平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问
题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程：
一、复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |=|λ||a |；
（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0
2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λμ)a =λa μa ， λ(a b )=λa λb
3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .
二、讲解新课：
1．思考：（1）给定平面内两个向量1e ，2e ，请你作出向量31e 22e ，1e 22e ，
（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e λ22e 的向量表示？ 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e λ22e .
2．探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量
3．讲解范例：
例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e 32e
例2
本题实质是 4．练习1：
1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( D )
A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a ＝λe 1μe 2(λ、μ∈R)
D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1ue 2(λ、u ∈R)
2.已知向量a ＝ e 12e 2，b ＝2e 1e 2，其中e 1、e 2不共线，则ab 与c ＝6e 12e 2的关系（Ｂ ）
A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定
３.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1λ2e 2，则a 与e 1不共线，a 与e 2不共线．
(填共线或不共线).
5．向量的夹角:已知两个非零向量a 、b ，作a A O =，b B O =，则∠AOB ＝θ，叫向量a 、b 的
夹角，当θ=0°，a 、b 同向，当θ=180°，a 、b 反向，当θ=90°，a 与b 垂直，记作a ⊥b
。
6．平面向量的坐标表示
（1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
（2）思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，
如何表示呢？
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一.
),R ( , OP OB OA t AB t AP 表示，用且不共线如图，∈
=.
1 , =++=n m n m AB P B A O 且上，则在直线若点三点不共线，
、、已知
个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○
1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○
2
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向．．．．
量的坐标也为．．．．．．),(y x . 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.
如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定.
设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
7．讲解范例：
例2．教材P96面的例2。
8．课堂练习：P100面第3题。
三、小结：（1）平面向量基本定理；
（2）平面向量的坐标的概念；
四、课后作业：《习案》作业二十一
