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2021高考数学分类汇编：数列

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2021年高考数学理试题分类汇编 数列

一、选择题 1、（2016年上海高考）已知无穷等比数列na的公比为q，前n项和为nS，且SSnnlim.下列条件中，使

得NnSSn2恒成立的是（ ） （A）7.06.0,01qa （B）6.07.0,01qa （C）8.07.0,01qa （D）7.08.0,01qa 【答案】B 2、（2016年全国I高考）已知等差数列{}na前9项的和为27，10=8a，则100=a （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 【答案】C 3、（2016年全国III高考）定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意2km，12,,,kaaa中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有 （A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个 【答案】C

4、（2016年浙江高考）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且1122,,nnnnnnAAAAAAn*N，

1122,,nnnnnnBBBBBBn*N，（PQPQ表示点与不重合）.

若1nnnnnnndABSABB，为△的面积，则

A．{}nS是等差数列 B．2{}nS是等差数列 C．{}nd是等差数列 D．2{}nd是等差数列 【答案】A

二、填空题 1、（2016年北京高考）已知{}na为等差数列，nS为其前n项和，若16a，350aa，则6=S_______.. 【答案】6 2、（2016年上海高考）无穷数列na由k个不同的数组成，nS为na的前n项和.若对任意Nn，3,2nS，则k的最大值为________. 【答案】4 3、（2016年全国I高考）设等比数列{}na学科网满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 . 【答案】64 4、（2016年浙江高考）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1= ，S5= . 【答案】1 121

三、解答题 1、（2016年北京高考） 设数列A：1a ，2a ,…Na (N).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有ka

＜na ，则称n是数列A的一个“G时刻”.记“)(AG是数列A的所有“G时刻”组成的集合. （1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出)(AG的所有元素； （2）证明：若数列A中存在na使得na>1a，则)(AG ； （3）证明：若数列A满足na-1na ≤1（n=2,3, …,N）,则)(AG的元素个数不小于Na -1a. 如果iG，取iiGmmin，则对任何iimnkiaaamk,1. 从而)(AGmi且1iinm. 又因为pn是)(AG中的最大元素，所以pG.

2、（2016年山东高考）已知数列na 的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb （Ⅰ）求数列nb的通项公式；

（Ⅱ）令1(1).(2)nnnnnacb 求数列nc的前n项和Tn. 【解析】(Ⅰ)因为数列na的前n项和nnSn832， 所以111a，当2n时， 56)1(8)1(383221nnnnnSSannn，

又56nan对1n也成立，所以56nan． 又因为nb是等差数列，设公差为d，则dbbbannnn21． 当1n时，db1121；当2n时，db1722，

解得3d，所以数列nb的通项公式为132ndabnn． (Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(nnnnnnnnnnnbac， 于是14322)33(2122926nnnT， 两边同乘以２，得 21432)33(2)3(29262nnnnnT，

两式相减，得 214322)33(23232326nnnnT

2222)33(21)21(2323nnn

222232)33()21(2312nnnnnnT．

3、（2016年上海高考）若无穷数列{}na满足：只要*(,)pqaapqN，必有11pqaa，则称{}na具有性质P. （1）若{}na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa，67821aaa，求3a； （2）若无穷数列{}nb是等差数列，无穷数列{}nc是公比为正数的等比数列，151bc，5181bc，nnnabc判断{}na是否具有性质P，并说明理由；

（3）设{}nb是无穷数列，已知*1sin()nnnabanN.求证：“对任意1,{}naa都具有性质P”的充要条件为“{}nb是常数列”. 【解析】 试题分析：（1）根据已知条件，得到678332aaaa，结合67821aaa求解． （2）根据nb的公差为20，nc的公比为13，写出通项公式，从而可得520193nnnnabcn． 通过计算1582aa，248a，63043a，26aa，即知na不具有性质． （3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明． 试题解析：（1）因为52aa，所以63aa，743aa，852aa． 于是678332aaaa，又因为67821aaa，解得316a． （2）nb的公差为20，nc的公比为13，

所以12012019nbnn，1518133nnnc． 520193nnnnabcn．

1582aa，但248a，63043a，26aa，

所以na不具有性质． （3）[证]充分性： 当nb为常数列时，11sinnnaba． 对任意给定的1a，只要pqaa，则由11sinsinpqbaba，必有11pqaa． 充分性得证． 必要性： 用反证法证明．假设nb不是常数列，则存在k， 使得12kbbbb，而1kbb． 下面证明存在满足1sinnnnaba的na，使得121kaaa，但21kkaa． 设sinfxxxb，取m，使得mb，则 0fmmb，0fmmb，故存在c使得0fc．

取1ac，因为1sinnnaba（1nk），所以21sinabcca， 依此类推，得121kaaac． 但2111sinsinsinkkkkababcbc，即21kkaa． 所以na不具有性质，矛盾． 必要性得证． 综上，“对任意1a，na都具有性质”的充要条件为“nb是常数列”．

4、（2016年四川高考）已知数列{na }的首项为1，nS 为数列{na }的前n项和，11nnSqS ，其中q>0，*nN . （I）若2322,,2aaa 成等差数列，求an的通项公式；

(ii)设双曲线2221nyxa 的离心率为ne ，且253e ，证明：121433nnnneee. 【答案】（Ⅰ）1=nnaq；（Ⅱ）详见解析. 解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,nnnnSqSSqS 两式相减得到21,1nnaqan. 又由211SqS得到21aqa，故1nnaqa对所有1n都成立. 所以，数列{}na是首项为1，公比为q的等比数列. 从而1=nnaq. 由2322+2aaa，，成等比数列，可得322=32aa，即22=32,qq，则(21)(2)0q+q， 由已知,0q，故 =2q. 所以1*2()nnanN. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1nnaq. 所以双曲线2221nyxa的离心率 22(1)11nnneaq . 由2513qq解得43q. 因为2(1)2(1)1+kkqq，所以2(1)1*1+kkqqkN（）. 于是11211+1nnnqeeeqqq， 故1231433nnneee. 5、（2016年天津高考）已知na是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的,bnnN是na和1na

的等比中项.

(Ⅰ)设22*1,nnncbbnN，求证：nc是等差数列；

(Ⅱ)设 22*11,1,nnnnkadTbnN，求证：2111.2nkkTd 【解析】⑴22112112nnnnnnnnCbbaaaada 21212()2nnnnCCdaad为定值．

∴nC为等差数列

⑵2213211(1)nknknkTbCCC21(1)42nnnCd212(1)nCdnn（*） 由已知22212123122122()4Cbbaaaadadadd 将214Cd代入（*）式得22(1)nTdnn

∴2111112(1)nnkkkTdkk212d，得证 6、（2016年全国II高考）nS为等差数列na的前n项和，且17=128.aS，记=lgnnba，其中x表示不超过x的最大整数，如0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101bbb，，； （Ⅱ）求数列nb的前1 000项和． 【解析】⑴设 na的公差为d，74728Sa，

∴44a，∴4113aad，∴1(1)naandn． ∴11lglg10ba，1111lglg111ba，101101101lglg2ba． ⑵ 记nb的前n项和为nT，则1000121000Tbbb 

121000lglglgaaa．

当0lg1

na≤时，129n，，，；

当1lg2

na≤时，101199n，，，；

当2lg3na≤时，100101999n，，，；

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2021年新高考全国Ⅰ卷试题分析之数列

2021年新高考全国Ⅰ卷试题分析之数列

2021年新高考全国Ⅰ卷试题分析之数列 摘要：本文主要分析2021年新高考全国Ⅰ卷第17题数列问题，来获得数学教学及高考备考的启示。新高考全国Ⅰ卷在新高考背景下应运而生，山东省自2020年起进行选课走班使用新全国Ⅰ卷，其不同于以往注重基础的山东卷，也不完全与全国卷相同，其独特的文化体现、素养考察、重思维的特点，引来了众多一线教师的关注与研究，作者对2021年的数列题进行分析，此题难度小但包含的内容与带给日常教学及备考的启示也有深刻意义。

关键词：高中数学、核心素养、新高考全国Ⅰ卷、数列 1.试题再现

2.命题意图分析 该题目的命制很好地体现了降低运算量提高思维活动的新高考命题思想，作为2021新高考一卷的解答题的第一题，难度不能高、计算不能复杂。这道题目命制精简、巧妙，充分地体现了数列是特殊的函数，用分段形式将数列按奇偶项分组，并通过符号语言来考察学生对于符号语言的运用与理解，需要理解bn是an偶数项，并能通过递推公式推导偶数项间的关系，从而得到bn的通项公式。同时第1问也给出了数学归纳的研究思想及方法，让学生列举b1，b2感受bn与an的关系，并体会bn的特点，来降低难度梯度，帮助学生顺利探究递推公式，完成通项公式的求解。第2问是在第1问的基础之上，进行的前n项和的求解，奇偶项通项公式的不同，显然要用到分组求和的方法，分组的方式有不同但求和的本质都是等差数列前n项和，既考察基础知识又需要逻辑推理及符号的理解，考察了学生的数学运算、逻辑推理的核心素养。

3.考察方向分析 该题通过分段的形式将数列的递推公式展现出来，并将数列自然地按奇偶项分组，考察了递推公式的推导，等差数列通项公式的求解，等差数列前n项和公式及分组求和的求和方法，考察等差数列知识，并相当全面，将研究数列的完整脉络贯穿其中。从本道题目来看，数列的考察方向重基础知识、重逻辑思维、重符号理解、重知识的灵活运用，不能再单纯的关注方程思想在数列解题中的应用了，题目偏向灵活性，更体现数学本质，和研究思想及过程的渗透。

2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列定义在解题中的潜在功能

2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列定义在解题中的潜在功能

数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种选拔性考试，在重视基础学问考查的同时，更加重视对应用力气的考查.作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列始终是高考考查时重点，特殊是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关.这里我们感爱好的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特殊是证明通项为an )1(1-+=n a d )(11-=n nq a a 或前n 项和)),1((2nn n q a S bn an S -=+=首先要证明它是等差（比）数列，必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列. 例1.设等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）.（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260 解 若等差数列{}n a 前m 项、次m 项、又次m 项和分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3也成等差数列.事实上，2)(2)(312131m m m a a m a a m S S +++=++2)]()[31212m n m a a a a m +++=+.22)(22)22(22121S a a m a a m m m m m =+⋅=+=++所以S1，S2，S3成等差数列.由于30，70，S3m －100成等差数列，所以30+S3m －100=140，即S3m=210.故应选（C ）.例2.设｛an ｝是等差数列，n a n b )21(=，已知,821321=++b b b 81321=b b b ，求等差数列的通项公式. 解 ∵｛an ｝成等差数列，∴｛bn ｝成等比数列,∴22b =b1b3.由b1b2b3=81,得b2=21. 从而有b1+b3= 817,b1b3=41.∴b1,b3是方程x2－x 817+041=两根.解得81,231==b b 或811=b ，.23=b ∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2.故an=a1+(n －1)d=2n －3或an=5－2n.例3.一个数列｛an ｝,当n 为奇数时, an=5n+1;当n 为偶数时,an=22n ,求这个数列的前2m 项的和. 解:∵a1,a3,a5,…，a2m －1成等差数列，ma a a a 2642,,,, 成等比数列，∴S2m=)()(2421231m m a a a a a a +++++++-mm m m m a a a m 2522)(212121++=⋅++=--.例4.设数列,,,,,21 n a a a 前n 项和Sn 与an 的关系是1+=n n ka S （其中k 是与n 无关的常数，且k ≠1）.（1）试写出由n,k 表示的an 的表达式；（2）若1lim =∞→n S n ，求k 的取值范围.解：（1）当n=1时，由1111+==ka S a ,得);1(111≠-=k k a当n ≥2时，由111)1()1(----=+-+=-=n n n n n n n ka ka ka ka S S a ，得11-=-k ka a n n .若k=0，则an=1(n=1)或an=0(n ≥2).若k ≠0,则｛an ｝是首项为k -11，公比为1-k k 的等比数列，所以1)1(11--⋅-=n n k k k a . （2）∵0lim ,1lim =∴=∞→∞→n a n S n n ，∴1-k k ＜1，解得k ＜21.例5.已知数列｛an ｝的前n 项和的公式是)2(122n n S n +=π.（1）求证：｛an ｝是等差数列，并求出它的首项和公差；（2）记21sin sin sin ++⋅⋅=n n n n a a a b ，求证：对任意自然数n ，都有1)1(82--=n n b .证明：（1）当n=1时，411π==S a ；当n ≥2时，=-=-1n n n S S a -+)2(122n n π)]1()1(2[122-+-n n π=)14(12-n π.∴).14(12-=n a n π =--1n na a .3]1)1(4[12)14(12πππ=----n n ∴｛an ｝是首项为4π，公差为3π的等差数列.（2）只要证明｛bn ｝是首项为82,公比为－1的等比数列. 1211sin 127sin4sinsin sin sin 3211πππ⋅⋅=⋅⋅=a a a b。

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》全集汇编附答案解析

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》全集汇编附答案解析

【高中数学】数学高考《数列》复习资料一、选择题1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则106S S 等于（ ） A ．-3 B ．5C ．-31D ．33【答案】D 【解析】 【分析】先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求解106S S 的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，可得313366316(1)1121(1)11181a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以101105105516(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q---===+=---. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.2．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到121n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=.∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，∴2n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()22110n n nn λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，∴121n λ<-+对*n N ∈恒成立， ∴13λ<-.故选：B. 【点睛】本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2S S =，∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为105512S S S -=-， ∴()1510105511 24S S S S S -=--=， ∴15510513 44S S S S =+=， ∴1553:4S S =． 故选A ． 【点睛】在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．4．已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，且12a =，1n n b a =+，若数列{}n b 也是等比数列，则n S =（ ） A ．2n B ．31n - C ．2n D ．31n -【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，写出,n n a b .由数列{}n b 是等比数列，得2213b b b =，求出q ，即求n S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，112,2n n a a q -=∴=Q ，121n n b q -∴=+，13b ∴=，221b q =+，2321b q =+，{}n b Q 也是等比数列， 2213b b b ∴=，即()()2221321q q +=+解得1q =，2,2n n a S n ∴=∴=. 故选：C . 【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.5．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192C ．1119892D ．1120192【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.6．已知数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=-+，记12111n nA a a a =++⋯+，12111n nB a a a =⋅⋅⋯⋅，则（ ） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B -> D ．2019201912A B -< 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列． （1）21210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数． 于是，{}n A 递增，{}n B 递减， 所以20192121156A A a a >=+=，20192121116B A a a <=⋅=， 所以2019201912A B ->. 事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=， 不难猜想：1n n A B +=． 证明如下：（1）211121111111111111n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒=-⇒++⋅⋅⋅+=----． （2）211n nn a a a +=-+等价于21111n n na a a +=--，所以1111n n n a a a +-=-， 故12111111n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-， 于是12121111111n n a a a a a a ⎛⎫⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭， 即有1n n A B +=． 故选：C. 【点睛】本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.7．已知椭圆221x y m n+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为( )A．2BC ．12D【答案】B 【解析】 【分析】根据满足条件,,m n m n +成等差数列可得椭圆为2212x ym m+=,求出,a c ．再求椭圆的离心率即可. 【详解】()22n m m n n m =++⇒=,∴椭圆为2212x y m m+=,22c m m m =-=,得c =又a =2c e a ∴==.则椭圆离心率为2，故选B. 【点睛】一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63B ．21C ．63-D ．21【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得21112163S a ==-.【详解】∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.9．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.10．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2124n -- B ．1122n -- C ．21n - D ．122n +-【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=， 根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >可得214128a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==，所以数列{}n a 的前n 项和11(12)122122nn n S --==--. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.11．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A ．10 B ．20 C ．20或-10 D ．-20或10【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求． 【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=-解20S =20或-10（舍去） 故选B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用12．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A ．108 B ．90C ．72D ．24【答案】B 【解析】由于152436a a a a +=+=，所以1555()5369022a a S +⨯===，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ） A ．3∶4 B ．4∶3 C ．1∶2 D ．2∶1【答案】A 【解析】 【分析】根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012S x =，1534S x =，从而得到155:S S 的值． 【详解】解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012S x =， 1051122S S x x x ∴-=-=-，151014S S x ∴-=，15113244S x x x ∴=+=， 故155334:4xS S x ==， 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.14．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】B 【解析】 【分析】找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 【详解】由框图可知，()101231154S i =+++++⋯+-= ， 即()1231153i +++⋯+-=，所以()11532i i -=，解得18i =，故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B 【点睛】本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.15．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．232D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+．得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则264422223n n S t t a t t+=+-≥⋅-=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．16．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>【答案】B 【解析】 ∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念17．设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且S n 为数列{b n }的前n 项和.若a 2＝1，a 10＝16且a 6＝b 6，则S 11＝（ ） A ．20 B ．30C ．44D ．88【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16列式求得q 2，进一步求出a 6，可得b 6，再由等差数列的前n 项和公式求解S 11.【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2＝1，a 10＝16， 得810216a q a ==，得q 2＝2. ∴4624a a q ==，即a 6＝b 6＝4，又S n 为等差数列{b n }的前n 项和，∴()1111161111442b b S b +⨯===.故选：C.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及性质，训练了等差数列前n 项和的求法，是中档题.18．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则122016111a a a +++=L （ ） A ．20152016B ．40322017C ．40342017D ．20162017【答案】B【解析】【分析】 首先根据题设条件，由11n n a a n +=++，可得到递推关系为11n n a a n +-=+；接下来利用累加法可求得()12n n n a +=，从而()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由此就可求得122016111a a a +++L 的值. 【详解】因为111n n n a a a n a n +=++=++，所以11n n a a n +-=+，用累加法求数列{}n a 的通项得：()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-()1122n n n +=++⋯+=， 所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，于是1232016111111111212222320162017a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ +++⋯+=-+-+⋯+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121201*********⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题是一道考查数列的题目，掌握数列的递推关系以及求解前n 项和的方法是解答本题的关键，属于常考题.19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d <②110S <③120S >④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >其中正确命题的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定．【详解】 Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，∴10a >，0d <，①正确；Q 675S S S >>，∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>，∴③⑤正确，②错误.故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.20．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若23a <，则n 的最大值为（ ）A ．49B ．50C ．51D ．52【答案】A【解析】【分析】对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n n S =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值. 【详解】当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32n n =， 因为22485048+348503501224,132522S S ⨯+⨯====， 所以n 不可能为偶数；当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+21342n n a +-=+ 因为2491149349412722S a a +⨯-=+=+， 2511151351413752S a a +⨯-=+=+， 又因为23a <，125a a +=，所以 12a >所以当1300n S =时，n 的最大值为49故选：A【点睛】此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.。

知识08 数列(含真题)-【新高考】2021年高考数学考前必备知识速记

知识08 数列(含真题)-【新高考】2021年高考数学考前必备知识速记

4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
如果A＝ ，那么A叫作a与b的等差中项．
3．等比中项
若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G为a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， ，{ }，{an·bn}， 仍是等比数列．
(1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.
(2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(3)S2n－1＝(2n－1)an.
(4)若n为偶数，则S偶－S奇＝ d.
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
3．等差数列与函数
在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为 ，且常数项为0.
数列通项公式的注意点