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“数形结合思想”专题及专项训练1

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第 1 页 共 10 页 “数形结合思想”专题及专项训练 一、大纲解读 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化,将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来,也即将抽象思维与形象思维有机的结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合. 二、高考预测 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.题目一般以各种题型出现都有可能,尤其对选择题、填空题特别有功效. 结合二次曲线时,题目有点难度,除此之外都比较基础. 三、重点剖析 1．与方程有关的问题

例1 已知，则方程的实根个数为01aaxxa|||log|() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 解析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画yayxxa|||log| 出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

点拨:对于一些不规则方程判断根的个数问题,用解方程的方法求出解来,再说有几个根是不可能的,而借助数形结合,将根的个数问题转化为图像的交点个数问题. 2、与不等式有关的问题

例2 解不等式xx2 解:121222yxyxxxyx令，，则不等式的解就是使的图象 在的上方的那段对应的横坐标，yx2}|{BAxxxx如图，不等式的解集为

.

第 2 页 共 10 页

，，，解得，可由而222ABBxxxxx故不等式的解集为。{|}xx22 点拨: 数形结合,将不等式问题转化为两函数图象的高低关系,进而转化为解方程,求交点的横坐标. 例3 设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围 解法一 由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立

考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方 如图两种情况 不等式的成立条件是 (1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)

(2)0)1(10gaa∈(–3,–2]， 综上所述a∈(–3,1) 解法二 由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1) 令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象 如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l对应的a∈(–3,1) 反思:不等式f(x)>g(x)恒成立,就是保证函数f(x)的图象在g(x)图象的上方,借助图象的高低来比较量的大小. 3．与函数有关的问题 例4 设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若CB，求实数a的取值范围 分析: 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将CB用不等式这一数学语言加以转化 解 ∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数 ∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下 ①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4}

要使CB,必须且只须2a+3≥4得a≥21与–2≤a＜0矛盾 ②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使CB，由图可知

必须且只需20432aa,解得21≤a≤2 ③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}， 要使CB必须且只需

2322aaa

,解得2＜a≤3

④当a＜–2时，A=此时B=C=，则CB成立 综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［21,3］

a24a-2

o

yx

24

a-2o

y

x

24a-2

o

yx

a-1

o

yxa-1oy

x

-12-1

o

yx第 3 页 共 10 页

点拨: 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决 求一元二次函数在定区间上的值域或最值,要根据对称轴与该区间的关系,充分借助相应区间上二次函数的图象求解. 4、与几何有关的问题

例5若直线yxm与曲线yx12有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。

解析：y=x－m表示倾斜角为45°，纵截距为－m的直线，而yx12则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距m[)12，，即m(]21，. 点拨:明确方程的几何意义,在同一坐标系中画出相应的几何图形,根据直线系的特点,由图形研究直线与半圆的位置关系.

例6 已知，满足，求的最大值与最小值xyxyyx22162513。 解析:令，则，yxbyxb33

22311625xyyxb当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小

截距。 ∴yxbxyxbxb316251169961640002222 由，得±，故的最大值为，最小值为。01331313byx 反思:对于形如y－3x的二元一次函数求最值,如果限制条件是表示的是几何区域或曲线,常采用借助直线的截距来求. 第 4 页 共 10 页

四、扫雷先锋 数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，不仅在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，而且在解决一些抽象问题中常起到事半功倍的效果，在运用过程中要特别注意以下问题： 一、“数”的精确性与“形”的全面性： 【例1】方程lgx = sinx的实根的个数为 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 错解：画出y = lgx和y = sinx在同一坐标系中的图象，如图所示，

两图象有1个交点，选A. 错因分析：函数y = sinx[1,1]，而lg10=1，且3＜10，函数y = lgx的图象有误。 正解：画出y = lgx和y = sinx在同一坐标系中的图象，如图所示，

两函数图象有3个交点，选C. 点评：一些判断方程根的个数问题，可以转化为考察两函数图象的交点个数，但要注意“数”的精确性，准确作图，从而得出正确结论。 【例2】函数y = a|x|与y = x + a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ） A．(1，+∞) B．(- 1，1) C．(- ∞，- 1]∪[1，+∞) D．(- ∞，- 1)∪(1，+∞) 错解：在同一坐标系中画出y = a|x|与y = x + a的图象，

所以a > 1，选A。 错因分析：画函数y = a|x|的图象时，忽略了讨论系数a的正负。 正解：画出y = a|x|与y = x + a的图象，两图象有两个交点的情形如下： 第 5 页 共 10 页

情形1：a > 0a > 1 => a > 1 情形2：a < 0a < - 1 => a < - 1 选D 点评：有些数学问题所对应的图形是不唯一的，必须根据不同情况准确作图，再进行讨论求解。 二、“数”与“形”转化的等价性 【例3】若关于x的方程x 2 + 2kx + 3k = 0的两根都在-1和3之间，求k的取值范围。 误解：令f (x) = x 2 + 2kx + 3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f (x) = 0的解。

由y = f (x)的图象可知，要使两根都在-1和3之间，只需 2(1)0(3)04120ffkk



，∴k∈(- 1,0][3,)

错因分析：所列不等式组与满足条件的图象不等价。比如下图，满足此不等式组，但不满足方程根的分布情况。

正解：由图象列出满足条件的不等式组为 f (-1) > 0f (3) > 0- 1 < - k < 34k 2 - 12k≥0，∴k∈(- 1，0]. 点评：此类题存在着两个等价转化：一是将方程根的分布情况转化为抛物线与x轴的交点情况，进而画出函数草图；二是由草图列出与之等价的不等式组。 五、规律总结 数形结合的思想，就是把问题的数量关系和几何图形结合起来的思想方法，即根据解决问题的需要，

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高考数学复习考点知识讲解与专项练习24---数形结合思想

高考数学复习考点知识讲解与专项练习24---数形结合思想


4＝4a＋32， b＝ab＋32，解得
a＝18， 所以 b＝36，
ab＝18×36＝92.
数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从 图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象 的位置求解不等式．
1．若存在实数 a，对任意的 x∈[0，m]，都有(sin x－a)·(cos x－a)≤0 恒成立，则实数 m
△FMN
的面积
S＝12×2×8
5
58 ＝
5
5.故选
C.
10 / 10
A．
5 5
B．6 5 5
C．8 5 5
D．4 5 5
答案 C
解析 如图，设椭圆的右焦点为 F%，连接 MF%，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF%|＋|NF′|
≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线 x＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN| 2b2 8 5
＝a＝ 5 ，
又 c＝ a2－b2＝ 5－4＝1，所以此时
数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几 何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．
热点题型探究
热点 1 数形结合化解方程问题
2－x－1（x≤0）， 例 1 已知函数 f(x)＝ f（x－1）（x＞0），若方程 f(x)＝x＋a 有且只有两个不相等的实
答案 B
解析
→
→
设|AB|＝3a，|AC|＝b，则△ABC
的面积为12×3ab
sin
#3＝2
3，解得 ab＝83，由A→P
＝mA→C＋12A→B＝mA→C＋34A→D，且 C，P，D 三点共线，可知 m＋34＝1，即 m＝14，故A→P＝14A→C＋
高考数学总复习 数学思想专项训练(四)数形结合思想 文 北师大版

高考数学总复习 数学思想专项训练(四)数形结合思想 文 北师大版

数学思想专项训练(四) 数形结合思想一、选择题1．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1C.()1，2D.()1，－22．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D.223．设点P (x ，y )，变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，点Q 的坐标为(4,3)，O为坐标原点，λ|OQ|＝OP ·OQ ，则λ的最大值是( )A.2607B.22 C ．8D.5274．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，3x －2，x >0，则∀x ∈[－1,1]，|f (x )|≥ax 成立的充要条件是( )A ．a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)B ．a ∈[－1,0]C ．a ∈[0,1]D ．a ∈[－1,0)5．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图像如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－π2∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－π2∪(0,1)∪(1,3) 6．已知：函数f (x )满足下面关系． ①f (x ＋1)＝f (x －1)； ②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2. 则方程f (x )＝lg x 解的个数是( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．10二、填空题7．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2|b |，则向量a 与向量a ＋2b 的夹角为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________． 9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －5≥0y －4≤0，若不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立，则实数a 的最小值是________．10．设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，则实数a 的取值范围是________．三、解答题 11．求函数f (θ)＝sin θ2＋cos θ的最大值．12．已知A (1,1)为椭圆x 29＋y 25＝1内一点，F 1为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点，求|PF 1|＋|PA |的最大值和最小值．13．(2013·洛阳统考)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，96≤x <98，5，98≤x <104，4，104≤x ≤106，求这批产品平均每个的利润．答 案1．选A 定点Q (2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P 到点Q 和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P 的坐标，显然点P 是直线y ＝－1和抛物线y 2＝4x 的交点，解得这个点的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫14，－1.2．选C 因为(a －c )·(b －c )＝0，所以(a －c )⊥(b －c )．如图所示，设OC ＝c ，OA ＝a ，OB ＝b ，CA ＝a －c ，CB＝b －c ， 即AC ⊥BC ，又OA ⊥OB ， 所以O ，A ，C ，B 四点共圆．当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大， 且最大值为 2.3.选D λ|OQ|＝OP ·OQ ，即5λ＝4x ＋3y ，设z ＝4x ＋3y ，它表示斜率为－43，纵截距为13z 的一组直线系．画出不等式组所表示的可行域，如图，由图可知，当直线经过可行域上的点M 时，纵截距13z 最大，即z 取得最大值，此时λ也取得最大值．容易求得点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607，则z max ＝2607，即5λ＝2607，所以λ的最大值是527.4.选B 当x ∈[－1,0]时，原不等式可变为|x 2－2|≥ax ，即2－x 2≥ax ，f (x )＝2－x 2的图象如图所示；当x ∈(0,1]时，原不等式可变为|3x －2|≥ax ，g (x )＝|3x －2|的图象如图所示，当|f (x )|≥ax 恒成立时，由图可知a 的取值范围是[－1,0]．5．选B 不等式f (x )cos x <0等价于⎩⎪⎨⎪⎧f x >0，cos x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧f x <0，cos x >0.画出f (x )在(－3,3)上的图象，运用数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在x 轴上、下部分的对应“数”的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.6．选C 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数，又f (x )＝l g x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．7．解析：由向量的几何意义可知，若OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝2b ，则OD＝a ＋2b ，∠AOC ＝60°(如图)，由平行四边形法则，可知四边形OADC 为菱形，所以向量a 与向量a ＋2b 的夹角为30°.答案：30°8．解析：设切点为A ，如图所示，切线AP 、PB 互相垂直，又半径OA垂直于AP ，所以△OPA 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c ，所以e ＝c a ＝22.答案：229．解析：作出满足题中方程组的可行域，如图阴影部分所示：由题可得a ≥ x ＋y 2x ＋y ＝ x 2＋y 2＋2xy x ＋y ＝1＋2x y ＋yx. 设y x＝t (t 表示过原点和点(x ，y )的直线的斜率)，则t ∈[2,4]，t＋1t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，174， 故⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋2x y ＋y x max ＝95，所以a ≥95，即a min ＝95.答案：9510．解析：由f (x )≤g (x )，得a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y 1＝－x 2－4x ，y 2＝43x ＋1－a ，y 1变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；y 2表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系．若不等式成立，则直线在半圆上方， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|4× －2 －3×0＋3－3a |5≥2，1－a >0，解得：a ≤－5.答案：(－∞，－5]11．解：sin θ2＋cos θ可以与两点连线的斜率联系起来，它实际上是点P (cos θ，sin θ)与点A (－2，0)连线的斜率，而点P (cos θ，sin θ)在单位圆上移动，问题变为：求单位圆上的点与A (－2，0)连线斜率的最大值．如图，显然，当P 点移动到B 点(此时，AB 与圆相切)时，AP 的斜率最大，最大值为tan ∠BAO ＝|OB ||AB |＝1.12．解：由x 29＋y 25＝1可知a ＝3，b ＝5，c ＝2，左焦点F 1(－2,0)，右焦点F 2(2,0)．由椭圆定义，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－|PF 2|，∴|PF 1|＋|PA |＝6－|PF 2|＋|PA |＝6＋|PA |－|PF 2|.如图，由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝ 2－1 2＋ 0－1 2＝2，知－2≤|PA|－|PF2|≤ 2.当P在AF2的延长线上的P2处时，取右“＝”；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“＝”，即|PA|－|PF2|的最大、最小值分别为2，－ 2.于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋2，最小值是6－ 2.13．解：(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n.∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n＝0.300，∴n＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，0.075×2＝0.150.∴其相应的频数分别为120×0.100＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18.∴这批产品平均每个的利润为1120(12×3＋90×5＋18×4)＝4.65(元)．。

第3部分 数形结合思想专练 数形结合思想专练

第3部分 数形结合思想专练 数形结合思想专练

loga4<3，loga8>3，解得a∈(3 4，2)，故选B.
7．(多选)(2021·广东佛山顺德容山中学高三月考)若函数f(x)＝ex－1与
g(x)＝ax的图象恰有一个公共点，则实数a的可能取值为( )
A．2
B．0
C．1
D．－1
答案 BCD
解析 由f(x)＝ex－1与g(x)＝ax恒过(0,0)，如图，当a≤0时，两函数图 象恰有一个公共点；当a>0时，函数f(x)＝ex－1与g(x)＝ax的图象恰有一个 公共点，则g(x)＝ax为f(x)＝ex－1的切线，且切点为(0,0)，由f′(x)＝ex，所 以a＝f′(0)＝e0＝1，综上所述，a＝0，－1或1.故选BCD.
又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图2所示，从图象看出方程F(x)＝a2若有 4个解，则12<a2<2a，且2a>12，所以实数a的取值范围是 22，2.
fx，x≤0， gx，x>0，
其中f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝
1 2
x2－ln
x，方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．
解 若x∈(0，＋∞)，则F(x)＝g(x)，F′(x)＝g′(x)＝x－1x， 当x∈(0,1)时，g′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0， 所以当x＝1时，g(x)取极小值g(1)＝12. 若x∈(－∞，0]，则F(x)＝f(x)． ①当a＝0时，方程F(x)＝a2＝0不可能有4个解；
则P→A＝(－x， 3－y)，P→B＝(－1－x，－y)，P→C＝(1－
x，－y)．所以 P→A ·( P→B ＋ P→C )＝(－x，
3 －y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2 y－
高中数学数形结合思想经典例题(含解析)

高中数学数形结合思想经典例题(含解析)

高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。