2017年春季学期新版湘教版七年级数学下学期4.5、垂线、运用垂直知识解题素材

初中数学试卷4.5 垂线第1课时垂线要点感知1 两条直线相交所成的四个角中,如果有一个是__________角时,这两条直线叫做互相垂直.其中一条直线叫做另一条的__________,它们的交点叫__________.预习练习1-1如图,∠PQR等于138°,SQ⊥QR,QT⊥PQ,则∠SQT等于__________.要点感知2 在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线__________.预习练习2-1在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，d∥c，则a与d的位置关系是__________.要点感知3在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么这条直线____________________.预习练习3-1直线a，b，c中，若a⊥b，b∥c，则a，c的位置关系是__________.知识点1 垂线的概念1.如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )A.20°B.40°C.50°D.60°2.如图,平面内三条直线交于点O,∠1=30°,∠2=60°,AB与CD的关系是( )A.平行B.垂直C.重合D.以上均有可能3.如图,点O在直线AB上，且OC⊥OD.若∠COA=36°,则∠DOB的大小为( )A.36°B.54°C.64°D.72°4.如图，AB⊥CD，垂足为点B，EF平分∠ABD，则∠CBF的度数为__________.5.如图所示，AB与CD交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠BOD=25度，则∠AOE=________度，∠DOF=________度.知识点2 垂线与平行线6.如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2等于( )A.60°B.50°C.40°D.30°7.如图，∠1=∠2，DE⊥AB于点D，则BC与AB的位置关系是__________.8.如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠3,AD平分∠BAC吗？为什么？9.如图，已知∠ABC=90°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB.试说明：(1)CD⊥CB；(2)CD平分∠ACE.10.如图,直线AB，CD相交于点O,OT⊥AB于O,CE∥AB交CD于点C,若∠ECO=30°,则∠DOT=( )A.30°B.45°C.60°D.120°11.如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM. 若∠AOM=35°，则∠CON的度数为( )A.35°B.45°C.55°D.65°12.如图所示,AB,CD相交于点O,OE⊥AB,下列结论错误的是( )A.∠AOC=∠BODB.∠COE+∠BOD=90°C.∠COE+∠AOD=180°D.∠EOB+∠AOE=180°13.在同一平面内，有2 015条直线：a1,a2…a2 015，如果a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4…那么a1与a2 015的位置关系是( )A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．以上都不对14.如图，OA⊥OC，OB⊥OD，∠AOD=125°，则∠BOC的度数是__________°.15.如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．16.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM 和∠NOC的度数.17.已知：如下图，AB，CD，EF三直线相交于一点O，且OE⊥AB，∠COE=20°,OG平分∠BOD，求∠BOG的度数.18.如图，已知∠ADE=∠B，FG⊥AB，∠EDC=∠GFB，试说明：CD⊥AB.19.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线.(1)试说明∠AOC=∠BOD;(2)若∠BOD=32°,求∠AOE的度数.参考答案要点感知1直垂线垂足预习练习1-142°要点感知2 互相平行预习练习2-1平行要点感知3垂直于另一条直线预习练习3-1垂直1.C2.B3.B4.45°5.65 1156.B7.垂直8.AD平分∠BAC.因为AD⊥BC,EG⊥BC,所以AD∥EG.所以∠1=∠E,∠2=∠3.因为∠3=∠E,所以∠1=∠2.所以AD平分∠BAC.9.(1)因为∠DCA=∠CAB，所以AB∥CD.又因为∠ABC=90°，所以AB⊥CB.所以CD⊥CB.(2)因为∠DCA+∠1=90°，所以∠DCE+∠2=90°.又因为∠1=∠2，所以∠DCA=∠DCE.所以CD平分∠ACE.10.C 11.C 12.C 13.B 14.5515.因为AB⊥BC，所以∠1+∠3=90°．因为∠1=55°，所以∠3=35°．因为a∥b，所以∠2=∠3=35°．16.因为OE平分∠BON，∠EON=20°，所以∠BON=2∠EON=40°.所以∠NOC=180°-∠BON=140°，∠MOC=∠BON=40°. 又因为AO⊥BC，所以∠AOC=90°.所以∠AOM=∠AOC-∠MOC=50°.即∠NOC=140°，∠AOM=50°.17.因为OE⊥AB，所以∠AOE=90°.因为∠COE=20°，所以∠AOC=90°-20°=70°.所以∠BOD=∠AOC=70°.因为OG平分∠BOD,∠BOD=35°.所以∠BOG=1218.因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC.所以∠EDC=∠DCB.因为∠EDC=∠GFB，所以∠DCB=∠GFB.所以FG∥CD.因为FG⊥AB，所以CD⊥AB.19.（1）因为OA⊥OB,OC⊥OD,所以∠AOC+∠BOC=90°,∠BOD+∠BOC=90°.所以∠AOC=∠BOD（同角的余角相等）.(2)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.所以∠AOE=180°-∠AOB-∠BOD=180°-90°-32°=58°.第2课时垂线段与点到直线的距离要点感知1在同一平面内,过一点__________直线与已知直线垂直.预习练习1-1过直线AB上一点P,在同一平面内画AB的垂线,可以画的条数是( )A.0B.1C.2D.无数条要点感知2直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,__________最短.简单说成：__________最短.预习练习2-1 如图,计划把河AB中的水引到水池C中,可以先作CD⊥AB,垂足为D,然后沿CD 开渠,则能使所打开的水渠最短,这种方案的设计根据是____________________.要点感知3从直线外一点到这条直线的__________的长度,叫做点到直线的距离.预习练习3-1 点到直线的距离是指( )A．从直线外一点到这条直线的连线B．从直线外一点到这条直线的垂线段C．从直线外一点到这条直线的垂线的长D．从直线外一点到这条直线的垂线段的长3-2 如图，三角形ABC中，CD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是C，E，那么点C到线段AB的距离是线段__________的长度.知识点1 垂线、垂线段及其性质1.如图，已知ON⊥a，OM⊥a，可以推断出OM与ON重合的理由是( )A．两点确定一条直线B．过一点只能作一条直线C．垂线段最短D．在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2.如图,三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP的长不可能是( )A.2.5B.3C.4D.53.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由是____________________.4.如图,某人站在马路的左侧A点处,要到路的右侧,怎样走最近？为什么？如果他要到马路对面的B点处,怎样走最近？为什么？知识点2 点到直线的距离5.P为直线l外一点，A，B，C为l上三点，且PB⊥l，那么下列说法正确的是( )A.线段PA的长度是点P到直线l的距离B.线段PB的长度是点P到直线l的距离C.线段PC的长度是点P到直线l的距离D.线段AC的长度是点A到PC的距离6.如图，AB⊥BC，BD⊥AC，能表示点到直线的距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条7.如图，A，D是直线l1上两点，B，C是直线l2上两点，且AB⊥BC，CD⊥AD，点A到直线l2的距离是线段______的长，点C与l1的距离是线段__________的长.8.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC=6,那么点C到AB的距离是,点A到BC的距离是__________,点B到CD的距离是__________.9.已知直线AB，CB ，l 在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( )10.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内,过一点任意画一条直线垂直于已知直线；④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图，这是一条马路上的人行横道线，即斑马线的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条线路AC、AB、AD中最短的是( )A．AC B．AB C．AD D．不确定12.下列说法中正确的是( )A．有且只有一条直线垂直于已知直线B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离C．互相垂直的两条线段一定相交D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3 cm，则点A到直线c的距离是3 cm13.点P为直线l外一点，点A、B、C在直线l上，若PA=3 cm，PB=4 cm，PC=6 cm，则点P到直线l的距离是( )A．3 cm B．小于3 cm C．小于或等于3 cm D．4 cm14.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=5 cm，BC=3 cm，则BD的长度的取值范围是( )A.大于3 cmB.小于5 cmC.大于3 cm或小于5 cmD.大于3 cm且小于5 cm15.如图，从学校到公路最近的是__________号路线，数学道理是____________________.16.如图,从B村经A村到河边修一条道路,怎样修使道路最短？并说明道理.17.如图，分别画出点A到BC的垂线段,并量出点A到BC的距离.18.如图：在三角形ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB于点D,线段AB，BC，CD的大小顺序如何,并说明理由.19.如图，DE⊥EF,EF=8,DE=15,DF=17.（1）试说出点F到直线DE的距离，点D到直线EF的距离；（2）点E到直线DF的距离是多少？你是怎样求得的？参考答案要点感知1 有且只有一条预习练习1-1 B要点感知2垂线段垂线段预习练习2-1垂线段最短要点感知3垂线段预习练习3-1 D3-2 CE1.D2.A3.垂线段最短4.此人要走到马路的右侧,可沿A点到马路右侧的垂线段走,因为直线外一点到直线的垂线段最短.要到B点处,可沿线段AB走,因为两点之间线段最短.5.B6.D7.AB CD8.4.8 6 6.49.C 10.B 11.B 12.D 13.C 14.D 15.②垂线段最短16.连接AB，过点A作AC垂直于河岸线于点C.理由：两点之间，线段最短；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.17.作图略.18.因为CD⊥AB于点D,所以BC＞CD.因为∠BCA=90°,所以BC⊥AC.所以AB＞BC.所以AB＞BC＞CD.19.（1）因为DE⊥EF,EF=8,DE=15,所以点F到直线DE的距离，点D到直线EF的距离分别是：8,15.（2）设点E到直线DF的距离为h,三角形DEF的面积=12DE·EF=12DF·h,所以17h=8×15,所以h=12017.所以点E到直线DF的距离为12017.。

在平面内垂直于同一条两条直线平行
如图，设a//b，l⊥a，那么l⊥b吗？
l 因为l⊥a，所以∠1＝90º ， 因为a//b，所以∠2＝∠1 ＝90º ，从而l⊥b
1
2
a b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在平面内，如果一直线垂直于两平行线中 的一条，那么这条直线必垂直于另一条.
例1
如图的简易屋架中，BD，AE，HF都垂直于CG，若∠1 ＝60º ，求∠2的度数．
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O， 那么，∠AOD=（ ）度。 数学表达形式： ②性质：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90°（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
动脑筋
如图，在同一平面内，如果a⊥l, b⊥l，那么a//b吗？
1
a 2
b
l
因为∠1＝∠2＝90º ， 它们是同位角，所以 a//b
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
三.垂直的数学表达形式：
如果：直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90° A 那么AB_____CD，垂足为O。
D
数学表达形式： ①判定：∵∠AOD=90°（已知） ∴AB⊥CD（垂直的定义） C
O B
（同位角相等，两直线平行）
又∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDC＝90º
∴∠BFE＝ ∠BDC＝90º（两直线平行，同位角相等）
练习： 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
解: ∵ AB⊥OE （已知）
C
E B D
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) 1( O A ∵ ∠BOD= ∠1=55° （对顶角相等）

垂线段
1. 在同一平面内,过一点 有且只有 一条直线与
已知直线垂直.
2. 直线外一点与垂足之间的线段叫做垂线段.
量一量,比一比. 如图,连接直线l外一点P与直线l上各点O,A1,A2,A3,…,其中
PO⊥l，比较线段PO,PA1,PA2,PA3,…的长短,这些线段中,哪
一条最短?
3. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短. 简单地说成: 垂线段最短.
4、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的_垂__线___段_
的长度.
例1：如图，三角形ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB, 找出图中所有的垂线段.
CD是点 C 到AB的垂线段 C
点A到CD的垂线段是 AD .
AD
B
(打“√”或“×”)
× (1)点到直线的距离是点到直线的垂线段.( ×)
(2)一条直线只有一条垂线.( ) (3)同一平面内,一条直线不可能与两条相交直线
点C到直线AB的距离是
.
A
D
B
D 6、如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5cm,BC=3cm,
则BD的长度的取值范围是( )
A.大于3cm
B.小于5cm
C.大于3cm或小于5cm D.大于3cm且小于5cm
√ 都垂直.( )
√ (4)垂线段最短.( )
(5)两条直线互相垂直,则这两条直线所形成的四
√ 个角都是直角. ( )
【例2】如图,点A表示小明家,点B表示小明外 婆家,若小明先去外婆家拿渔具,然后再去河 边钓鱼,怎样走路最短,请画出行走路径,并说 明理由.
1.如图,三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,
日常生活现象
相应数学原理

4.5 垂线第1课时垂线【知识与技能】了解垂线的概念及垂线的有关性质.【过程与方法】经历观察、操作、交流、归纳、概括等活动，进一步发展空间概念，提高动手操作技能.【情感态度】培养学生合作交流的方法和意识，以及在实际生活中应用数学的意识.【教学重点】垂线的概念及垂线的有关性质.【教学难点】垂线的应用.一、情景导入，初步认知如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、b所成的角α是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a与b是什么位置关系？【教学说明】通过动手操作，使学生初步感知垂直的定义.二、思考探究，获取新知1.观察下图，直线AB与直线CD有什么位置关系？∠AOD有多少度？【归纳结论】两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做互相垂直.其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.垂直用“⊥”表示，如上图，直线AB垂直于直线CD，记作“AB⊥CD”,读作“AB垂直于CD”，垂足为O.生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的,你能再举一些其他的例子吗？两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足，如下图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线，点O是斜足.2.如图，在同一平面内，直线a⊥l,b⊥l,那么a∥b吗？因为a⊥l，所以∠1=90°(垂直定义).因为b⊥l，所以∠2=90°(垂直定义)，所以∠1=∠2，所以a∥b(同位角相等，两直线平行).由此，你可以知道什么？【归纳结论】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.3.如图，在同一平面内，a∥b，如果a⊥l，那么b⊥l吗？因为a⊥l，所以∠1=90°(垂直定义).因为a∥b，所以∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)，所以∠2=90°，所以b⊥l(垂直定义).由此，你可以知道什么？【归纳结论】在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条直线.【教学说明】通过学生亲自证明、推理，这样学生掌握得更牢固.三、运用新知，深化理解1.见教材P97~98例1、例2.2.两条直线相交形成四个角，如果其中一个角为70°，则另外三个角的度数分别是.答案：110°、70°、110°3.下面所叙述的两条直线是否垂直？①两条直线相交所成的四个角相等;②两条直线相交,有一组邻补角相等;③两条直线相交,对顶角互补.解：①②③都是垂直的.4.如图所示，AB⊥CD，垂足为O，OE是一条射线，且∠AOE=35°求∠BOE、∠COE的度数.解：因为AB⊥CD,所以∠AOC=90°.因为∠AOE=35°,所以∠COE=55°.因为AB⊥CD,所以∠COB=90°,所以∠BOE=145°.5.如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1=50°，求∠COB、∠EOB、∠BOF的度数.解：因为OE⊥CD,所以∠DOE=90°,∠COE=90°.因为∠1=50°,所以∠AOD=40°,所以∠COB=40°.所以∠EOB=130°.因为OD平分∠AOF,所以∠DOF=∠AOD=40°.所以∠BOF=180°-∠COB-∠DOF=100°.四、师生互动,课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.1.布置作业:教材P98“练习”.2.完成同步练习册中本课时的练习.课堂时间分配不妥(前松后紧)导致部分学生对知识的实际运用不够灵活，部分题目在教师的点拨下才能完成.针对课堂出现的这些问题，只能在课后对部分特殊的学生进行辅导、纠正，激发他们的学习兴趣，让他们喜欢学习数学.。