(详细解析)2000年上海高考数学(理)2000上海高考试卷理科数学考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知向量(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA AB ⊥u u u r u u u r ，则m = ．【答案】4【解析】(4,2)AB m =-u u u r ，42(2)0OA AB OA AB m ⊥⇒⋅=-+-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴4m =．2．函数221log 3x y x-=-的定义域为 ． 【答案】)3,21( 【解析】2110(21)(3)0(21)(3)0332x x x x x x x ->⇒-->⇒--<⇒<<-．3．圆锥曲线4sec 13tan x y θθ=+⎧⎨=⎩的焦点坐标是 ． 【答案】(4,0),(6,0)- 【解析】参数方程化为普通方程22(1)1169x y --=，∴焦点为(15,0),(15,0)-+，即(4,0),(6,0)-．4．计算：lim()2n x n n →∞=+ ． 【答案】2-e 【解析】2222212lim()lim()lim[(1)]221n n n x x x n e n n n⨯--→∞→∞→∞==+=++．5．已知b x f x +=2)(的反函数为1()f x -，若1()y f x -=的图象经过点)2,5(Q ，则b = ．【答案】1【解析】若1()y f x -=的图象经过点)2,5(Q ，则b x f x +=2)(过点(2,5)P ，将点P 的坐标代入得252b =+，∴1b =．6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP （GDP 是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年．（按：1999年本市常住人口总数约1300万）【答案】9 【解析】由题设条件可得4035(19)403521300(10.08)1300n n +≥⨯+%%，解得lg 28.9lg1.081n ≥≈，∴9n ≥．【编者注】上海考生可以使用计算器．7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A 的等价命题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥．【答案】．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/……【解析】本小题考查正三棱锥的定义和性质．根据正三棱锥的定义和性质易知有多个等价命题．8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1,2]上()f x = ．【答案】x【解析】由题设(1,1)B '-关于点B 对称，由周期性将B A '向右平移两个单位得BA '，BA '所在的直线过原点，∴在区间[1,2]上()f x x =．9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为 ，（结果用数值表示）【答案】462-【解析】中间项有两项，一项系数为正最大，另一项为负最小为511462C -=-．10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 ．【答案】141 【解析】本小题考查等可能事件的概率．39321114P C ⨯⨯==．11．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于,A B 两点，则=AB ． 【答案】32【解析】化为普通方程：3x =和22(2)4x y -+=，将3x =代入得y =∴AB =12．在等差数列{}n a 中，若100a =，则有等式121219n n a a a a a a -+++=+++L L(19,)n n N <∈成立，类比上述性质，相应的：在等此数列{}n b 中，若91b =，则有等式 成立．【答案】121217(17,)n n b b b b b b n n N -=<∈L L【解析】本小题考查等差数列和等边数列的性质及其类比推理．∵91b =，根据等边数列的性质和类比有121217(17,)n n b b b b b b n n N -=<∈L L ．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．复数3(cos sin )55z i ππ=--（i 是虚数单位）的三角形式是 A ．3[cos()sin()]55i ππ-+- B ．3(cos sin )55i ππ+ C ．443(cos sin )55i ππ+ D ．663(cos sin )55i ππ+ 【答案】C 【解析】443(cossin )3(cos sin )5555z i i ππππ=-+=+．14．设有不同的直线,a b 和不同的平面,,αβγ，给出下列三个命题：①若//,//a b αα，则b a // ②若//,//a a αβ，则//αβ③若,a ββγ⊥⊥,，则β//a其中正确的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】略．15．若集合{}{}2|3,,|1,x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则s T I 是：A ．SB ．TC ．∅D ．有限集【答案】A【解析】{}{}|0,|1S y y T y y =>=≥-，所以s T S =I ．16．下列命题中正确的命题是A ．若点)0)(2,(≠a a a P 为角α终边上一点，则sin 5α=B．同时满足1sin ,cos 22αα==的角α有且只有一个 C ．当1a <时，tan(arcsin )a 的值恒正D．三角方程tan()3x π+=的解集为{}Z k k x x ∈=,|π 【答案】D【解析】a 的正负不能确定，A 错误；B 中角α无数个；C 中，当01a <<时，tan(arcsin )a 的值恒．正；tan()tan 33x ππ+==，由周期性知,x k k Z π=∈．三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知椭圆C的焦点分别为1(F -和2F ，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于,A B 两点，求线段AB 的中点坐标．【解】设椭圆C 的方程为22221x y a b +=， ……………（2分）由题意3,a c ==1b =，∴椭圆C 的方程为2219x y +=． ……………（4分） 由22219y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得21036270x x ++=， 因为该二次方程的判别式0∆>，所以直线与椭圆有两个不同交点，……（8分）设1122(,),(,)A x y B x y ，则12185x x +=-，故线段AB 的中点坐标为91(,)55-． ……（12分）18．（本题满分12分）如图所示四面体A BCD -中，,,AB BC BD 两两互相垂直，且2AB BC ==，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求四面体A BCD -的体积． 【解】解法一：如图建立空间直角坐标系 ……（2分）由题意，有(0,2,0),(2,0,0),(1,1,0)A C E ．设D 点的坐标为(0,0,)(0)z z >，则{}{}1,1,0,0,2,BE AD z ==-u u u r u u u r ，……（6分）设BE u u u r 与AD u u u r 所构成的角为θ，则224cos 2BE AD z θ⋅=⋅+=-u u u r u u u r ．且AD 与BE 所成的角的大小为10arccos10， ∴2221cos 410z θ==+， 得4z =，故BD 的长度是4， ……（10分）又16ABCD V AB BC BD =⨯⨯， 因此四面体A BCD -的体积83． ……（12分） 解法二：过A 引BE 的平行线，交与CB 的延长线于F ，连接DF ．DAF ∠是异面直线BE 与AD 所成的角，∴10arccos 10DAF ∠=． ……（4分） ∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点，2AF BE ==． ……（6分）又,BF BA 分别是,DF DA 的射影，且BF BC BA ==．∴DF DA =． ……（8分）三角形ADF 是等腰三角形，20cos 12=∠⋅=DAF AF AD ， 故422=-=AB AD BD ， ……（10分） 又16A BCD V AB BC BD -=⨯⨯， 因此四面体A BCD -的体积是38． ……（12分）19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数22(),[1,)x x a f x x x++=∈+∞． （1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值： （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．【解】（1）当12a =时，1()22f x x x=++， )(x f Θ在区间),1(+∞上为增函数， ……（3分）)(x f Θ地区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ， ……（6分） （2）解法一：在区间),1(+∞上，22()0x x a f x x++=>恒成立220x x a ⇔++>恒成立， ……（8分） 设),1(,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，a y +=3min ， ……（12分）于是当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-． ……（14分）（2）解法二：()2,[1,)a f x x x x=++∈+∞， 当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正， ……（8分）当0a <时，函数)(x f 递增，故当1x =时，min ()3f x a =+， ……（12分） 于是当且仅当min ()30f x a =+>时，函数()0f x >恒成立，故3a >-． ……（14分）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．根据指令),(θr (0,180180)r θ≥-<≤o o ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转θ-），再朝其面对的方向沿直线行走距离r ．（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向．试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4)．（2）机器人在完成该指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．【解】（1）ο45,24==θr ，得指令为(42,45)o ， ……（4分）（2）设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球， ……（6分）则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有22|17|2(4)(04)x x -=-+-， ……（8分）即01611232=+-+x x ，得323-=x 或7=x ． ∵要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7=∴x ，故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球， ……（10分）所给的指令为)13.98,5(ο-． ……（14分）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在xOy 平面上有一点列111222(,),(,),,(,),n n n P a b P a b P a b L L ，对每个自然数n ，点n P 位于函数2000()(010)10x a y a =⋅<<的图象上，且点n P 、点(,0)n 与点(1,0)n +构成一个以n P 为顶点的等腰三角形．（1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式．（2）若对每个自然数n ，以12,,n n n b b b ++为边长能构成一个三角形，求a 取值范围．（3）设12()n n B b b b n N =∈L ，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}n B 的最大项的项数．【解】（1）由题意，21+=n a n ，∴21)10(2000+=n n a b ． ……（4分）（2）∵函数2000()(010)10x a y a =⋅<<递减， ∴对每个自然数n ，有12n n n b b b ++>>，则以21,,++n n n b b b 为边长能构成一个三角形的充要条件是21n n n b b b +++>， 即2()()101010a a +->， ……（7分）解得5(1a <-+或a >，∴1)10a <<． ……（10分）（3）∴1)10a <<，∴1277,2000()10n n a b +==， ……（12分） 数列{}n b 是一个递减的正数数列，对每个自然数1,2-=≥n n n B b B n ．于是当1≥n b 时，1-≥n n B B ，当1n b <时，1n n B B -<，因此，数列{}n B 的最大项的项数n 满足不等式1≥n b 且11n b +<． 由1272000()110n n b +=≥，得20.8n ≤， 20n ∴=． ……（16分）22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知复数01(0)z mi m =->，z x yi =+和w x y i ''=+，其中,,,x y x y ''均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数z ，有0,||2||w z z w z =⋅=．（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用,x y 表示的关系式；（2）将(,)x y 作为点P 的坐标，(,)x y ''作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．【解】（1）由题设，002w z z z z z =⋅==，02z ∴=，于是由214m +=，且0m >，得m = ……（3分） 因此由i y x y x yi x i i y x )3(3)()31(-++=+⋅-='+'，得关系式,.x x y y ⎧'=+⎪⎨'=-⎪⎩ ……（5分） （2）设点),(y x P 在直线1+=x y 上，则其经变换后的点),(y x Q ''满足(11)1,x x y x ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩ ……（7分） 消去x ，得232)32(+-'-='x y ，故点Q 的轨迹方程为232)32(+--=x y ． ……（10分）（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为)0(≠+=k b kx y ， ……（12分）解法一：∵该直线上的任一点),(y x P ，其经变换后得到的点)3,3(y x y x Q -+仍在该直线上，∴b y x k y x ++=-)3(3，即b x k y k +-=+-)3()13(，当0≠b 时，方程组⎩⎨⎧=-=+-kk k 31)13(无解，故这样的直线不存在． ……（16分）当0=b= 得03232=-+k k ， 解得33=k 或3-=k ，故这样的直线存在，其方程为x y 33=或x y 3-=， ……（18分） 解法二：取直线上一点)0,(kb P -，其经变换后的点)3,(k b k b Q --仍在该直线上， ∴b kb k k b +-=-)(3，得0=b ， ……（14分） 故所求直线为kx y =，取直线上一点(1,)P k ，其经变换后得到的点)3,31(k k Q -+ 仍在该直线上． ∴)31(3k k k +=-， ……（16分） 即03232=-+k k ，得33=k 或3-=k ， 故这样的直线存在，其方程为x y 33=或x y 3-=， ……（18分）。
