4月周考（1）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{320}A x R x =∈+>，{(1)(3)0}B x R x x =∈+->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．2(1,)3--C ．2(,3)3- D ．(,1)-∞- 2.命题“2,x R x x ∀∈≠”的否定是（ ）A ．2,x R x x ∀∉≠B ．2,x R x x ∀∈=C ．2,x R x x ∃∉≠D ．2,x R x x ∃∈=3.双曲线2213y x -=的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x = 4.函数41()2x xf x +=的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称5.已知条件:1P x >或3x <-，条件:q x a >，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．3a ≥-D ．3a ≤-6.设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 是其前n 项的和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12-7.已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边长，若1,2a b A C B =+=，则sin C =（ ）A ．1B ．12 C．2D．2 8.把函数sin()4y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A ．8x π= B ．4x π=- C ．2x π=- D ．4x π=9.程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（ ） A ．11?k ≤ B ．10?k ≤ C ．9?k < D ．10?k <10.在平面区域00x y x y ⎧≥⎪≥⎨⎪+≤⎩内随机取一点，则所取的点恰好落在圆221x y +=内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 11.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且x R ∀∈，()(4)f x f x =+，当(2,0)x ∈-时，()2x f x =，则(2015)(2013)f f -的值为（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．1 12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,8,cos 5AB BF ABF ==∠=，则C 的离心率为（ ） A ．35 B ．45 C ．57 D ．67第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13.已知442cos sin 3αα-=，(0,)2πα∈，则2cos(2)3πα+=__________. 14.已知实数,x y 满足41y x x ay y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若3z x y =+的最大值为16，则a =__________.15.已知2a b ==，若函数()f x a xb =+()x R ∈的最小值为1，则a b ∙=__________.16.如图，,B C 两点在双曲线2214y x -=的右支上，线段BC 的垂直平分线DA 交y 轴于点(0,4)A ，若7cos 15BAC ∠=-，则点A 到直线BC 的距离d =__________.三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 已知函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-（1）求函数()f x 的单调递增区间，并说明把()f x 图象经过怎样的变换得到()sin 2g x x =的图象；（2）若在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且1,2a b c =+=，1()2f A =，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）如图，在直棱柱1111ABCD A BC D -中，//AD BC ，090BAD ∠=，111AC B D ⊥，1BC =，13AD AA ==.（1）证明：平面1ACD ⊥平面11B BDD ； （2）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，则测量结果得如下频率分布直方图：（1）估计这500件产品质量指标值的样本平均数x ；（2）由频率分布直方图可以认为，这种总产品的质量指标值Z 近似服从正态分布2(,)N m d ，其中μ近似为样本平均数x ，2d 近似为样本方差2s .（由样本估计得样本方差为2150s =）（i ）利有该正态分布，求(212.2)P Z <;（ii ）若这种产品质量指标值位于这三个区间(165,187.8)，(187.8,212.2)，(212.2,235)的等级分别为二等品，一等品，优质品，这三类等级的产品在市场上每件产品的利润分别为2元，5元，10元.某商户随机从该企业批发100件这种产品后卖出获利，记X 表示这100件产品的利润，利用（i ）的结果，求EX .12.2≈，若2~(,)Z N m d ，则()0.6826P m d Z m d -<<+=，(22)0.9544P m d Z m d -<<+=.）20.（本小题满分12分）如图，点(0,1)P -是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径，12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于,A B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积的最大值及取得最大值时直线1l 的方程.21.（本小题满分12分）设函数()2ln ()f x ax x a R =--∈.（1）若()f x 在点(,())e f e 处的切线为0x ey b -+=，求,a b 的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）若()xg x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >.22.（本小题满分10分） 设函数()214f x x x =+--.（1）解不等式()0f x >；（2）若()4f x x m +->对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围.江西省赣州市博雅文化学校2016届高三下学期4月周考（1）理科数学参考答案一、选择题1-5.ADDCA 6-10.DACDB 11-12.DC二、填空题13.14. 0 15. ± 16. 三、解答题17.解： （1）∵211()sin(2)2cos 12cos 2cos 22cos 2sin(2)622226f x x x x x x x x x ππ=-+-=-+=+=+∴函数()f x 的单调递增区间是[,]36k k ππππ-+()k Z ∈.可将()f x 图象横坐标向右平移12π个单位，纵坐标不变得到()sin 2g x x =的图象. （2）∵1()2f A =，∴1sin(2)62A π+=，又0A π<<，∴132666A πππ<+<.∴5266A ππ+=，故3A π=.（1）证明：∵11//AA CC 且11AA CC =，∴11//AC AC ∵111//AC B D ，∴1//AC B D因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，所以AC ⊥平面11B BDD ，又因为AC ⊂平面1ACD ，平面1ACD ⊥平面11B BDD ； （2）解：因为11//B C AD ，所以直线11B C 与平面1ACD 所成的角等于直线AD 与平面1ACD 所成的角（记为θ），如图，连接1A D ，因为棱柱1111ABCD A BC D -是直棱柱，且011190B A D BAD ∠=∠=，所以11A B ⊥平面11ADD A ，从而111A B AD ⊥，又13A D A A ==，所以四边形11ADD A 是正方形，于是11A D AD ⊥，故1AD ⊥平面11A B D ，于是11AD B D ⊥.由（1）知，1AC B D ⊥，所以1B D ⊥平面1ACD ，故0190ADB θ∠=-，在直角梯形ABCD 中，因为AC BD ⊥，所以BAC ADB ∠=∠，从而Rt ABC ∆∽Rt DAB ∆，故AB BCDA AB=，即AB ==连接1AB ，易知1AB D ∆是直角三角形，且22222211121B D BB BD BB AB AD =+=++=，即1B D 1Rt AB D ∆中，11cos AD ADB B D ∠===，即0cos(90)θ-=从而sin 7θ=，即直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值为7. 方法二：（1）证明：易知，1,,AB AD AA 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设AB t =，则相关各点的坐标为(0,0,0)A ，(,0,0)B t ，1(,0,3)B t ，(,1,0)C t ，1(,1,3)C t ，(0,3,0)D ，1(0,3,3)D .从而1(,3,3)B D t =--，11(,1,0)AC AC t ==，(,3,0)BD t =-，因为AC BD ⊥，所以3300AC BD ∙=-++=，解得t =t =（舍去）.于是1(3)B D =-，11(3,1,0)AC AC ==， 因为11AC AC =，3300AC BD ∙=-++=，所以AC BD ⊥，即1AC B D ⊥， 因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以1AC BB ⊥，所以AC ⊥平面11B BDD .又因为AC ⊂面1ACD ，平面1ACD ⊥平面11B BDD .（2）解：由（1）知，(0,3,3)AD =，(3,1,0)AC =，11(0,1,0)BC =.设(,,)n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则，即0330y y z +=+=⎪⎩，令1x =，则(1,3,n =-，设直线11B C 与平面1ACD 所成角为θ，则113sin cos ,7n B C θ===即直线11B C 与平面1ACD 所成角所成角的正弦值为7.19.解：（1）取个区间中点值为区间代表计算得：1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）（i ）(212.2)0.8413P Z <=.（ii ）设这种产品每件利润为随机变量Y ，其分布列为()20.158750.6826100.1587 5.3174E Y =⨯+⨯+⨯= ()(100)100 5.3174531.74E X E Y ==⨯=.20.解：（1）由题意得12b a =⎧⎨=⎩，∴椭圆1C 的方程为2214x y +=. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-.故点O 到直线1l 的距离为d =，又圆222:4C x y +=，∴AB ==11l l ⊥， ∴直线2l 的方程为0x ky k ++=，由22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y ，整理得22(4)80k x kx ++=， 故0284k x k =-+，代入2l 的方程得：20244k y k-=+∴||PD ==设ABD ∆的面积为S，则1||||2S AB PD ==∴32S =≤==即k =∴当k =ABD ∆1l的方程为12y x =±-. 21.∵()2ln ()f x ax x a R =--∈ ∴'11()ax f x a x x-=-= 又()f x 在点(,())e f e 的切线的斜率为1e（2）由（1）知，'11()ax f x a x x-=-=(0)x > 当0a ≤时，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，∴()f x 在(0,)+∞上是单调减函数，当0a >时，令'()0f x =解得：1x a= 当x 变化时，'()f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：由表可知，()f x 在1(0,)a 上是单调递减函数；在1(,)a +∞上是单调增函数综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调减区间为1(0,)a ，单调增区间为1(,)a +∞. ∴'11()ae f e e e -==，∴2a e=，∴切点为(,1)e -，把切点代入切线方程得2b e =- （3）当0x >时，要证()0x f x ax e -+>，即证ln 20x e x -->令()ln 2(0)x g x e x x =-->，只需证()0g x > ∵'1()x g x e x=- 由指数函数及幂函数的性质知，'1()x g x e x =-在(0,)+∞上是增函数， 又'(1)10g e =->，1'31()303g e =-<，∴''1(1)()03g g ∙<， '()g x 在1(,1)3内存在唯一的零点，也即'()g x 在(0,)+∞上有唯一零点 设'()g x 的零点为t ，则'1()0t g t e t =-=，即1t e t =1(1)3t <<，由'()g x 的单调性知， 当(0,)x t ∈时，''()()0g x g t <=，()g x 为减函数，当(,)x t ∈+∞时，''()()0g x g t >=，()g x 为增函数，所以，当0x >时，111()()ln 2ln22220t t g x g t e t t t e t ≥=--=--=+-≥-=， 又113t <<，故等号不成立， ∴()0g x >22.（1）当4x ≥时，()21(4)50f x x x x =+--=+>，得5x >-，所以4x ≥成立， 当142x -≤<时，()214330f x x x x =++-=->，得1x >，所以14x <<成立， 当12x <-时，()50f x x =-->，得5x <-，所以5x <-成立. 综上，原不等式的解集为{|15}x x x ><-或.（2）()3|4||21|2|4||21(28)|9f x x x x x x +-=++-≥+--=当4x ≥或12x ≤-时等号成立，所以9m <.。
九江市2015年第三次高考模拟统一考试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D A C B B A B D B D6.解：命题错误！未找到引用源。
成立，则错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
.错误！未找到引用源。
成立，则错误！未找到引用源。
.命题错误！未找到引用源。
成立，则错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
，故选B.7.解：错误！未找到引用源。
，故选B.8.解：当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，即错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
当错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，两式相减得错误！未找到引用源。
故数列错误！未找到引用源。
从第二项起是首项为2，公差为2的等差数列， 错误！未找到引用源。
，故选 A. 9.解:建立如图直角坐标系，设错误！未找到引用源。
，依题意得错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，故选B.10.解：不等式组错误！未找到引用源。
所表示的平面区域为错误！未找到引用源。
及其内部， 其中错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
，且点错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
均在圆错误！未找到引用源。
的内部，故要使得错误！未找到引用源。
最小，则错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，故选D.11. 解：设错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，故选B.12. 解：令错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，画出两函数的图像 当错误！未找到引用源。
参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.解：[1,2]B =，{2}A B ∴=，故选C. 2.解：2(2)(1)131222i i i z i i +++===+-，故选B. 3.解：222232()2sin cos 2tan 155sin 2=3sin cos tan 117()15ααααααα⨯-===-++-+，故选B. 4.解：(4)52k k-+= 7k ∴= 故选B. ϕπ< 6.解：1i =时，1()2co s (21)f x x =+；2i =时，22()2s i n(21)f x x =-+；3i =时，33()2c o s (21)f x x =-+；4i =时，44()2sin(21)f x x =+；…； 8i =时，88()2sin(21)f x x =+，结束，故选B.7.解：:)2p l y x =- 联立方程组22)2y p y x px ⎧⎪⎨=-=⎪⎩，得(,)42p N p - 3424p p NF p ∴=+=，322p MF p p ∴=+= :1:2NF FM ∴=，故选C. 8.解：依题意，得实数,x y 满足303001x y xy y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，画出可行域如图所示，其中(3,0)A ，(2,1)C2151[,2]311y x z y y x x+==+∈++，故选A. 9.解：直观图如图所示四棱锥P ABCD -12222PAB PAD PDC S S S ∆∆∆===⨯⨯=PA BD01sin 602PBC S ∆=⨯=2ABCD S ==四边形故此棱锥的表面积为，故选A.10.解：设内切圆的半径为R ，4,3,5a b c ===128PMF PMF S S ∆∆=+ 121)82PF PF R ∴-=( 即8aR = 2R ∴=1212102MF F S c R ∆∴=⋅⋅=，故选B.11.解：如图，5OA =，3AM = 4OM ∴=又3NMO π∠=sin 3ON OM π∴=⋅= 又5OB =NB ∴== B.12.解：如图所示，易得1a >依题意得log 44log 102a a <⎧⎨>⎩，a << D.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.解：2x 的系数为1512426622(1)2(1)C C ⨯⨯-+⨯⨯-=-14.解:设切点为00(,)x y ，则001()1x f x e a'=-⋅=-，0x e a ∴=，又0011x e x a -⋅=-+，02x ∴=2a e ∴=15.解：11(1)2015m a m d n =+-=，11(1)2015n a n d m =+-= 11()m n d n m∴-=- 1d mn ∴=111(1)2015m a m mn n ∴=+-= 解得112015mn =，即12015d =.16.解：222a b c bc =++ 2221cos 22b c a A bc +-∴==- A ∴设圆O 的半径为R ，则222sin sin 3a R A π=== 1R ∴= 1cos sin cos 24S B C bc A B C ∴+=+=sin cos )B C B C B C -当6B C π==时，cos S B C 取得最大值建立如图直角坐标系，则(0,1)A，1()2B，1)2C ，设(cos ,sin )P θθ，则1(cos ,sin 1)(cos )22PA PB θθθθ⋅=-+-333sin )22223πθθθ=-+=++ 当且仅当cos()13πθ+=时，PA PB ⋅取最大值32三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解:（1）当1n =时，()21111111a S a a a a ==-=-10a ≠ 12a ∴=………2分当2n ≥时，1(1)n n S a a =-………① 111(1)n n S a a --=-………② ①-②得()11122n n n n n a a a a a a --=-=- 12n n a a -∴=………4分∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列 2n n a ∴=………6分(2)2n n nb =………7分 1231123122222n n n n n T --∴=+++++ 234111*********n n n n nT +-=+++++两式相减得23411111(1)1111112221122222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++++-=-=--…11分 222n n n T +∴=-………12分18.解：以D 为原点，DA 、DC 、DD '为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 设2AA AD '==，则=2AB λ则(0,0,0)D ，(2,02)A ',，(002)D ',,，(2,2,0)B λ，(0,20)C λ,，(1,,2)E λ，(100)F ,, ……2分(1)由已知可得(0,,2)EF λ=--，(2,0,0)D A ''=，(0,22)A B λ'=-,………3分EF D A ''⊥,EF A B '⊥ 0EF D A ''∴⋅=，0EF A B '⋅=………4分即2240λ-+= λ∴5分x(2)设平面EA B '的法向量为(1,,)m y z =，则0m A B m A E⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩2)A B '=- (1A E '=-2010z ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩ 2y ∴=，1z = 2(1,2m ∴=………7分 由（1）可得EF 为平面A BC '的法向量，且(0,2)EF =-………9分cos ,m EF m EF m EF⋅∴<>====⋅………11分又二面角C A B E -'-为锐二面角 ∴二面角C A B E -'-的余弦值为5………12分 19.解:(1)由表中数据得2K 的观测值()2250221288505.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯………2分所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关………3分 (2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x y 、分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤(如图所示) ………4分设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >………5分∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯ 即乙比甲先解答完的概率为18………7分 (3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种………8分X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X ==X 的分布列为：………11分1512110+1+22828282EX ∴=⨯⨯⨯=………12分设过点(3E的直线方程为3x ty =+，代入C 中得: 224(2)033t y ++-=，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则12232y y t +=-=+12243(2)y y t =-+………9分 21212222222222222121212()211111111()(1)(1)11y y y y t y t y t y y t y y EM EN +-+=+=⋅+=⋅++++ 222228[13(2)341[]3(2)t tt ++=⋅=+-+综上得定点为(3E ，定值为3………12分21.解：(1)由ln ()ab x f x x=，得2(1ln )()ab x f x x -'=………1分由题意得(1)f ab ae '==………2分 0a ≠ b e ∴=………3分(2)令21()(()())()ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++， 则任意1[,)x e ∈+∞，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1[,)e+∞有且只有两个零点.由21()()ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()x a x e h x x --'=………5分①当1a e≤时，由()>0h x '得x e >；由()0h x '<得1x e e <<.此时()h x 在1(,)e e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增. 2211()()ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<，242221112()()2(2)(2)(2)()0222h e e a e e ae e e e a e e e e=-++=--≥-->（或当x →+∞时，()0h x >亦可）∴要使得()h x 在1[,)e+∞上有且只有两个零点，则只需2111()ln 2a e h ae e e e e +=-+222(12)2(1)02e e e a e --+=≥，即22122(1+)e a e e -≤ ………7分②当1a e e<<时，由()>0h x '得1x a e <<或x e >；由()0h x '<得a x e <<.此时()h x 在(,)a e 上单调递减，在1(,)a e和()e +∞，上单调递增.此时222111()ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<∴此时()h x 在1[,)e+∞至多只有一个零点，不合题意………9分③当a e >时，由()0h x '>得1x e e <<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，此时()h x 在1(,)e e和()a +∞，上单调递增，在(,)e a 上单调递减，且21()02h e e =-<，∴()h x 在1[,)e+∞至多只有一个零点，不合题意………11分综上所述，a 的取值范围为2212(,]2(1+)e e e --∞………12分22.证明：(1)CD 为圆O 的切线，C 为切点， AB 为圆O 的直径 OC CD ∴⊥ (1)F分又AD CD ⊥ OC AD ∴// OCA CAE ∴∠=∠………3分 又OC OA = OAC OCA ∴∠=∠ OAC CAE ∴∠=∠ BC CE ∴=………5分(2)由弦切角定理可知，FCB OAC ∠=∠ =FCB CAE ∴∠∠四边形ABCE 为圆O 的内接四边形 180ABC CEA ∴∠+∠= 又+=180ABC FBC ∠∠ FBC CEA ∴∠=∠BCF EAC ∴∆∆∽………10分23.解:(1)由1x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得1x y -=………1分∴直线l 的极坐标方程为:cos sin 1ρθρθ-=(cos cossin sin)144ππθθ-= cos()14πθ+=………3分2sin 1sin θρθ=- 2sin cos θρθ∴= 2cos sin ρθθ∴= 2(cos )sin ρθρθ∴= 即曲线C 的普通方程为2y x =………5分 (2)设00(,)P x y ，200y x =P ∴到直线l的距离2013()x d -+====………8分∴当012x =时，min d = ∴此时11()24P ， ∴当P点为11(,)24时，P 到直线l 的距离最小，最小值为8………10分 24.解:(1)2a = 1(2)()3252(23)1(3)x f x x x x x x ≤⎧⎪∴=---=-<<⎨⎪-≥⎩………1分1()2f x ∴≤-等价于2112x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩或152223x x ⎧-≤-⎪⎨⎪<<⎩或3112x ≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩………3分 解得1134x ≤<或3x ≥，所以不等式的解集为11{|}4x x ≥………5分 (2)由不等式性质可知()3(3)()=3f x x x a x x a a =---≤----………8分∴若存在实数x ，使得不等式()f x a ≥成立，则3a a -≥，解得32a ≤ ∴实数a 的取值范围是3(,]2-∞………10分。
２０１５届井冈山中学高三第一次月考理科数学卷一．选择题1. i 是虚数单位，复数的虚部是 A ．- 2i B ．i C ．1 D ．-22. 已知集合，则满足A ∩B=B 的集合B 可以是A.B.C. D.{X |X >0|3. 统计甲、乙两名篮球运动员9场比赛得分情况得到茎叶图如图所 示，设甲、乙得分平均数分别为中位数分别为M 甲，M乙，则 下列判断正确的是A. B. C.D.4.5个不同的小球放入４个不同的盒子中，每个盒子中至少有一个小球，若甲球必须放入第一个盒子，则不同的放法种数是Ａ．１２０种 Ｂ．７２种 Ｃ．６０种 Ｄ．３６种 5下列四个命题中，①10x e dx e=⎰；②设回归直线方程为ˆ2 2.5,yx =-当变量X增加一个单位时，Y 大约减少2.5个单位；③已知ξ服从正态分布N （0，2σ），且(20)0.4P ξ-≤≤=，则：(2)0.1P ξ>=A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．在222,log ,x y y x y x ===，这三个函数中，当1021<<<x x 时，A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．若方程250x x m -+=与2100x x n -+=的四个根适当排列后，恰好组成一个首项1的等比数列，则:m n 值为（ ）8．定义在R上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角， 则(sin )f α与(cos )f β的大小关系是A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(sin )(cos )f f αβ<C ．(sin )(cos )f f αβ= D ．(sin )(cos )f f αβ≥于x 的函数()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点之和为 ( )A.1-2aB.21a-C.12a--D.21a--10．如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间T (分)的函数关系表示的图象只可能是（ ）二．选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分） 11．(1) (坐标系与参数方程选做题)已知抛物线C1的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x 882 (t 为参数)，圆C2的极坐标方程为)0(>=rr ρ，若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r ＝________. 的取值范围是________．三．填空题１２．函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为―――――――13.在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是a >0且a ≠1) ,则当F (X )为可等射函数时，a 的取值范围是 ---------- ．四．解答题16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2ac＋b c＝0. (1)求c 的值；(2)求△ABC 面积的最大值．17． 已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.1８．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，ED ⊥DG ，EF ∥DG .且AB ＝AD ＝DE ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1. (1)求证：BF ∥平面ACGD ；(2)求二面角D -CG -F 的余弦值．20．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21．设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.月考理科数学参考答案一．选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCCCCCABAB二．三选做题和填空题11．（1）-2 （2）),2()4,(+∞⋃--∞12．),2()21,0(+∞⋃ 13. 1014．41-15.（0，1）⋃（1，2） 16.解：(1)∵cos B cos C ＋2a c ＋bc＝0，∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0， ∴sin A ＋2sin A cos C ＝0.∵sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝2π3，∴c ＝asin A·sin C ＝ 3.(2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab，∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时，取等号，∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34，∴△ABC 面积的最大值为34.17.解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.18.解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)， 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.19.解 方法一 (1)设DG 的中点为M ，连接AM ，FM .则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形． ∴MF ∥DE ，且MF ＝DE .∵平面ABC ∥平面DEFG ， ∴AB ∥DE .∵AB ＝DE ，∴MF ∥AB ，且MF ＝AB ，∴四边形ABFM 是平行四边形． ∴BF ∥AM .又BF ⊄平面ACGD ，AM ⊂平面ACGD ，故BF ∥平面ACGD .(2)由已知AD ⊥平面DEFG ，∴DE ⊥AD .又DE ⊥DG ， ∴DE ⊥平面ADGC .∵MF ∥DE ，∴MF ⊥平面ADGC .在平面ADGC 中，过M 作MN ⊥GC ，垂足为N ，连接NF ，则∠MNF 为所求二面角的平面角．连接CM .∵平面ABC ∥平面DEFG ，∴AC ∥DM .又AC ＝DM ＝1，所以四边形ACMD 为平行四边形，∴CM ∥AD ，且CM ＝AD ＝2.∵AD ⊥平面DEFG ，∴CM ⊥平面DEFG ，∴CM ⊥DG .在Rt △CMG 中，∵CM ＝2，MG ＝1，∴MN ＝CM ·MG CG ＝25＝255.在Rt △FMN 中，∵MF ＝2，MN ＝255，∴FN ＝4＋45＝2305.∴cos ∠MNF ＝MN FN ＝2552305＝66.∴二面角D -CG -F 的余弦值为66.方法二 由题意可得，AD ，DE ，DG 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0,2)，B (2,0,2)，C (0,1,2)，E (2,0,0)，G (0,2,0)，F (2,1,0)． (1)BF →＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)， CG →＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，∴BF →＝CG →，∴BF ∥CG . 又BF ⊄平面ACGD ，故BF ∥平面ACGD . (2)FG →＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)．设平面BCGF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CG →＝y －2z ＝0，n 1·FG →＝－2x ＋y ＝0.令y ＝2，则n 1＝(1,2,1)．则平面ADGC 的法向量n 2＝(1,0,0)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1×112＋22＋12×12＋02＋02＝66.由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D -CG -F 的余弦值为66.20．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1，从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线l 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b xe x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上 的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞) 上的最大值为h (1)＝－1e.因为g min (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1e ＝h (1)＝h max (x )， 所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.。
