弹性力学发展史及实际中的解题方法

弹性力学
弹性力学简介elasticity
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。

它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。

绝对弹性体是不存在的。

物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

弹性力学的发展简史
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。

当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。

弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。

英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。

牛顿于1687年确立了力学三定律。

同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。

在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。

这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。

在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。

到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。

柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。

第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。

这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。

同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。

1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。

在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。

这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。

在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。

一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。

另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利——里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。

从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘弹性理论等。

磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。

此外，还建立了弹性力学广义变分原理。

这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。

弹性力学的基本内容
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。

弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。

连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。

这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。

求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。

从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。

但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。

所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。

数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。

在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。

例如，把切应力的成对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本构方程。

对于弹性体的某一点的本构方程，除考虑该点本身外还要考虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。

一．弹性力学的基本规律规律假设
弹性力学的研究对象是完全弹性体。

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。

井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化，我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩条件。

要研究岩体的弹性问题,必须要给它一个前提,也就是对它的假设,基本假设是弹性力学讨论问题的基础。

没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介绍弹性力学的几个基本假设：
1.连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质
所充满，各个质点之间不存在任何空袭。

2.均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。

因此
物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。

因此，物体的弹性性质处处是相同的。

3.各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，
这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。

4.完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对
应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全
弹性材料。

5.小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，
物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。

6.无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外
力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。

根据这一假设，
弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。

二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法：
弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。

数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。

数学方法是偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。

（1）解析法，即直接求解偏微分方程边值问题，这在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。

（2）数值解法是采用计算机处理的近似解法。

近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得有限元方法首先在弹性力学应用领域发展起来。

有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就
下面谈一下弹性力学在实际应用中解决问题的实际方法：
1.应力函数法
该方法主要是用应力作为基本变量求弹性力学的平面问题，在体力为常量时，归结为在给定的边界条件下求解平衡方程
2.复变函数法
它的基本思路时将Airy应力函数用两个解析函数表示，并将位移、应力和边界条件也表示成复变函数的形式，从而吧平面问题转化为在给定的边界条件下，去尊求两个解析函数的问题。

在弹性力学问题的求解中，边界条件一般时很难完全满足的，这时我们可以利用Saint.Venant原理，使在大边界上完全满足边界条件，在小边界上等效满足。

3.有限单元法
从物理概念上看，弹性力学有限单元法是杆系结构力学的矩阵位移法（即杆系结构的有限单元法）弹性体是个连续体，为了能用结构力学的矩阵方法来计算弹性力学问题，首先必须对弹性体进行离散化，也就是将连续的弹性体分割成有限个有限大小的构件，它们通过有限个点互相联系，这些有限大小的构件就成为有限单元，简称有限元，而连接它们的点九成为结点。

通过离散化以后，由于单元之间只通过结点联系，所以物体所受到的体力和面力都应按静力等效的原则移置到结点上，成为结点载荷，这样，通过离散化就得出一个由若干单元在结点处铰接，并受已知结点载荷的结构体系，这就是有限元计算模型。

计算时通常采用位移法，即取结点的未知位移为基本未知量。

对单元选择适当的位移模式即形状函数，则单元内任一点的位移可由结点位移表示，通过对单元进行变形几何关系、物理关系、静力平衡关系的分析就能得到应变、应力分量及结点对单元的作作用力，即结点力和结点位移的关系。

这样，所有欲求的力学量都用结点位移表示，这一步称单元分析。

再对每一结点建立结点荷载与结点力的平衡关系，则对整个叹息可以得到一组以结点位移为未知量的代数方程，这一步称整体分析。

引入支撑条件，求解线性代数方程，求出结点位移，进而求出其它的力学量。

这就时弹性力学的有限单元法，对于这样方法，已经由许多成熟的有限元软件可以使用，如：ANSYS,NASTRAN等，它们不但可以求解平面问题，而且还可以方便的求解弹性力学的空间问题。

弹性力学的发展对促进数学和自然科学基本理论的建立和发展，对井下工程的发展也起到了一定作用。

弹性力学为社会发展和人类的文明进步起了重要的作用。