231212123312(,,)()()()()fyyyyyyyyyyyyy