5.10-5.11 解斜三角形应用举例

【基础知识精讲】1.应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的.应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解.2.解斜三角形应用中的几个概念(1)仰角、俯角：如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角.(2)方向角、方位角：①指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图，目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表示，这里第一个“×”号是“北”或“南”字，第二个“×”号是“东”字或“西”字，OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东60°，北偏西30°，西南方向，南偏东20°.②方向角：从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角，叫方位角.(3)水平距离、垂直距离、坡面距离：如图BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离.(4)坡度、坡角：如图把坡面的铅直高度h和水平宽度为l的比叫做坡度(或叫做坡比)，用字母i表示，即i=lh,坡度一般写成h ∶l 的形式. 如i=1∶4［(即i=41)坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡角与坡度之间有如下关系：i=lh=tan α. 3.应用解三角形知识解实际问题的解题步骤： (1)根据题意作出示意图；(2)确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元与未知元；(3)选用正、余弦定理进行求解，有时需综合运用这两个定理，并注意运算的正确性； (4)给出答案.【重点难点解析】解斜三角形应用中应注意的问题(1)认真分析题意，将已知元素和未知元素弄清楚，根据题意画出示意图.(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，将实际问题中的数量关系归结为数学问题. (3)在选择关系式时，一是要力求简便；二是尽可能使用题中原有的已知数据，尽量减少计算中误差的积累，并根据题目要求的精确度确定答案及注明单位.例1 如图，河塘两侧有两物A ，B ，不能直接量得它们间的距离，但可以测算出它们的距离，为此，在河塘边选取C ，D 两点，并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=90°,CD=80米，试求A ，B 两物间的距离(精确到0.1米)分析：可以将AB 看成是Rt △ADB 的斜边，因此在Rt △ADB 中，知道两直角边或一直角边和一锐角，就能计算出AB 的长.解：在△ACD 中，∠ACD=75°+45°=120°，∠CAD=180°-(75°+45°+30°)=30°，CD=80.∴由正弦定理得：︒30sin CD =︒120sin AD.∴AD=803 (米)在△BCD 中，∠BCD=45°,∠BDC=120°,∠CBD=80°-(45°+30°+90°)=15° ∴同样由正弦定理得：︒45sin BD =︒15sin CD.∴BD=80·︒︒15sin 45sin ,∵sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=426-. ∴BD=80(3+1)米. 在Rt △ADB 中，AB=22BD AD +=80327+≈80·464.10≈80×3.235=258.8(米)答：A 、B 两物间的距离约258.8米.例2 如图，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分时测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少?分析：培养学生从实际问题抽象数学模型的能力和灵活运用正、余弦定理的能力. 条件中出现两个角、三个单位及一个线段长，寻求角度与时间的关系、边长与时间的关系是解决本问题的关键.解：轮船从点C 到点B 耗时80分钟，从点B 到点E 耗时20分钟，而船始终匀速行进，由此可见：BE=4EB.设EB=x,则BC=4x.由已知得∠BAE=30°，只要求出BE=x 的值，便可求出轮船的速度，在△ABE 中，要求BE ，至少还应求得一角或一边.在此求出AB.在△AEC 中，由正弦定理得：EAC EC ∠sin =CAEsin .即sinC=EC EAC AE ∠sin =x 5150sin 5︒=x21.在△ABC 中，由正弦定理得：︒120sin BC =CAB sin .即AB=︒120sin sin C BC =︒∙120sin 214x x =34. 在△ABE 中，由余弦定理得： BE 2=AB 2+AE 2-2AB ·AEcos30°=25+316-2·5·334·23=331.∴BE=331(km). ∴轮船的速度为v=331÷6020=93km/t.【难题巧解点拔】例1 如图，在斜度为一定的山坡上的一点A 测得山顶上的塔CD 的顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a 米后到达B 点，从点B 测得塔顶C 对山坡的斜度为β，设山坡对于地平面的倾斜角为θ，塔CD 的高为h 米.求证：h=)sin(cos sin sin αβθβα-a分析：题目中出现了三个角α、β、θ，两条线段AB=a ，CD=h ，分布在三个三角形中，要寻求它们之间的联系是求解本题的关键.证明：在△ABC 中，AB=a ，∠CAB=α,∠BCA=β-α.∴由正弦定理得：)sin(αβα-=αsin BC ,∴BC=)sin(sin αβα-a .在△BCD 中，CD=h,∠CBD=β,∠CDB=90°+θ，由正弦定理得：βsin h =)90sin(θ+︒BC. ∴h=)90sin(sin θβ+︒BC =)sin(cos sin sin αβθβα-.例2 某人在岸上望见海中浮标在一直线上，此线与海岸线所成的角为α，此人沿岸向前走一距离为α，这两浮标对于此人所张的角为α，再向前走一距离为b ，见所张的角仍为α，设海岸为一直线，此人的高度不计，求证两浮标间的距离为(a+2b )sec α-ba b a a ++2)(2cosα.证明：如图所示，作BF ⊥EC. ∵∠ADB=∠ACB=α， ∴A 、B 、C 、D 四点共圆. ∴∠ACD=∠ABD, ∴∠BDC=∠BCD, ∴F 是DC 的中点. 在Rt △BEF 中，EF=a+2b,∠BEF=α. ∴BF=(a+2b )·tan α，在Rt △BDF 中，DF=2b , ∴BD=α222tan )2(4+++ba b∴sin ∠BDC=BD BF =αα222tan )2(4tan )2(ba b ba +++.在△ABC 中，∠ACB=a,∠BAC=∠BDC,BC=BD=α222tan )2(4+++ba b .由正弦定理得αsin AB =BACBC∠sin . ∴AB=BACBC ∠∙sin sin α=αααα2222222tan )2(4tan )2(sin tan )2(4+++++∙+++ba b b a ba b=2cos ]tan )2(4[222b a ba b ++++αα=(a+2b )ααcos sin 2+ba b 242+cos α=(a+2b )sec α-ba b a a ++2)(2cos α故两浮标间的距离是： (a+2b )sec α-ba b a a ++2)(2 cos α例3 如图，为了测定河的宽度，在河岸取定基线BC ，其长为α，在河对岸取定点A ，测得∠ABC=α,∠ACB=β,求河宽.分析：由角α，β可得∠BAC ，由正弦定理可求得AB 或AC 的长，过A 作AD ⊥BC 于D ，由Rt △可求得AD 即河宽的长.解：由题意可知：∠BAC=π-α-β,在△ABC 中.AB=BAC BC ∠sin sin β=)sin(sin βαβ+a∴AD=ABsin α=)sin(sin sin βαβα+.【命题趋势分析】利用正、余弦定理解斜三角形问题一般与三角函数，数列、方程等知识结合，往往与生产生活实际相连.考查能否将诸如测量、航海、天体运行、物理及几何等方面的相关问题，应用解三角形的知识进行求解.考查是否掌握应用解三角形知识解实际问题的解题步骤. 从而考查综合运用数学知识的能力，应予以高度重视.【典型热点考题】例1 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB 与BC 等于1千米.从三点分别望塔P.A 处见塔在正东北，B 处见塔在正东，C 处见塔在南偏东60°.求塔至直路的距离.解：如图，由已知条件知∠CPB=30°,∠BPA=45°,AB=BC=1千米.又△CPB 的面积等于△BPA 的面积，故有PB ·PAsin45°=PB ·PCsin30°⇒PC=2PA.由△APC 的面积，有 PD ·AC=PA ·PCsin75°⇒PD=22PA 2sin75°. 由余弦定理，有PC 2+PA 2-2PC ·PAcos75°=4⇒PA 2=344-,故PD=22·344-·462+=13357+ (千米).例2 某海轮以30海里/时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C 间的距离.解：如图，在△ABP 中，AB=30×6040=20 ∠APB=30°,∠BAP=120° 由正弦定理知BPA AB ∠sin =BAP BP ∠sin 得2120=22BP∴BP=203. 在△BPC 中，BC=30×6080=40 又∠PBC=90°∴PC=22BC PB +=2240)320(+=207 (海里) ∴可得P 、C 间距离为207 (海里)【同步达纲练习】1.某人向正东方向走x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为( )A. 3B.23C.23D.32.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则坡度要伸长( )A.1B.sin10°C.cos10°D.cos20°3.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距离20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A.20(6+2)海里/小时B.20(6-2)海里/小时C.20(6+3)海里/小时D.20(60-3)海里/小时4.如图，在河岸AC 测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是( )A.c 与aB.c 与bC.a 与βD.b 与α 5.若P 在Q 的北偏东44°50′，则Q 在P 的( ) A.东偏北45°10′ B.东偏北45°50′ C.南偏西44°50′ D.西偏南45°50′ 6.若水渠侧面的坡度i=m ∶n ，则sin α等于( ) A.22nm m + B.22nm n +C.22n m mn + D.mn 7.在△ABC 中，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,那么A 等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150°8.△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC=m ∶(m+1)∶2m ，则m 的取值范围是( ) A.m ＞2B.m ＜0C.m ＞-21 D.m ＞21二、填空题 1.在△ABC 中，若有2B A -=ba ba +-,则△ABC 是 三角形. 2.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是 .3.一段河堤的横截面为梯形ABCD ，迎水坡AB 的坡度i=3∶1，背水坡CD 的坡度是i ′=1∶2，现高24米，坝顶BC=4米，求AB= ,AD= .(结果保留根号)4.一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，求树干原来的高度 .5.当太阳光线与地面成θ角时，长为l的木棍在地面上的影子最长为 .6.某车向正南方向开了S千米后，向右转θ(0°＜θ＜90°)角，然后又开了m千米，结果该车离出发地点恰好n千米，则S等于 (用m、n及θ表示).三、解答题1.把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120°.问怎么锯断才能使第三条边AC最短.2.在一幢高40米的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为30°，问该塔的高为米?3.现有三个向量、、，若++ =,(,)=135°,( ,)=120°,｜｜=2,求｜｜、｜｜.【素质优化训练】1.空中有气球，在它的正西方A点，测得它的的仰角为45°，同时在它南偏东45°的B点，测得它的仰角为67°30′,A、B两点间的距离为266m，这两测点均离地1m，问当测量时，这气球离地多少米?2.甲、乙两船在岛B的正南A处，AB=10海里，甲船自A处4海里/时的速度向正北航行，同时乙船以6海里/时的速度自岛B出发，向北偏东60°方向驶去，问几分钟后两船相距最近?3.如图，货轮在海上以40千米/小时的速度由B向C航行，航行的方位角∠NBC=140°，A处有灯塔，其方位角∠NBA=110°,在C处观察灯塔A的方位角∠N′CA=35°,由B到C需航行半小时，求C到灯塔A的距离.【生活实际运用】如图，为了测量河对岸两个建筑物C、D之间的距离，在河岸这边取点A、B，测得∠BAC=45°，∠DAC=75°，∠ABD=30°，∠DBC=45°,又AB=3千米，A、B、C、D在同一平面内.试求C 、D 之间的距离.解：∵∠BAC=∠BAC+∠DAC=45°+75° =120°又∵∠ABD=30°,∴∠ADB=30° ∴AD=AB=3∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+45°=75° 而∠BAC=45°∴∠ACB=60°∴AC=︒︒∙60sin 75sin AB =234263+⨯=226+. 在△ABC 中， CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·ACcos ∠CAD =3+2+3-23·226+·226- =5∴CD=5 (km)【知识验证实验】海中有岛A ，已知A 岛四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A 岛在北75°东，行202海里后，见此岛在北30°东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险.提示：可以求出A 岛到货轮航线的距离为(152-56)海里，而152-56＞8，故无触礁危险.【知识探究学习】设人造卫星S 某一时刻正好在A(北极点)的天顶(即在OA 的延长线上，O 为地心)，这时，从另一地点B 看卫星S ，与B 点的天顶B ′成一角度—∠B ′BS.若B 点离A 点越远，则这个角度越大，一般当这个角度大于70°时，就看不到卫星S 了.又已知卫星离地面的高度AS=439千米.地球的半径为6371千米.试求地球上能看到卫星S 的区域的纬度的范围?解：由题意知，能看到卫星的地区就是图中绕OS 旋转而成的球冠的表面，其中∠C ′CS=70°(见示意图)在△OCS 中，OC=6371,OS=OA+AS=6371+439=6910.∠SCO=180°-70°=110° 根据正弦定理，OC OSC ∠sin =OSOSC ∠sin 所以sin ∠OSC. =OS OCS OC ∠∙sin =6810110sin 6371︒∙=0.8791, ∠OSC=61°32′,∠SOC ′=∠SCC ′-∠OSC=70°-61°32′=8°28′∴点C 的纬度是北纬90°-8°28′=81°32′,故所求的能看到卫星S 的区域在北纬81°32′以上.参考答案【同步达纲练习】一、1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.D二、1.等腰或直角 2.56海里 3.163米，52+83米 4.(10+53)米 5.θsin 1 6.θ222sin m n - -mcos θ三、1.锯成相等两段时 2.160 3.6，3+1【素质优化训练】1.约201m2.行驶2173min 后 3.10(6-2)km。