2018_2019学年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第2课时课后习题新人教A版必修4

第一章 1.3 第1课时 诱导公式二、三、四 A级 基础巩固 一、选择题 1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( D ) A．α一定是锐角 B．0≤α<2π C．α一定是正角 D．α是使公式有意义的任意角 2．下列各式不正确的是( B ) A．sin(α＋180°)＝－sinαB．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C．sin(－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)

3．cos(－20π3)等于( C )

A．12 B．32 C．－12 D．－32 [解析] cos(－20π3)＝cos20π3＝cos(6π＋2π3)＝cos2π3＝cos(π－π3)＝－cosπ3＝－12． 4．(2016·潍坊高一检测)tan300°＝( B ) A．3 B．－3

C．33 D．－33 [解析] tan300°＝tan(360°－60°)＝tan(－60°) ＝－tan60°＝－3． 5．sin600°＋tan240°的值是( B )

A．－32 B．32 C．－12＋3 D．12＋3 [解析] sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32． 6．已知tan5°＝t，则tan(－365°)＝( C ) A．t B．360°＋t C．－t D．与t无关 [解析] tan(－365°)＝－tan365°＝－tan(360°＋5°)＝－tan5°＝－t． 二、填空题

7．(2016·四川卷)sin750°＝12．

[解析] sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝12． 8．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sinα＝35． [解析] 由于tan(π－α)＝－tanα＝－34，则tanα＝34，

2019-2020年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式二课时作业新人教版必修1.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A.－12B.12C.－32D.32解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 答案 A2.若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A.－12 B.12 C.32 D.－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12. 答案 A3.已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)·sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ等于( ) A.110 B.15 C.310 D.25解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2， ∴sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝3.sin(θ－5π)·sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ＝－sin θ·(－cos θ)＝sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝310. 答案 C4.在△ABC 中，3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝______. 解析 由3sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝3sin(π－A )可得： 3cos A ＝3sin A ，∴tan A ＝33.又0<A <π，∴A ＝π6. 由cos A ＝－3cos(π－B )可得cos A ＝3cos B ，∴cos B ＝12.∴B ＝π3，∴C ＝π2. 答案 π25.计算sin 2 1°＋sin 2 2°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝_____.解析 原式＝(sin 2 1°＋sin 2 89°)＋(sin 2 2°＋sin 2 88°)＋…＋(sin 2 44°＋sin 2 46°)＋sin 2 45°＝44＋12＝892. 答案 8926.已知π2<α<π，tan α－1tan α＝－32. (1)求tan α的值.(2)求cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－cos （π－α）sin ⎝⎛⎭⎫π2－α的值. 解 (1)令tan α＝x ，则x －1x ＝－32， 2x 2＋3x －2＝0，解得x ＝12或x ＝－2， 因为π2<α<π，所以tan α<0， 故tan α＝－2.(2)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－cos （π－α）sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＋cos αcos α＝tan α＋1 ＝－2＋1＝－1.7.已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫m ，154. (1)求m 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫α－π2sin （π＋α）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋1的值. 解 (1)因为角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫m ，154，所以m <0，m 2＋⎝⎛⎭⎫1542＝1，解得m ＝－14. (2)由(1)可知sin α＝154，cos α＝－14， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π2sin （π－α）－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋1＝－cos αsin α＋cos α＋1 ＝14154－14＋1＝15－36. 8.已知sin(π＋α)＝－13. 计算：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α；(3)tan(5π－α).解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13. (1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2 α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角. ①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. (3)tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角. ①当α为第一象限角时，cos α＝223， ∴tan α＝24，∴tan(5π－α)＝－tan α＝－24. ②当α为第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝－24， ∴tan(5π－α)＝－tan α＝24.9.已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.13 B.23 C.－13 D.－23 解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23. 答案 D10.若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m 3 B.2m 3 C.－3m 2 D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m 2.故cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 答案 C11.式子cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝____. 解析 原式＝sin 2 ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin 2 ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1. 答案 112.已知tan(3π＋α)＝2，则sin （α－3π）＋cos （π－α）＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝__________. 解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 答案 213.已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值. 解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α.∴sin α·cos α＝60169， 即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 探 究 创 新14.是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式πsin(3π-)2)π+)αβαβ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎨-=同时成立. 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由.解 由条件，得①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合. 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合. 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件.。

)
(2)cos
(3)tan
(4)当 α 是第二象限角时,cos
(5)sin
3
α+2π
π
1
2
π
-
2
=-sin α.
1
探究一
探究二
探究三
思想方法
利用诱导公式化简或求值
【例1】 计算:
(1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
(2)
1+cos100°sin170°
一
2.填空:
二
思维辨析
一
二
思维辨析
1
5π
3.做一做:(1)若 cos(π+α)= ,则 sin
-
6
2
9π
1
(2)若 sin 2 + = 3,则 cos(2π-θ)=
1
解析(1)因为 cos(π+α)= ,
6
1
1
所以-cos α= ,即 cos α=- .
6
6
5π
π
1
于是 sin 2 - =sin 2 - =cos α=-6.
9π
1
(2)因为 sin 2 + = 3,
π
1
1
所以 sin 2 + = 3,因此 cos θ=3,
1
于是 cos(2π-θ)=cos(-θ)=cos θ=3.
1
1
答案(1)- (2)
6
3
=
;
.
一
二
思维辨析
一
二
思维辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打

第二课时三角函数的诱导公式五、六选题明细表知识点、方法题号给角(或式)求值1,2,3,6,7化简求值4,5,8,11 三角恒等式的证明及综合应用9,10,12,13基础巩固1.已知sin 40°=a,则cos 130°等于( B )(A)a (B)-a(C) (D)-解析:cos 130°=cos (90°+40°)=-sin 40°=-a.2.(2018·某某市期末)已知tan α=3,则sin(-α)·cos (+α)的值为(B)(A)(B)-(C)(D)-解析:已知tan α=3,则sin(-α)·cos (+α)=-sin αcos α=-=-=-.故选B.3.若f(cos x)=2-sin 2x,则f(sin x)等于(C)(A)2-cos 2x (B)2+sin 2x(C)2-sin 2x (D)2+cos 2x解析:因为f(cos x)=2-sin 2x,所以f(sin x)=f[cos(-x)]=2-sin[2(-x)]=2-sin(π-2x)=2-sin 2x.4.已知tan θ=2,则等于(B)(A)2 (B)-2 (C)0 (D)解析:原式====-2.5.若cos(+θ)+sin(π+θ)=-m,则cos(-θ)+2sin(6π-θ)的值为(B)(A) (B)-(C)- (D)解析:由题意知,sin θ+sin θ=m,所以sin θ=.所以cos(-θ)+2sin(6π-θ)=-sin θ-2sin θ=-3sin θ=-.6.若cos (π+α)=-,则sin(-α)=.解析:cos (π+α)=-cos α,所以cos α=.sin(-α)=-cos α,所以sin(-α) =-.答案:-7.已知cos (75°+α)=,且-180°<α<-90°,则cos (15°-α)=.解析:因为-180°<α<-90°,所以-105°<75°+α<-15°.又cos (75°+α)=,所以sin(75°+α)=-.所以cos (15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=-.答案:-8.已知sin(α-3π)=cos (α-2π)+sin(α-π),求的值.解:sin(α-3π)=cos (α-2π)+sin (α-π),得-sin α=2cos α.则tan α=-2,所以====.能力提升9.设α是第二象限角,且cos =-,则是(C)(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角解析:α是第二象限角,则是第一或第三象限角.-=-=-|cos|=cos ,所以cos <0.所以为第三象限角.10.角α与角γ的终边相同,且α是第一象限角,tan γ=1,β=α+ 90°,则sin β等于( A )(A)(B)-(C)(D)-解析:由题意,tan α=tan γ=1,由又α是第一象限角,解得所以sin β=sin(α+90°)=cos α=.故选A.11.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则=.解析:由已知得sin α=-.因为α是第三象限角,所以cos α=-,tan α=.所以原式==.答案:12.(2018·库尔勒市期中)已知角θ是第二象限角,其终边与以原点为圆心的单位圆交于点P(-,).(1)写出三角函数sin θ,cos θ的值;(2)求的值.解:(1)因为角θ是第二象限角,其终边与以原点为圆心的单位圆交于点P(-,),所以sin θ=y=,cos θ=x=-.(2)==2tan θ=2·=2×=-.探究创新13.是否存在角α,β,α∈(-,),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos(-β),sin(+α)=-cos (π+β) 同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.解:利用诱导公式可将已知条件化为两式平方相加得sin2α+3cos2α=2,即cos2α=,所以cos α=±.因为α∈(-,),所以cos α=,所以α=或α=-.当α=时,由①式可得sin β=,由②式可得cos β=,又β∈(0,π),所以β=.当α=-时,由①式可得sin β=-,这与β∈(0,π)矛盾.从而只存在α=,β=使得两个等式同时成立.。