2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.8函数与方程真题演练集训理

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ考点1 函数的概念1.(2015·湖北，7)设x ∈R ，定义符号函数x sgn ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |x sgn |B ．|x |＝x x sgnC ．|x |＝ sgn x xD ．|x |＝sgn x1.解析 对于选项A ，右边＝x x sgn ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确； 对于选项B ，右边＝xx sgn ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确； 对于选项C ，右边＝sgn x x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >00，x ＝0x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项D ，右边＝sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确.故应选D.答案 D2.(2015·重庆，3)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域为( ) A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2.解析 需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪ (1，＋∞)． 答案 D3.(2015·湖北，6)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]3.解析 依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4； ①且x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3， ②由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4]．故选C. 答案 C4.(2015·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－144.解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1(无解)；若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.答案 A5.(2015·山东，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛65f f ＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.125.解析 由题意，得⎪⎭⎫⎝⎛65f ＝3×56－b ＝52－b .若52－b ≥1，即b ≤32时，522=4b -，解得b ＝12. 若52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎪⎭⎫⎝⎛-b 25－b ＝4，解得b ＝78(舍去)． 所以b ＝12.答案 D6.(2015·陕西，4)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12 D.326.解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝⎪⎭⎫ ⎝⎛41f ＝1－41＝1－12＝12，故选C.答案 C7.(2014·山东，3)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)7.解析 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2， 即函数f (x )的定义域是(2，＋∞)． 答案 C8.(2014·江西，4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 8.解析 因为－1＜0，所以f (－1)＝(1)2－－＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14.答案 A9.(2015·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 9.解析 由函数f (x )＝ax 3－2x 过点(－1，4)，得4＝a (－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案 －2考点2 函数的基本性质1.(2016·山东，9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x f .则f (6)＝( )A.－2B.－1C.0D.21.解析 当x ＞12时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x f ，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D. 答案 D2.(2015·新课标全国Ⅱ，12)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 2.解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2 知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|)．当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，得f ′(x )＝11＋x ＋2x（1＋x 2）2＞0，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数， 则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|， 平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.答案 A3.(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝| ln x |D ．y ＝2x3.解析 由f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，可知A 为奇函数，B 为偶函数，C 定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数． 答案 B4.(2015·福建，3)下列函数中为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e－x4.解析 由奇函数定义易知y ＝e x－e －x为奇函数，故选D. 答案 D5.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x5.解析 对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数； 对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数； 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.答案 D6.(2015·新课标全国Ⅰ，12)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝( )A．－1 B．1 C．2 D．46.解析设f(x)上任意一点为(x，y)，该点关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，2a＝4，a＝2.答案 C7.(2014·北京，2)下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝ln x D．y＝|x|7.解析分别画出四个函数的图象，如图所示：因为对数函数y＝ln x的定义域不是R，故首先排除C；因为指数函数y＝e－x在定义域内单调递减，故排除A；对于函数y＝|x|，当x∈(－∞，0)时，函数变为y＝－x，在其定义域内单调递减，故排除D；而函数y＝x3在定义域R上为增函数．故选B.答案 B8.(2014·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3D．f(x)＝2x8.解析因为y＝x2在(－∞，0)上是单调递减的，故y＝1x2在(－∞，0)上是单调递增的，又y＝1x2为偶函数，故A对；y＝x2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B错；y＝x3为奇函数，故C错；y＝2－x为非奇非偶函数，故D错．所以选A.答案 A9.(2014·新课标全国Ⅰ，5)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是 偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数9.解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C. 答案 C10.(2014·广东，5)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x－12xB ．y ＝x 3sin x C ．y ＝2cos x ＋1D ．y ＝x 2＋2x10.解析 选项B 中的函数是偶函数；选项C 中的函数也是偶函数；选项D 中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A 中的函数是奇函数． 答案 A11.(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2xD ．f (x )＝2x＋2x11.解析 函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x＋2x，则f (－x )＝2x＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2x为偶函数，故选D. 答案 D12.(2016·北京，10)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.12.解析 f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减， 则f (x )最大值为f (2)＝22－1＝2.答案 213.(2016·四川，14)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＋f (2)＝________.13.解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x， 则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0，∴⎪⎭⎫⎝⎛25f ＋f (2)＝－⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＋f (2)＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f ＋f (0)＝－2＋0＝－2. 答案 －214.(2015·福建，5)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值为________．14.解析 ∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴x ＝1，∴a ＝1，f(x)＝2|x －1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞).∵[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m 的最小值为1. 答案 115.(2014·新课标全国Ⅱ，15)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 15.解析 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )， 又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案 316.(2014·安徽，14)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则⎪⎭⎫⎝⎛429f ＋⎪⎭⎫⎝⎛641f ＝________. 16.解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数， 所以⎪⎭⎫⎝⎛429f ＋⎪⎭⎫ ⎝⎛641f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯4342f ＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯6742f＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-43f ＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-67f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-43f －⎪⎭⎫⎝⎛67f ＝－316＋sin π6＝516.答案 51617.(2014·四川，13)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝________.17.解析 由已知易得⎪⎭⎫ ⎝⎛-21f ＝－4×221⎪⎭⎫⎝⎛＋2＝1，又由函数的周期为2，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝⎪⎭⎫⎝⎛-21f ＝1. 答案 1考点3 二次函数与幂函数1.(2014·湖北，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}1.解析 当x ≥0时，函数g (x )的零点即方程f (x )＝x －3的根， 由x 2－3x ＝x －3，解得x ＝1或3；当x ＜0时，由f (x )是奇函数得－f (x )＝f (－x )＝x 2－3(－x )，即f (x )＝－x 2－3x . 由f (x )＝x －3得x ＝－2－7(正根舍去)．故选D. 答案 D2.(2014·北京，8)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟2.解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.答案 B3.(2014·浙江，9)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为( ) A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定3.解析 |b ＋t a |2＝|a |2t 2＋2a·b ·t ＋|b |2＝|a |2t 2＋2|a||b|cos θ·t ＋|b |2， 设f (t )＝|a |2t 2＋2|a||b|cos θ·t ＋|b |2， 则二次函数f (t )的最小值为1，即4|a|2|b|2－4|a|2|b|2cos 2θ4|a|2＝1，化简得|b |2sin 2θ＝1. ∵|b |＞0，0≤θ≤π，∴|b |sin θ＝1，若θ确定，则|b |唯一确定，而|b|确定，θ不确定，故选B. 答案 B考点4 指数与指数函数1.(2016·新课标全国Ⅲ，7)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( )A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b 1.解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b <a <c .答案 A2．(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a2.解析 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25＞|－log 23|＞0，∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B. 答案 B3.(2015·山东，3)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a3.解析 根据指数函数y ＝0.6x在R 上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1， 根据指数函数y ＝1.5x在R 上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1， ∴b ＜a ＜c . 答案 C4.(2015·四川，8)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时D ．28小时4.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12， ∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24. 答案 C5.(2014·山东，5)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3＞y 3B ．sin x ＞sin yC ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)D.1x 2＋1＞1y 2＋15.解析 根据指数函数的性质得x ＞y ，此时，x 2，y 2的大小不确定，故选项C 、D 中的不等式不恒成立； 根据三角函数的性质知选项B 中的不等式不恒成立； 根据不等式的性质知选项A 中的不等式恒成立． 答案 A6.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x6.解析 根据和的函数值等于函数值的积的特征，其典型代表函数为指数函数，又所求函数为单调递增函数，故选B. 答案 B7.(2015·北京，10)2－3，123，log 25三个数中最大的数是________．7.解析 2－3＝18<1，又因为23<22<5，所以log 223<log 222<log 25，即3<log 25. 所以最大值为log 25. 答案 log 25考点5 对数与对数函数1.(2016·新课标全国卷Ⅱ，10)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x1.解析 函数y ＝10lg x的定义域为{x |x >0}，值域为{y |y >0}，所以与其定义域和值域分别相同的函数为y＝1x，故选D.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅰ，8)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.c a log <c b log B a c log <b c log C.a c<b cD.c a>cb2.解析 对A ：c a log ＝lg c lg a ，c b log ＝lg clg b，∵0<c <1，∴lg c <0，而a >b >0，所以lg a >lg b ，但不能确定lg a 、lg b 的正负，所以它们的大小不能确定，所以A 错；对于B ：a c log ＝lg a lg c ，b c log ＝lg b lg c ，而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1lg c 改变不等号方向，所以选项B 正确；对C ：由y ＝x c在第一象限内是增函数，即可得到a c>b c，所以C 错； 对D ：由y ＝c x在R 上为减函数，得c a<c b，所以D 错.故选B. 答案 B3.(2015·四川，4)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.解析 若a ＞b ＞1，那么log 2a ＞log 2b ＞0； 若log 2a ＞log 2b ＞0，那么a ＞b ＞1，故选A.答案 A4.(2015·湖南，8)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数4.解析 易知函数定义域为(－1，1)，又f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数．答案 A5.(2014·福建，8)若函数y ＝log a x ( a ＞0，且a ≠1)的图象如下图所示，则下列函数图象正确的是( )5.解析 因为函数y ＝log a x 过点(3，1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3.y ＝3－x不可能过点(1，3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1，1)，排除C; y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1), 排除D ，故选B.答案 B6.(2014·山东，6)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A ．a ＞1，c ＞1 B ．a ＞1,0＜c ＜1 C ．0＜a ＜1，c ＞1 D ．0＜a ＜1,0＜c ＜16解析 由对数函数的性质得0＜a ＜1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c ＞0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c ＜1.答案 D7.(2014·天津，4)设a ＝log 2 π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a解析 利用中间量比较大小．因为a ＝log 2π∈(1，2)，b ＝log 12π＜0，c ＝π－2∈(0，1)，所以a ＞c ＞b . 答案 C8.(2014·辽宁，3)已知a ＝213-，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b8 解析 a ＝2－13＜20＝1，所以0＜a ＜1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，所以c ＞a ＞b . 答案 D9.(2014·四川，7)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c9 解析 由已知得5a＝b ，10c＝b ，∴5a＝10c，∵5d＝10，∴5dc＝10c，则5dc＝5a，∴dc ＝a ， 答案 B10.(2015·四川，12)lg 0.01＋log 216＝________. 10解析 lg 0.01＋log 216＝lg 1100＋log 224＝－2＋4＝2.答案 211.(2015·安徽，11)lg 52＋2lg 2－121-⎪⎭⎫⎝⎛＝________.11解析 lg 52＋2lg 2－121-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1.答案 －112.(2015·浙江，9)计算：log 222＝________，24log 3log 32＋＝________. 12.解析 log 222＝1-22log 2＝－12，24log 3log 32＋＝221log 3log 322＋＝322log 32＝3 3.答案 －12 3 313.(2014·陕西，12)已知4a＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.13.解析 由已知4a ＝2⇒a ＝log 42＝12，又lg x ＝a ⇒x ＝10a ＝1012＝10.答案 101.(2016·新课标全国Ⅰ，9)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )1.解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；在x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅱ，12)已知函数f (x ) (x ∈R)满足f (x )= f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3|与y =f (x )图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则x i =( )A. 0B. mC. 2mD. 4m 2.解析 函数f (x ) (x ∈R)满足f (x ) = f (2-x )， 故函数f (x )的图象关于直线x =1对称，函数y =|x 2-2x -3|的图象也关于直线x =1对称，故函数y =|x 2-2x -3|与y= f (x )图象的交点也关于直线x =1对称， 故x i =×2=m，故选B.答案 B3.(2016·浙江，3)函数y ＝sin x 2的图象是( )3.解析 y ＝sin x 2为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除A 、C. 又当x 2＝π2，即x ＝±π2时，y max ＝1，排除B ，故选D. 答案 D4.(2015·新课标全国Ⅱ，11)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )4.解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x≤π4时，在Rt△POB 中，|PB|＝|OB|tan ∠POB ＝tan x ，在Rt△PAB中，|PA|＝22PB AB +＝4＋tan2x ，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝4＋tan2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD 的中点重合，即x ＝π2时，△PAO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|PA|＋|PB|＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.故选B. 答案 B5.(2015·浙江，5)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )5.解析 ∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D6.(2014·浙江，8)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )6.解析 根据对数函数性质知，a ＞0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1，1)点也可以排除)；选项B 从对数函数图象看a ＜1，与幂函数图象矛盾；选项C 从对数函数图象看a ＞1，与幂函数图象矛盾.故选D. 答案 D7.(2014·辽宁，10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，347.解析 当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.故选A.答案 A考点6 函数与方程1.(2015·天津，8)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 1.解析函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，记h (x )＝－f (2－x )，在同一平面直角坐标系中作出函数f (x )与h (x )的图象，如图所示，g (x )的图象为h (x )的图象向上平移3个单位，可知f (x )与g (x )的图象有两个交点，故选A. 答案 A2.(2015·安徽，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x2.解析 对数函数y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1为偶函数但没有零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝cosx 是偶函数且有零点，故选D.答案 D3.(2014·重庆，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 3.解析 g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝m (x ＋1)的图象有两个交点，在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]和函数y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－3，x ∈(－1，0]和y ＝x ，x ∈(0，1]都相交时，0＜m ≤12；当直线y ＝m (x ＋1)与y ＝1x ＋1－4，x ∈(－1，0]有两个交点时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m （x ＋1），y ＝1x ＋1－3，消元得1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0，化简得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，当Δ＝9＋4m ＝0，m ＝－94时，直线y ＝m (x ＋1)与y＝1x ＋1－3相切，当直线y ＝m (x ＋1)过点(0，－2)时，m ＝－2， 所以m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2. 综上所述，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪(0，12]，选择A.答案 A4.(2014·北京，6)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞) 4.解析 因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)，故选C. 答案 C5.(2016·山东，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x ＞m ，其中m ＞0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.5.解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |.当x ＞m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数.若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m ＜|m |. ∵m ＞0，∴m 2－3m ＞0，解得m ＞3. 答案 (3，＋∞)6.(2015·江苏，13)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．6.解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根的个数为4. 答案47.(2015·湖北，13)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．7.解析 f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2.令f (x )＝0，则sin 2x ＝x 2，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2的图象的交点个数． 作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f (x )的零点个数为2.答案 28.(2014·天津，14)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．8.解析 由题意，函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，得函数y 1＝f (x )与y 2＝a |x |的图象有4个不同的交点．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a 显然大于0)．由图知，当y 2＝－ax (x ＜0)与y 1＝－x 2－5x －4(－4＜x ＜－1)相切时，x 2＋(5－a )x ＋4＝0有两个相等的实数根，则(5－a )2－16＝0，解得a ＝1(a ＝9舍去).所以当x ＜0时，y 1与y 2的图象恰有3个不同的交点．显然，当1＜a ＜2时，两个函数的图象恰有4个不同的交点，即函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点．答案 (1，2)9.(2014·福建，15))函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数为________．9.解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2；当x ＞0时，f (x )＝2x －6＋ln x ， 因为f ′(x )＝2＋1x＞0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝2－6＋ln 1＝－4＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上有且只有一个零点． 综上所述，函数f (x )的零点个数为2. 答案 2考点7 函数模型及其应用1.(2016·四川，7)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发奖金130万元.在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年1.解析 设第x 年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x ＝200，∴1.12x ＝2013，∴x ＝log 1.122013＝log 1.1220－log 1.1213＝lg 20lg 1.12－lg 13lg 1.12＝（lg 2＋lg 10）－（lg 1.3＋lg 10）lg 1.12＝0.3＋1－0.11－10.05＝3.8. 即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2019年超过200万元.答案 B2.(2014·山东，9)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1) 2.解析 由题意可得准偶函数的图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，即准偶函数的图象存在不是y 轴的对称轴．选项A 、C 中函数的图象不存在对称轴，选项B 中函数的图象的对称轴为y 轴，只有选项D 中函数的图象存在不是y 轴的对称轴．答案 D3.(2014·湖北，16)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l. (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．3.解析 (1)F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 0002121＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立． (2)F ＝76 000v ＋20×5v＋18≤76 0002100＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100. 答案 (1)1 900 (2)1004.(2014·四川，15)以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M ，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M ，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x 时，φ1(x)∈A ，φ2(x)∈B ，现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D ，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f(a)＝b”；②若函数f(x)∈B ，则f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A ，g(x)∈B ，则f(x)＋g(x)∉B ；④若函数f(x)＝aln(x ＋2)＋x x2＋1(x ＞－2，a ∈R)有最大值，则f(x)∈B. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)4.解析 ①显然正确；②反例：函数y ＝12x ＋1的值域为(0，1)，存在M ＝1符合题意，但此函数没有最值； ③当f (x )趋于＋∞时，无论g (x )在[－M ，M ]内如何取值，f (x )＋g (x )都趋于＋∞，所以f (x )＋g (x )不可能有最大值，此命题正确；④由于ln(x ＋2)的值域为R ，xx 2＋1的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，由③知如果a ≠0，则函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x x 2＋1的值域为R ，无最大值，与已知矛盾，所以a ＝0，所以此命题正确．答案 ①③④。

真题演练集训．[·福建卷]下列函数为奇函数的是( )．＝．＝．＝－－．＝答案：解析：对于，()＝－－的定义域为，(－)＝－－＝－()，故＝－－为奇函数．而＝的定义域为{≥}，不具有对称性，故＝为非奇非偶函数．＝和＝为偶函数．．[·新课标全国卷Ⅰ]设函数()，()的定义域都为，且()是奇函数，()是偶函数，则下列结论中正确的是( )．()()是偶函数．()()是奇函数．()()是奇函数．()()是奇函数答案：解析：：令()＝()()，则(－)＝(－)·(－)＝－()()＝－()，∴()是奇函数，错．：令()＝()()，则(－)＝(－)·(－)＝－()()＝()()＝()，∴()是偶函数，错．：令()＝()()，则(－)＝(－)(－)＝－()()，∴()是奇函数，正确．：令()＝()()，则(－)＝(－)(－)＝－()()＝()()＝()，∴()是偶函数，错．．[·山东卷]已知函数()的定义域为.当＜时，()＝－；当－≤≤时，(－)＝－()；当＞时，＝，则()＝( )．－．－．．答案：解析：由题意可知，当－≤≤时，()为奇函数，且当>时，(＋)＝()，所以()＝(×＋)＝()．而()＝－(－)＝－[(－)－]＝，所以()＝.故选.．[·新课标全国卷Ⅰ]若函数()＝(＋)为偶函数，则＝.答案：解析：∵()为偶函数，∴(－)－()＝恒成立，∴－(－＋)－(＋)＝恒成立，∴＝恒成立，∴＝，即＝.．[·四川卷]已知函数()是定义在上的周期为的奇函数，当<<时，()＝，则＋()＝.答案：－解析：因为()是定义在上的奇函数，所以()＝.又()＝－(－)，(＋)＝()，所以(＋)＝－(－)，令＝，得()＝－()，所以()＝.＝＝＝－＝－，所以＋()＝－.课外拓展阅读四招突破抽象函数问题抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．抽象函数问题的解决，往往要从函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数的图象入手，下面我们从个不。

A组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·湖南株洲二中月考)如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y＝a x，y＝b x，y ＝c x，y＝d x在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序为( )A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜c＜dC．b＜a＜d＜c D．a＜b＜d＜c由题意得，根据指数函数的图象与性质，可作直线x＝1，得到四个交点，自下而上可知指数函数的底数依次增大，即b＜a＜d＜c.故选C.【答案】 C2．(2017·河南三市一模)函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )f(x)＝2|x－1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移1个单位得到的，由此得到正确选项为B.【答案】 B3．(2017·湖北宜昌一模)如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)经过点E，B，则a＝( )A. 2B. 3C．2 D．3设点E(t，a t)，则点B坐标为(2t，2a t)．因为2a t＝a2t，所以a t＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝a t×2t＝4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝ 2.故选A.【答案】 A4．(2017·株洲模拟)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.2，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜aa ＝21.2＞21＝2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.2＝215＜21＝2，215＞20＝1，故1＜b ＜2，c ＝log 54＜log 55＝1.故c ＜b ＜a .【答案】 A5．(2017·山东菏泽一模)若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间(k ＞0)上的值域为，则m ＋n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4 ∵f (x )＝1＋2·2x2x ＋1＋sin x＝1＋2·2x＋1－12x ＋1＋sin x＝2＋1－22x ＋1＋sin x＝2＋2x－12x ＋1＋sin x .记g (x )＝2x－12x ＋1＋sin x ，则f (x )＝g (x )＋2，易知g (x )为奇函数，g (x )在上的最大值与最小值互为相反数，∴m ＋n ＝4. 【答案】 D6．(2017·浙江温州瑞安四校联考)计算0.25－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3212×⎝ ⎛⎭⎪⎫27414－10×(2－3)－1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1300－12＝________． 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫32×33212－102－3＋1＋30012＝4×32－10(2＋3)＋1＋103＝6－20＋1＝－13.【答案】 －137．(2017·江苏徐州沛县歌风中学期中)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________．设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0＜t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，148．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≥0，f （－x ），x ＜0，则函数g (x )的最小值是________．当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x ＜0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12为单调减函数，所以g (x )＞g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0. 【答案】 09．(2017·长春模拟)已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈的值域；(2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1＝2(2x )2－2x－1，令t ＝2x，x ∈，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1＜0，不成立．当a ＜0时，开口向下，对称轴m ＝14a＜0，过点(0，－1)，不成立．当a ＞0时，开口向上，对称轴m ＝14a ＞0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以，a＞0.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)． 10．(2017·上海松江区期末)已知函数f (x )＝a|x ＋b |(a ＞0，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． (1)∵f (x )为偶函数，∴对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )． 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x ＜－b .①当a ＞1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， ∴－b ≤2，b ≥－2.②当0＜a ＜1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a ＞1且b ≥－2.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2016·课标全国Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，所以423＜523，即a ＜c ，又因为函数y ＝4x在R 上单调递增，所以425＜423，即b ＜a ，所以b ＜a ＜c ，故选A.【答案】 A12．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 【答案】 B13．(2017·福建四地六校联考)y ＝2·a|x －1|－1(a ＞0，a ≠1)过定点________．由题根据指数函数性质令|x －1|＝0，可得x ＝1，此时y ＝1，所以函数恒过定点(1，1)．【答案】 (1，1)14．(2017·皖北协作区联考)函数f (x )＝1－e x的值域为________．由1－e x ≥0，e x ≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}．所以0＜e x ≤1，－1≤－e x＜0，0≤1－e x＜1，函数f (x )的值域为[0，1)．【答案】 [0，1)15．(2017·广元模拟)已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1，1)上的解+析式； (2)判断f (x )在(0，1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1，1)上有实数解？ (1)∵f (x )是x ∈R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 设x ∈(－1，0)，则－x ∈(0，1)， f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋1＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 4x＋1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x4x ＋1，x ∈（－1，0），0，x ＝0，2x 4x＋1，x ∈（0，1）.(2)设0＜x 1＜x 2＜1，f (x 1)－f (x 2)＝（2x 1－2x 2）＋（2x 1＋2x 2－2x 2＋2x 1）（4x 1＋1）（4x 2＋1）＝（2x 1－2x 2）（1－2x 1＋x 2）（4x 1＋1）（4x 2＋1），∵0＜x 1＜x 2＜1，∴2x 1＜2x 2，2x 1＋x 2＞20＝1，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x )在(0，1)上为减函数． (3)∵f (x )在(0，1)上为减函数，∴2141＋1＜f (x )＜2040＋1，即f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12. 同理，f (x )在(－1，0)上时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25.又f (0)＝0，当λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25∪⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12，或λ＝0时，方程f (x )＝λ在x ∈(－1，1)上有实数解．。

【课时训练】指数与指数函数一、选择题1．(2019某某某某调研)函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )A B C D 【答案】B【解析】由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．故选B.2．(2018某某某某一中月考)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【答案】A【解析】由题意可知a >1, f (－4)＝a 3,f (1)＝a 2，由y ＝a t(a >1)的单调性知a 3>a 2，所以 f (－4)>f (1)．3．(2018某某某某调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．4．(2018某某某某一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x【答案】D【解析】由题图可知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x.故选D.5．(2018某某省实验中学分校月考)函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C【解析】函数y ＝16－2x中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝∈[0,4)．故选C.6．(2018某某某某第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )·(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4【答案】D【解析】由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．(2018某某某某联考)已知函数f (x )＝e x，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则下列关于f (x )的性质：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②y ＝f (x )不存在反函数；③f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22；④方程f (x )＝x 2在(0，＋∞)上没有实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④【答案】B8．(2018某某某某联考)若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1【答案】B【解析】∵函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a ，∴函数f (x )的定义域为[a ，＋∞)． ∵函数f (x )的定义域与值域相同， ∴函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又∵函数f (x )在[a ，＋∞)上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.故选B.二、填空题9．(2018某某某某一模)已知函数f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________. 【答案】12【解析】∵f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，∴e a －e －a e a ＋e －a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 10．(2018某某一中月考)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.【答案】 3【解析】当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又a >1，∴a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数，又f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3.11．(2018某某十校联考)已知max (a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max {e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．【答案】e【解析】由于f (x )＝max {e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.12．(2018某某某某海阳一中期中)已知函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]，则实数m 的取值X 围为________．【答案】[2,4] 【解析】函数f (x )＝2|x －2|－1的对称轴为直线x ＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x ＝2对称，f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以结合图象可知m ∈[2,4]．三、解答题13．(2018某某余姚中学月考)已知定义在R 上的函数 f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，某某数m 的取值X 围． 【解】(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值X 围是[－5，＋∞)．。