数学建模练习题

数学建模习题

题目1

1. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。 比如洁银 牙膏50g装的每支元，120g装的每支元，二者单位重量的价格比是：1.试用比例 方法构造模型解释这个现象。

（1） 分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他 成本等决定，这些成本中有的与重量 w成正比，有的与表面积成正比，还 有与w无关的因素。

（2） 给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但 是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。

解答：

（1）分析：生产成本主要与重量 w成正比，包装成本主要与表面积 s成正比， 其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与 w,s 均无关的成本。又因为形状一定时一般有3事/ ,故商品的价格可表示为

1 一.一一 | 一： : （a，B，丫为大于0的常数）。

（2）单位重量价格',显然c是w的减函数。 说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随 着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。

函数图像如下图所示：

题目2

2. 在考虑最优定价问题时设销售期为 T,由于商品的损耗，成本q随时间增长, 设q = * 0 t, B为增长率。又设单位时间的销售量为x = a - bp（p为价格）

今将销售期分为一二，•一和•匚-丨两段，每段的价格固定，记为 / .

求的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期 T内的总销售量

为丁 ,再求'的最优值

解答：

由题意得：总利润为

||| ：；◎,「.=' 厂 「I 十 、 ^.7 -十+ ' ' ■■''■' ■■- l，J 以宀人h

Pt -(舸 + @ ■ bp$ - b[p2 - (go 3p T/4)]

由一=0, — -「，可得最优价格

设总销量为丁 ,

〔a - bpp dt + J'/a - bp^dt - aT - —(pf +

在此约束条件下U 的最大值点为

$

bT ~ bT a

题目3

3. 某商店要订购一批商品零售，设购进价 G,售出6,订购费Co（与数量无关），随

机需求量r的概率密度为p（r），每件商品的贮存费为 （与时间无关）。问如何确

定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润 为正值，需要对订购费Co加什么限制？

解答：

设订购量为u,则平均利润为

u的最优值时尸满足J； P{r）dr -十三

最大利润为J（/ ）二（巧十曲J： rp{r）dr - %.为使这个利润为正值，应有

他＜ a +对厂巩广妙.

题目4

4. 雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比， 试确定雨速 与雨滴质量的关系 解答：

雨滴质量m体积v,表面积S与某特征尺寸I之间的关系为,

卜心H可得］ ■■。雨滴在重力「和空气阻力•的作用下以匀速v降落， =T/2 (_3 -如/) - b

■ [Co + GjU 十殆](U

』0 r)p (r)dr] rp{_r)dr a up{r)dr

所以也丹，而和*砒&工s/.由以上关系得#庆詁®

题目5

5. 某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资， 可供购进的证券以及其信 用等级、到期年限、收益如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其 他证券的收益需按50%勺税率纳税。此外还有以下限制：

1) 政府及代办机构的证券总共至少要购进 400万元；

2) 所购证券的平均信用等级不超过(信用等级数字越小，信用程度越高)

3) 所购证券的平均到期年限不超过 5年。

表1证券信息

证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益/%

A 市政 2 9

B 代办机构 2 15

C 政府 1 4 5

D 政府 1 3

E 市政 5 2

问：(1)若该经理有1000万元资金，应如何投资？

(2) 如果能够以％勺利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？

(3) 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为%投资应否改变?

若证券C的税前收益减少为%投资应否改变？ 解答：

(1)设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为- ' ---(百万元)，按照规定、

限制和1000万元资金约束，列出模型

max 0 043Kt * 0. 027x2 * 0. + 0. 022x4 亠 0. 045x^

Axi * 10x2 -心 ° 2匕-3心 W Q 临 g g x$ G

用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资百万元，百万元，百万元，最大 税后收益为百万元。

（2） 由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加 100万元，收益可增加百万 元。大于以％勺利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。投资方案需 将上面模型第二个约束右端改为11,求解得到：证券A,C,E分别投资百 万元，百万元，百万元，最大税后收益为百万元。

（3） 由（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券 A的 税前收益可增加%故若证券A的税前收益增加为%投资不应改变；证券 C的税前收益可减少％ （按50%勺税率纳税），故若证券C的税前收益减少 为%投资应该改变。

题目6

6. 某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两

种产品（分别记为A,B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入 混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产 A,B。已知原料甲、乙、

丙、丁的含硫量分别为3% 1% 2% 1%进货价格分别为6,16,10,15 （千元/t ）; 产品A,B的含硫量分别不能超过，（%，售价分别为9,15 （千元/t ）。根据市场 信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为 50t ;产品A,B

的市场需求量分别为100t，200t。问应如何安排生产？

解答：

设「一分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，卜％冷分别是产品B中来

自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为」 -.

优化目标是总利润最大，即

max （9 - 6xf - 16x^ - （75 - dx? - - 15x4）y；

{9 - lOjzt 十（15 - W）z2

约束条件为：

1） 原料最大供应量限制：厂於

2） 产品最大需求量限制： 5 +刃》W 100, 3+扇 W 200

3） 产品最大含硫量限制：

〔鐵』t 2x2 十 %） yt * 2“

对产品A, 「，即

（血r * 2丰心一 2.易門-0. 5zj W C

对产品B,类似可得氐■门 - ■

4） 其他限制：'- ' ■

用LINGO求解得到结果为:心 心 厂 厂 ；此，其余为0;目标函

数值为450.

题目7

7. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，

如何确定模型的参数？

解答：

设耐用品销售量为x(t)，可用logistic 模型描述x(t)的变化规律，即=kx(N-x),

其中N是市场饱和量，k是比例系数，N, k，可由过去若干时期的销售量

ko / -厂2 确定，不妨设八F -林二丄t - !,则方程可离散化为

k心-※呗 -k^h 丿可取w + f -七或(並十十-數一 i)/2, N和k可由最小二

乘法估计。

题目8

8. 在鱼塘中投放，尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。

(1) 设尾数n(t)的(相对)减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼质量的增 加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼质量的减少率与质量本 身成正比。分别建立尾数与每尾鱼质量的微分方程，并求解。

(2) 用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相 对减少量f冷表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t).问如何选择T 和E,使从T开始的捕获量最大。

解答：

(1) 尾数n(t)满足h =~ > 0, n(0)=吨得门仕)二打泸".每尾鱼重

w(t)满足w - 3 ，不妨近似设w(0)=0，得

w(t)二~ 匕 zy.

(2) 设t=T时开始捕捞，且单位时间捕捞率为E,则t| ：能|T时有 - 二」

因此得心)二砂诈 "V，单位时间捕捞鱼的尾数为En(t)，每尾

鱼重w(t)，所以从T开始的鱼捕捞量是

y二此二巾_八十⑺甲曲-讥-心心"，

问题为求卜-弓使y最大，可用数值法求解。

题目9

9. 速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是Q。用量纲分析方法确

设讯二A [: [一 J,量纲表达式： 定风车获得的功率P与v,s,

解答： 的关系

rL •丿 .■ ■ - / :,解得

F（n） = 0, □二Q ，故口二扎/“（h是无量纲常数）。

题目10

10. 大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。岛 上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛 上物种的减少。在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。 解答：

植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作心「DY*.若不考虑自然资源

对植物生长的限制，则模型为

S - 1

射-xj（rf - A fX2）t X2 - z/ 一厂F * A RQ 一 “城?）・舫-A

平衡点为Pl（ 0, 0,0），

题目11

11. 下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入 划（千元），风险偏好度贮 和人寿保险额y （千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调 查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段 中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预 计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系， 并有把握的认为风险偏

好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应 以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。

请你通过表2中的数据建立一个合适的回归模型， 验证上面的看法，并给出进一 步的分析。

表2

序 号

1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 196 63 252 84 126 14 49 49 266

x1

x2 7 5 10 6 4 5 4 6 9

序 号 10 11 12 13 14 15 16 17 18

y 49 105 98 77 14 56 245 133 133

x1

x2 5 2 7 4 3 5〔 1 8 6

解答:

最终的回归方程为二:: ..,且

ff = 0. 9996, F - 11070. 2944. p < 0. QQOK如模型中加入 込也比项，其回归系数

置信区间均含零点）。表明只有经理们的年均收入及其二次项和风险偏好度本身 对他们投保的人寿保险额有显著影响。