JISHOU UNIVERSITY 本科生毕业论文题目：积分不等式的证明方法作者：学号：所属学院：专业年级：指导教师：职称：副教授完成时间：吉首大学教务处制独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
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(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)论文题目：学生签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (2)2 积分不等式的证明方法....................................................................... . (2)2.1 利用定积分的定义证明积分不等式 (2)2.2 利用定积分的基本性质证明积分不等式 (3)2.3 利用积分中值定理证明积分不等式................................................ (4)2.4 利用二重积分证明积分不等式 (5)2.5 利用泰勒公式证明积分不等式 (6)2.6 利用Schwarz不等式证明积分不等式 (7)2.7 利用反证法证明积分不等式 (9)2.8 利用缩放积分区间来证明积分不等式 (9)2.9 构造辅助函数证明积分不等式 (10)2.10 利用函数的凹凸性证明积分不等式 (11)2.11 利用概率论方法证明积分不等式 (13)参考文献 (15)积分不等式的证明方法姚春梅（吉首大学数学与统计学院，湖南吉首 416000 ）摘要：积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用.研究积分不等式的证明方法，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高我们的发散思维能力和创新能力.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用定积分的定义和性质来证积分不等式、利用施瓦兹不等式来证积分不等式、利用中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用反证法来证明积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式等.关键词：积分不等式；施瓦兹不等式；中值定理；泰勒公式；二重积分Proof Methods of the integral inequalityYao Chunmei(College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Hunan Jishou 416000) Abstract:Integral inequality is a kind of important inequality in the calculus，which is broadly used in mathematical analysis. The study of integral inequality can help us not only solve some integral inequality of equation, but also put the primary mathematics knowledge and higher mathematics knowledge together to broaden our horizons and improve our ability of thinking and innovation. The purpose of this paper is to discuss the proving of the Integral inequality from the following aspects: by the use of The definition and nature of the definite integral, Schwarz inequality, mean value theorem, double integral,Taylor formula, Reductio ad absurdum ，concavo convex characteristic of function and so on.Keywords:Integral inequality;Schwartz inequality;Mean value theorem ;Taylor formula; Double integral1 引言在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如210x e dx -⎰），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1'20()f x dx ⎰）因此我们希望对积分值给出某种估计.为此我们来研究积分不等式.我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x ，()()22()cos ()sin 1bbaaf x kxdx f x kxdx+≤⎰⎰都是积分不等式.根据不同积分不等式特征，采取不同的方法.此法不论对初等数学和高等数学都有一定的价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用.2 积分不等式的证明方法2.1 利用定积分的定义证明积分不等式主要是利用定积分的定义，通过将闭区间[]b a ,分割、求和并求0→T 时和的极限比较积分大小则可通过比较和的极限来实现.例 1[]1 设)(x f 在[]1,0上连续，且0)(>x f ，证明dx x f dx x f ⎰⎰≥11)(ln )(ln .分析 题中所给的已知条件较少，在这种条件下利用定积分的定义将区间分割求极限比较简单.证明 现将[]n 1,0等分，则nx i 1=∆.由于nni n i n i f n i f n 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛∏∑== 当⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n f n f n f 21时，即函数)(x f 为常值函数时，上式等号立.两边取对数得∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ni n i n i f n n n i f 11ln 11ln 两边在∞→n 取极限得∑∑=∞→=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ni n n i n n n i f n n i f 111lim ln 1ln lim ()dx x f n i f n dx x f n i n ⎰∑⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥==∞→1011)(ln ln 1lim ln即得dx x f dx x f ⎰⎰≥110)(ln )(ln .2.2 利用定积分的基本性质证明积分不等式例2[]2 已知()x f 在[]0,1上连续，对任意的y x ,都有()()y x M y f x f -<-，求证：()1112nk k Mf x dx fn n n=⎛⎫-≤⎪⎝⎭∑⎰证明 ()()1101knn k k nf x dx f x dx -==∑⎰⎰()()11101111k k n nnn n k k k k k nnk k f x dx f f x dx f dx n n n --===⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰()1111112k k k nn nn n n k k k k k k nn n k k k M f x f dx M x dx M x dx n n nn ---===⎛⎫⎛⎫≤-≤-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰ 总结 此题主要利用定积分的绝对值不等式性质进行分析处理. 例 3 试证()()220cos sin sin cos t dt t dt ππ≥⎰⎰.证明 由定积分的保不等号性，只需证()()t t cos sin sin cos ≥当0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，因224sin 20ππ<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<t ，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以sin cos 2t t π+<，即t t cos sin 2>-π，且0cos sin 2t t π<<-，2cos 0π<<t ，⎪⎭⎫⎝⎛2,0sin π在x 是增函数，所以(),cos sin sin 2sin t t ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-π即()()t t cos sin sin cos ≥，因而⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πt 时，结论成立.2.3 利用积分中值定理证明积分不等式例 4[]3 设)(x f 为]1,0[上的非负单调非增连续函数（即当y x <时，)()(y f x f >），证明：对于10<<<βα,有下面的不等式成立⎰⎰≥αβαβα)()(dx x f dx x f .证明 由题设及积分中值定理有⎰≤≤-≤-=βαβξαβαβξ)(),)(())(()(11a a f f dx x f从而⎰⎰->≥βαααβαdx x f a f dx x f )(1)()(1因此可得⎰⎰≥-αβααβ0)()()1(dx x f dx x f⎰⎰≥-αβαβαβα0)()()1(dx x f dx x f又因10<<<βα,所以11<-βα,故 ⎰⎰≥αβαβα0)()(dx x f dx x f .例 5 设()x f 在[],a b 上连续，(),a b 内可导，()'f x M ≤而()0=a f ，求证：()()⎰-≥badx x f b a M 22证明 由拉格朗日中值定理有：()()()()()',f x f x f a x a f a b ξξ=-=-<<.()'f x M ≤，()(),a x M x f -≤∴于是()()()22a b Mdx a x M dx x f baba-=-≤⎰⎰ 而()()⎰⎰≥b abadx x f dx x f故()()22a b Mdx x f ba-≤⎰即()()⎰-≥badx x f b a M 22.2.4 利用二重积分证明积分不等式例 6 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续且单调增加，求证：⎰⎰⎰≥-bababadx x g dx x f dx x f x g a b )()()()()(分析 右端出现了两个积分，若将两个积分的积分变量换成不同符号则可化为二重积分：=⎰⎰babadx x g dx x f )()(⎰⎰⎰⎰=babab aba dxdy x g y f dx x g dy y f )()()()(⎰⎰=babadxdy y g x f )()(而左边亦可化为二重积分：==-⎰⎰⎰bababa dxdy x g x f dx x f x g ab )()()()()(⎰⎰b abadxdy y g y f )()(这样就化为二重积分的比较了.证明 令 =I ⎰⎰⎰--bababadx x g dx x f dx x f x g a b )()()()()(则=I ⎰⎰b a b a dxdy x g x f )()(⎰⎰-b a ba dxdy y g x f )()(⎰⎰-=b abadxdy y g x g x f )]()()[(同样可得I ⎰⎰-=b a ba dxdy x g y g y f )]()()[(两式相加得0)]()()][()([2≥--=⎰⎰dxdy y g x g y f x f I b aba故=I ⎰⎰⎰--ba b a b a dx x g dx x f dx x f x g a b )()()()()(0≥结论得证.例 7 利用二重积分来证明Schwarz 不等式dx x g dx x f dx x g x f bab ab a⎰⎰⎰≤)()())()((222.证明 222()()(()())bbbaaaf x dxg x dx f x g x dx -⎰⎰⎰222211()()()()()()()()22b b b b b b a a a a a a f x dx g x dx f y dy g y dy f x g x dx f y g y dy =⋅+⋅-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22221[()()()()2()()()()]2bb aa dy f x g y f y g x f x g x f y g y dx =+-⎰⎰21[()()()()]2bb aa dy f x g y f y g x dx =-⎰⎰0≥即有dx x g dx x f dx x g x f bab ab a⎰⎰⎰≤)()())()((222.2.5 利用泰勒公式证明积分不等式例 8[]6 设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，|)(|max ],[x f M b a x ''=∈，证明：3)(24|)2()()(|a b Mb a f a b dx x f ba-≤+--⎰证明 方法1 由泰勒公式有2)2)((21)2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +-''++-+'++=ξ 两边在],[b a 上积分并注意到⎰=+-b a dx ba x 0)2(得⎰⎰+-''++-=b a b a dx b a x f b a f a b dx x f 2)2)((21)2()()(ξ， 从而得24)()2(2|)2)((|21|)2()()(|322a b M dx b a x Mdx b a x f b a f a b dx x f ba b a b a-=+-≤+-''=+--⎰⎰⎰ξ方法2 令⎰=x adt t f x F )()(，则)()(),()(),()(x f x F x f x F x f x F ''=''''=''='且)()()(a F b F dt t f ba-=⎰（牛顿-莱布尼兹公式）， 由泰勒公式有：312)2(6)()2)(2(212)2()2()(a b F a b b a F a b b a F b a F b F -'''+-+''+-+'++=ξ (2.5-1) 322)2(6)()2)(2(212)2()2()(b a F b a b a F b a b a F b a F a F -'''+-+''+-+'++=ξ (2.5-2)由(2.5-1)-(2.5-2)得))()((48)())(2()()(213ξξF F a b a b b a F a F b F '''-'''-+-+'=-所以3213)(24|)()(|48)(|))(2()(|a b Mf f a b a b b a f dx x f ba-≤''-''-=-+-⎰ξξ.2.6 利用Schwarz 不等式证明积分不等式定理2.6.1 (Cauchy 不等式[]5)对任意n 个数0,1,2,3,i a i n ≥=恒有222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑，其中等号当且仅当i i a b 与成比例时成立.我们将这种离散的和的不等式推广到积分不等式，就得到Schwarz 不等式.定理2.6.2 (Schwarz 不等式)[]5 dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰≤)()())()((222,)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续.证明 设⎰⎰⎰-=uauauadx x g dx x f dx x g x f u )()(])()([)(222ψ,b u a ≤≤由)(),(x g x f 连续，则⎰⎰⎰--='uauauadx x f u g dx x g u f dx x g x f u g u f u )()()()()()()()(2)(2222ψ⎰⎰⎰--=uauau adx u g x f dx x g u f dx x g x f u g u f )()()()()()()()(22222⎰+--=uadx u g x f x g x f u g u f x g u f )]()()()()()(2)()([2222⎰≤--=uadx u g x f x g u f 0)]()()()([2所以)(u ψ在],[b a 上单调减少，则0)()(=≤a b ψψ,即0)()(])()([)(222≤-=⎰⎰⎰bab ab adx x g dx x f dx x g x f b ψ得到结论⎰⎰⎰≤bababadx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222.例 9 已知函数()0≥x f ，在[],a b 上连续，()dx x f ba⎰=1,k 为任意实数.求证()()1sin cos 22≤+⎰⎰babakxdxx f kxdxx f证明 由施瓦兹不等式，有()()()()22cos cos ⎰⎰=baba dx kx x f x f kxdxx f()()()⎰⎰⎰=≤bababakxdx x f kxdx x f dx x f 22cos cos (2.6-1)同理()()()()22sin sin ⎰⎰=baba dx kx x f x f kxdxx f()()()22sin sin bbb aaaf x dx f x kxdx f x kxdx ≤=⎰⎰⎰ (2.6-2)由(2.6-1),(2.6-2)得()()1sin cos 22≤+⎰⎰babakxdxx f kxdxx f .2.7 利用反证法证明积分不等式当命题只对某一个别点成立时，最好使用反证法.例 10[]7 设函数()x f 为[]0,1上连续，()⎰=10dx x f ，()⎰=11dx x xf ,求证：存在一点x 当10≤≤x 时，使()4>x f证明 反证法 若10≤≤x 时，()4f x ≤则()()111000111141222x f x dx x f x dx x dx ⎛⎫=-≤-≤-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰因此()4=x f ，)1,0(∈x .由于()x f 是连续的，必有()()44-==x f x f 或,这与()⎰=1dx x f 相矛盾.所以存在一点x 当10≤≤x 时，使()4>x f .2.8 利用缩放积分区间来证明积分不等式例 11 设函数()f x 在[]0,1上有连续二阶导数,(0)(1)0f f ==,()0f x ≠（()0,1x ∈），试证''1()4()f x dx f x ≥⎰. 证明 因()0f x ≠（()0,1x ∈），故()f x 在()0,1内恒正或恒负（否则由介值性知必有零点在()0,1内，与()0f x ≠矛盾），不妨设()0f x >（0<的情况类似可证），()0,1x ∈,因()f x 在[]0,1上连续，故存在[]0,1c ∈，使得01()max ()x f c f x ≤≤=，于是对任意01a b <<<有''''1100()()()()f x f x dx dx f x f c ≥⎰⎰1''''011()()()()b a f x dx f x dx f c f c =≥⎰⎰''1()()baf x dx f c ≥⎰''1()()()f b f a f c =- 下面我们来恰当地选取,a b ，得到所需的估计.注意到(0)(1)0f f ==，应用Lagrange 公式得，()'()(0)()0,,()0f c f f c c f c c ξξ-∃∈==-； ()'(1)()(),1,()11f f c f c c f c cηη-∃∈==---. 令,a b ξη==，则''1''0()1()()()()f x dx f b f a f x f c ≥-⎰1()()1()1(1)f c f c f c c c c c =+=-- 因为211(1)24c c c c +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，所以''1()14()(1)f x dx f x c c ≥≥-⎰得证.2.9 构造辅助函数证明积分不等式当已知被积函数连续，并没有告知可导时，通常用此法最为方便，主要通过构造辅助函数利用单调性证明． 只需将结论中的积分上( 下) 限换成变量，移项使不等式一端为0，则另一端即为所作的辅助函数．例 12 设)(x f 为]1,0[上的非负单调非增连续函数（即当y x <时，)()(y f x f >） 证明:对于10<<<βα,有下面的不等式成立⎰⎰≥αβαβα0)()(dx x f dx x f .证明 令 αααα≥-=⎰⎰x dt t f dt t f x x F x,)()()(0则)()()(0x f dt t f x F αα-='⎰[]dt x f t f ⎰-=α)()(又)(x f 为]1,0[上的非负单调非增连续函数,得0)()(>-x f t f ,0)(>'x F ,所以)(x F 单调递增，而0)()()()(0≥=-=⎰⎰⎰dt t f dt t f dt t f F αααααααα又βα<，所以0)()(≥≥αβF F ,故⎰⎰≥αβααβ0)()(dx x f dx x f即⎰⎰≥αβαβα0)()(dx x f dx x f例 13 设()f x 在[]b a ,上连续，且()0>≥m x f ，求证()()21)(a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰. 证明 作辅助函数()()()()21a x dt t f dt t f x xax a--=⎰⎰φ，a x ≥ ()()()()()()a x x f dt t f dt t f x f x x a xa--⋅+='⎰⎰211φ()()()()()()()()022≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=⎰⎰⎰⎰dt x f t f t f x f dt dt x f t f dt t f x f x a x a x a xa因此,是()x φ单调递增的,又因a b >，故()()0=≥a b φφ,有()()21)(a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰. 2.10 利用函数的凹凸性证明积分不等式2.10.1函数的凹凸性的有关概念性质定义2.10.1[]8 设f 是区间I 上的函数.若12,x x I ∀∈,12x x <,(0,1)λ∈,总成立不等式1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+≤-+1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+或,则称f 是区间I 上的凸函数或严格凸函数.注意 f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数),区间J I ⊂⇒f 是区间J 上的凸函数(或严格凸函数).定理2.10.1[]8 若f 在区间I 上二阶可导，则f 是区间I 上的凸函数的充要条件是''()0f x ≥.定理2.10.2[]8 若''()0f x >则f 是区间I 上的严格凸函数. 2.10.2函数的凹凸性应用例 14 设()f x 在[],a b 上二次可微，且'''()0,()0f x f x >>,证明：()()()()()()2ba fb f a b a f a f x dx b a +-<<-⎰ 证明 因为在[],a b 上'()0f x >，所以()f x 是单调增加的， 即有()()0f x f a ->，()a x b <≤于是[]()()0baf x f a dx ->⎰，从而()()()baf x dx b a f a >-⎰，方法1 由于在[],a b 上，''()0f x >，所以()f x 为严格凸函数，对任意的[],x a b ∈，记 12,x a b xb a b aλλ--==--，且1212,0,1λλλλ≥+=，于是 ()()()x a b x x a b x f a b f a f b b a b a b a b a----+<+----， 即()()()x a b xf a b x f a f b b a b a--+-<+-- 并对x 从a 到b 积分()()()()()bb baa a f a f a f ab x dx x a dx b x dx b a b a+-<-+---⎰⎰⎰， 令t x b a =-+，则⎰⎰⎰⎰==-=-+babaabbadx x f dt t f dt t f dx x b a f )()()()()(即()()()()2baf b f a f x dx b a +<-⎰， 因此()()()()()()2baf b f a b a f a f x dx b a +-<<-⎰. 方法2 作辅助函数 ()()()()()b x a dt t f a f x f a x x xa ≤≤-+-=⎰,2φ， 则()()()()()()()()()()2222f x f a x a f a f x f x x f x f x x a ϕ'+--''=+⋅-=+-，()()()()()()()2222x f a x x f a x x f x f x ''-=''-+'+'-=''φ， 由于()0>''x f ，所以当a x >时，()0>''x φ即 ()x φ'在[]b a ,上严格递增.所以，当a x >，有()()0='>'a x φφ,故 ()x φ在[]b a ,上严格递增.所以 ()()0=>a b φφ，即()()()()02>-+-⎰b a dt t f a f b f a b亦即()()()()2a fb f a b dx x f ba+-<⎰. 2.11 利用概率论方法证明积分不等式在概率论中，连续性随机变量的概论分布函数，数学期望与积分有一定联系，这使得用概论论思想方法证明某些积分不等式成为可能.定理[]41.11.2 设ξ为随机变量，若()x f 为连续上凸函数，则有()()ξξEf E f ≤；若()x f 为连续下凸函数，则有()()ξξEf E f ≥.定理[]42.11.2 ()不等式Schwarz Cauchy -若(),ξη是一个二维随机变量∞<2ξE ∞<2,ηE 则有()222ηξξηE E E ≤.例 15 设()x f 为在[],a b 上连续的下凸函数，则()()()212b f a f dx x f a b b a f b a +≤-≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎰ 证明 设随机变量ξ的概率分布()x F 及概率密度()x p 分别为()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∈--<=b x b a x a b a x a x x F ,1,,,0()[][]⎪⎩⎪⎨⎧∉∈-=b a x b a x ab x p ,,0,,1()x f 为下凸函数，由定理2.11.1知()()ξξEf E f ≥成立,此即()⎰-≤⎪⎭⎫⎝⎛+b a dx x f ab b a f 12 又,ab ax b a b x b a x --⨯+--⨯=故 ()()()()()1b x x a f x f a b f a b x f b x a b a b a b a --⎛⎫=⨯+⨯≤-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭将上式两端积分，可得()()()[]b f a f ab dx x f ba+-≤⎰2综上可知原不等式成立.用概率论思想方法证明积分不等式，关键在于构造概率分布函数和概率密度函数.本节各证明过程中涉及到的随机变量都是一维连续的.如果构造适当的二维连续随机变量，还可以用概率论的方法证明许多与二重积分相关的不等式.参考文献：[1] 华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2001.[2] 复旦大学数学系.数学分析[M].北京: 高等教育出版社， 1983.[3] 钱吉林等主编.数学分析题解精粹[M].武汉：崇文书局，2003.[4] 魏宗舒等编.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版，1983.[5] 刘玉链.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1990.[6] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社, 1993.[7] 胡克.解析不等式的若干问题[M].武汉大学出版社, 2007.[8] 段琦.若干积分不等式的证明及应用[J].绵阳师范高等专科学校学报，2001（4）:20～24.。
